Exercices de Topologie en maths Spé (prépa) (page 5)

161. $Centrale PSI 2010$

162. $D'après Centrale MP 2006$

On note

E

l'ensemble des fonctions

f

de classe

C^{2}

sur

[0, 1]

telles que

f (0) = f^{'} (0) = 0

.
Pour

f \in E

, on pose

N_{\infty} (f) = [0, 1] sup ∣ f ∣

N (f) = N_{\infty} (f + f^{''})

N_{1} (f) = N_{\infty} (f) + N_{\infty} (f^{''})

Q1-Montrer que

N_{\infty}

N

N_{1}

sont des normes sur

E

Q2-Montrer que

N_{\infty}

n'est équivalente ni à

N

ni à

N_{1}

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163. $CCP 2013$

Soit

E

l'ensemble des fonctions continues de

[0, 1]

dans

R

que l'on munit de la norme uniforme. On pose

A = {f \in E ∣ f (0) = 0, \int_{0}^{1} f (t) d t \geq 1}

Q1-Montrer que

A

est une partie fermée de

E

Q2-Montrer que pour tout

f \in A

∥ f ∥_{\infty} > 1

Q3-Soit

n \in N^{*}

. Montrer que l'on peut choisir

α \in] 0, 1]

tel que la fonction

f_{n} : x \in [0, 1] \mapsto ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{α} (1 + \frac{1}{n}) x 1 + \frac{1}{n} si x \leq α si x > α

appartienne à

A

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164. $Petites Mines MP 2016$

Soit

E = C^{0} ([0, 1], R)

. On pose

O = {f \in E ∣ f (1) > 0}

F = {f \in E ∣ \int_{0}^{1} f (t) d t \leq 0}

Q1-Montrer que

O

est ouvert pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

Q2-Montrer que

F

est fermé pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

et pour

∥ \cdot ∥_{1}

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165. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

Soit

E = C [X]

. Pour

P = k = 0 \sum + \infty a_{k} X^{k} \in E

, on pose

∥ P ∥ = k = 0 \sum + \infty ∣ a_{k} ∣

. Soit

b \in C

. On définit l'application

f : P \in E \mapsto P (b)

Q1-Montrer que

f

est linéaire.

Q2-Étudier la continuité de

f

et calculer sa norme subordonnée le cas échéant.

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166. $Banque Mines-Ponts MP 2022$

On fixe

ω \in C^{0} (R, R_{+}^{*})

. Pour toute fonction

f \in C^{0} (R, R)

, on pose :

T_{ω} (f) (x) = \frac{1}{\int _{0}^{x} ω ( t ) d t} \int_{0}^{x} f (t) ω (t) d t

Q1-Montrer que

T_{ω} (f)

est prolongeable par continuité en

0

Q2-Soit

a > 0

. Montrer que

T_{ω}

est un endomorphisme continu et injectif de

C^{0} ([0, a], R)

muni de la norme infinie.

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167. $Polynômes caractéristiques de exp (A B)$

Soit

(A, B) \in M_{n} (C)^{2}

. Montrer que

χ_{e x p (A B)} = χ_{e x p (B A)}

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168. $CNS pour que {u_{n}} soit fermé$

Soit

(u_{n})

une suite strictement croissante de réels. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que

E = {u_{n}, n \in N}

soit fermé.

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169. $Projecteurs fermés dans L (E)$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que l'ensemble des projecteurs de

E

est fermé dans

L (E)

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170. $CCP 2013$

Soit

E

l'ensemble des fonctions continues de

[0, 1]

dans

R

que l'on munit de la norme uniforme. On pose

A = {f \in E ∣ f (0) = 0, \int_{0}^{1} f (t) d t \geq 1}

Q1-Montrer que

A

est une partie fermée de

E

Q2-Montrer que pour tout

f \in A

∥ f ∥_{\infty} > 1

Q3-Soit

n \in N^{*}

. Montrer que l'on peut choisir

α \in] 0, 1]

tel que la fonction

f_{n} : x \in [0, 1] \mapsto {\frac{1}{α} (1 + \frac{1}{n}) x 1 + \frac{1}{n} si x \leq α si x > α

appartienne à

A

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171. $Fermeture des valeurs d'adhérence$

Soit

(u_{n})

une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé

E

. On note

V

l'ensemble des valeurs d'adhérence de

(u_{n})

Q1-Montrer que

V = n \in N ⋂ \overline{{u_{k}, k \geq n}}

Q2-En déduire que

V

est fermé.

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172. $Seules parties ouvertes et fermées$

Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé

E

sont

\emptyset

E

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173. $Hyperplan affine dans ℓ^{1}$

Soit

E

l'ensemble des suites complexes

u

telles que

n \in N \sum ∣ u_{n} ∣

converge. On pose

∥ u ∥ = n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣

. L'ensemble

F = {u \in E, n = 0 \sum + \infty u_{n} = 1}

est-il fermé ? ouvert ? borné ?

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174. $Petites Mines MP 2016$

Soit

E = C^{0} ([0, 1], R)

. On pose

O = {f \in E ∣ f (1) > 0} et F = {f \in E, \int_{0}^{1} f (t) d t \leq 0}

Q1-Montrer que

O

est ouvert pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

Q2-Montrer que

F

est fermé pour

∥ \cdot ∥_{\infty}

et pour

∥ \cdot ∥_{1}

Q3-

O

est-il ouvert pour

∥ \cdot ∥_{1}

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175. $Suites à support fini dans ℓ^{\infty}$

On note

F

l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang. On note

E

l'ensemble des suites réelles bornées muni de la norme infinie.

Q1-Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

Q2-

F

est-il fermé dans

E

? ouvert dans

E

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176. $Centrale MP$

On note

E

l'ensemble des suites réelles bornées muni de la norme infinie. Les ensembles suivants sont-ils fermés ?

Q1-l'ensemble

A

des suites croissantes;

Q2-l'ensemble

B

des suites convergeant vers 0;

Q3-l'ensemble

C

des suites convergentes;

Q4-l'ensemble

D

des suites admettant 0 pour valeur d'adhérence;

Q5-l'ensemble

E

des suites périodiques.

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177. $Parties de R^{2} ouvertes ou fermées$

On étudie, dans

R^{2}

, la nature topologique (ouverte ou fermée) des parties suivantes.

Q1-Montrer que

A = {(x, y) \in R^{2}, e^{x y} > (x + y)^{2}}

est une partie ouverte de

R^{2}

Q2-Montrer que

B = {(x, y) \in R^{2}, ln (1 + x^{2} + y^{2}) \leq x + y}

est une partie fermée de

R^{2}

Q3-Montrer que

C = {(x, y) \in R^{2}, sin (x + y) = x^{2} + y^{2}}

est une partie fermée de

R^{2}

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178. $Fonctions positives : partie fermée$

On munit l'espace vectoriel

E

des applications bornées de

R

dans

R

de la norme inifinie. Montrer que

F = {f \in E, \forall x \in R, f (x) \geq 0}

est fermé.

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179. $Polynômes unitaires fermés$

On note

E_{n}

l'ensemble des polynômes unitaires de degré

n

à coefficients réels.

Q1-Montrer que

E_{n}

est une partie fermée de

R_{n} [X]

Q2-Montrer que

P \in E_{n} in f \int_{0}^{1} ∣ P (t) ∣ d t > 0

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180. $Idempotence de l'adhérence$

Montrer que

\overline{\overline{A}} = \overline{A}

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181. $Adhérence d'un sous-espace$

Soit

F

un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

\overline{F}

est un sous-espace vectoriel de

E

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182. $Adhérence de A \cup B, intérieur de A \cap B$

Soient

A

B

deux parties d'un espace vectoriel normé

E

Q1-Montrer que

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}

. A-t-on

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}

Q2-Montrer que

\overset{˚}{A \cap B} = \overset{˚}{A} \cap \overset{˚}{B}

. A-t-on

\overset{˚}{A \cup B} = \overset{˚}{A} \cup \overset{˚}{B}

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183. $Adhérence et intérieur : convexe$

Soit

C

une partie convexe d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

\overline{C}

\overset{˚}{C}

sont convexes.

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184. $Somme de fermetures et compacité$

Soient

A

B

deux parties d'un espace vectoriel normé

E

.
1. Montrer que

\overline{A} + \overline{B} \subset \overline{A + B}

.
2. Montrer que si

A

est compact, alors

\overline{A} + \overline{B} = \overline{A + B}

.
3. Donner un contre-exemple dans le cas général.

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185. $Frontière$

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. On appelle frontière de

A

l'ensemble

Fr (A) = \overline{A} ∖ \overset{˚}{A}

Q1-Montrer que

\overline{A} = \overset{˚}{A} ⊔ Fr (A)

et que

Fr (A)

est un fermé de

E

Q2-Montrer que

Fr (A) = \overline{A} \cap \overline{E ∖ A}

Q3-Montrer que

x \in Fr (A)

si et seulement si pour tout voisinage

V

x

V \cap A \neq = \emptyset

V \cap (E ∖ A) \neq = \emptyset

Q4-Déterminer la frontière de

Q

dans

R

, de

G L_{n} (R)

dans

M_{n} (R)

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186. $Orthogonal et topologie$

Soit

E

un espace préhilbertien. Soit

A

une partie de

E

Q1-Montrer que

A^{⊥}

est un sous-espace vectoriel fermé de

E

Q2-Montrer que

\overline{Vect (A)} \subset (A^{⊥})^{⊥}

Q3-Si

E

est de dimension finie, montrer que

\overline{Vect (A)} = (A^{⊥})^{⊥}

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187. $Diamètre d'une adhérence bornée$

Soit

A

une partie bornée d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

\overline{A}

Fr (A)

sont bornées. A-t-on

diam (\overline{A}) = diam (A)

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188. $Théorème de Baire : ouverts denses$

Soit

(U_{n})

une suite d'ouverts denses d'un espace vectoriel normé complet. Montrer que

n \in N ⋂ U_{n}

est dense.

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189. $Adhérence de D \cap O pour D dense$

Soit

D

une partie dense d'un espace vectoriel normé

E

O

un ouvert de

E

. Montrer que

\overline{D \cap O} = \overline{O}

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190. $Partie dense d'intérieur vide$

Déterminer une partie

A

R

d'intérieur vide et telle que

\overline{A} = R

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191. $Sev d'intérieur non vide : H = E$

Soit

H

un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que si

\overset{˚}{H} \neq = \emptyset

, alors

H = E

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192. $Densité de G L_{n} (C) dans M_{n} (C)$

Montrer que

G L_{n} (C)

est dense dans

M_{n} (C)

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193. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

Soit

f

une fonction continue par morceaux sur

[a, b]

. Montrer que

n \to + \infty lim \int_{a}^{b} f (t) sin (n t) d t = 0

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194. $Adhérence des matrices diagonalisables$

Soit

D

l'ensemble des matrices de

M_{n} (C)

diagonalisables. Montrer que

D

est dense dans

M_{n} (C)

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195. $Densité des matrices cycliques$

Soit

A \in M_{n} (C)

. Montrer que

A

est limite d'une suite de matrices cycliques.

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196. $Continuité, trace et f (X Y) = f (Y X)$

Soit

f : M_{n} (R) \to R

une application continue telle que

\forall (X, Y) \in M_{n} (R)^{2}, f (X Y) = f (Y X)

. Montrer qu'il existe une application

g : R \to R

telle que

f (M) = g (tr (M))

pour tout

M \in M_{n} (R)

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197. $Densité des matrices de rang r$

Soit

r \in [[0, n - 1]]

. Montrer que l'ensemble des matrices de rang

r

est dense dans l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à

r

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198. $0 adhérent à la similitude de N$

Soit

N \in M_{n} (C)

une matrice nilpotente. Montrer que

N

est semblable à une matrice dont la diagonale ne comporte que des 0. En déduire que la matrice nulle est dans l'adhérence de l'ensemble des matrices semblables à

N

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199. $Adhérence de O_{n} (R)$

Déterminer l'adhérence de

O_{n} (R)

dans

M_{n} (R)

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200. $Comatrice de la comatrice$

Soit

A \in M_{n} (R)

avec

n \geq 2

. Calculer

Com (Com (A))

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161.Centrale PSI 2010

162.D'après Centrale MP 2006

163.CCP 2013

164.Petites Mines MP 2016

165.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

166.Banque Mines-Ponts MP 2022

167.Polynômes caractéristiques de exp(AB)

168.CNS pour que {un​} soit fermé

169.Projecteurs fermés dans L(E)

170.CCP 2013

171.Fermeture des valeurs d'adhérence

172.Seules parties ouvertes et fermées

173.Hyperplan affine dans ℓ1

174.Petites Mines MP 2016

175.Suites à support fini dans ℓ∞

176.Centrale MP

177.Parties de R2 ouvertes ou fermées

178.Fonctions positives : partie fermée

179.Polynômes unitaires fermés

180.Idempotence de l'adhérence

181.Adhérence d'un sous-espace

182.Adhérence de A∪B, intérieur de A∩B

183.Adhérence et intérieur : convexe

184.Somme de fermetures et compacité

185.Frontière

186.Orthogonal et topologie

187.Diamètre d'une adhérence bornée

188.Théorème de Baire : ouverts denses

189.Adhérence de D∩O pour D dense

190.Partie dense d'intérieur vide

191.Sev d'intérieur non vide : H=E

192.Densité de GLn​(C) dans Mn​(C)

193.Lemme de Riemann-Lebesgue

194.Adhérence des matrices diagonalisables

195.Densité des matrices cycliques

196.Continuité, trace et f(XY)=f(YX)

197.Densité des matrices de rang r

198.0 adhérent à la similitude de N

199.Adhérence de On​(R)

200.Comatrice de la comatrice

161. $Centrale PSI 2010$

162. $D'après Centrale MP 2006$

163. $CCP 2013$

164. $Petites Mines MP 2016$

165. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

166. $Banque Mines-Ponts MP 2022$

167. $Polynômes caractéristiques de exp (A B)$

168. $CNS pour que {u_{n}} soit fermé$

169. $Projecteurs fermés dans L (E)$

170. $CCP 2013$

171. $Fermeture des valeurs d'adhérence$

172. $Seules parties ouvertes et fermées$

173. $Hyperplan affine dans ℓ^{1}$

174. $Petites Mines MP 2016$

175. $Suites à support fini dans ℓ^{\infty}$

176. $Centrale MP$

177. $Parties de R^{2} ouvertes ou fermées$

178. $Fonctions positives : partie fermée$

179. $Polynômes unitaires fermés$

180. $Idempotence de l'adhérence$

181. $Adhérence d'un sous-espace$

182. $Adhérence de A \cup B, intérieur de A \cap B$

183. $Adhérence et intérieur : convexe$

184. $Somme de fermetures et compacité$

185. $Frontière$

186. $Orthogonal et topologie$

187. $Diamètre d'une adhérence bornée$

188. $Théorème de Baire : ouverts denses$

189. $Adhérence de D \cap O pour D dense$

190. $Partie dense d'intérieur vide$

191. $Sev d'intérieur non vide : H = E$

192. $Densité de G L_{n} (C) dans M_{n} (C)$

193. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

194. $Adhérence des matrices diagonalisables$

195. $Densité des matrices cycliques$

196. $Continuité, trace et f (X Y) = f (Y X)$

197. $Densité des matrices de rang r$

198. $0 adhérent à la similitude de N$

199. $Adhérence de O_{n} (R)$

200. $Comatrice de la comatrice$