Exercices de Topologie en maths Spé (prépa) (page 3)

81. $Classes de similitude fermées$

82. $Fermé défini par une intégrale$

Soient

E = C ([0; 1], R)

normé par

∥ \cdot ∥_{\infty}

et la partie

A = {f \in E ∣ f (0) = 0 et \int_{0}^{1} f (t) d t \geq 1} .

Q1-Montrer que

A

est une partie fermée.

Q2-Vérifier que

\forall f \in A, ∥ f ∥_{\infty} > 1

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83. $Somme de deux fermés non fermée$

On considère dans

R^{2}

les parties

A = {(x, y) \in R^{2} ∣ x y = 1}

B = {0} \times R

Q1-Montrer que les parties

A = {(x, y) \in R^{2} ∣ x y = 1}

B = {0} \times R

sont fermées.

Q2-

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84. $Z fermé dans R$

Montrer que

Z

est une partie fermée de

R

Q1-en observant que son complémentaire est ouvert ;

Q2-par la caractérisation séquentielle des parties fermées ;

Q3-en tant qu'image réciproque d'un fermé par une application continue.

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85. $Ouvert P (0) \neq = 0 selon la norme$

Dans

E = R [X]

, on considère les normes

N_{1} (P) = t \in [0; 1] sup ∣ P (t) ∣

N_{2} (P) = t \in [1; 2] sup ∣ P (t) ∣

.
L'ensemble

Ω = {P \in E ∣ P (0) \neq = 0}

est-il ouvert pour la norme

N_{1}

? pour la norme

N_{2}

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86. $Adhérence du sous-espace engendré$

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Établir

Vect (A) \subset \overline{Vect A}

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87. $Frontière fermée$

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Établir que sa frontière

Fr (A)

est une partie fermée.

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Rappelons les définitions topologiques. Pour une partie

A \subset E

d'un espace vectoriel normé :
-

\overset{˚}{A}

désigne l'intérieur de

A

(plus grand ouvert inclus dans

A

), qui est un ouvert.
-

\overline{A}

désigne l'adhérence de

A

(plus petit fermé contenant

A

), qui est un fermé.
- La frontière est

Fr (A) = \overline{A} ∖ \overset{˚}{A}

.

Réécrivons la frontière en termes d'intersections :

Fr (A) = \overline{A} ∖ \overset{˚}{A} = \overline{A} \cap (E ∖ \overset{˚}{A}) = \overline{A} \cap ∁_{E} \overset{˚}{A} .

Or :
-

\overline{A}

est un fermé (par définition).
-

\overset{˚}{A}

est un ouvert, donc

∁_{E} \overset{˚}{A}

est un fermé.
- De plus,

∁_{E} \overset{˚}{A} = ∁_{E} \overset{˚}{A} = \overline{∁_{E} A}

(le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire).

L'intersection de deux fermés étant un fermé :

Fr (A) = \overline{A} \cap \overline{∁_{E} A} est un ferm \overset{e}{ˊ} .

88. $Idempotence de la frontière$

Soit

F

une partie fermée d'un espace vectoriel normé

E

. Établir

Fr (Fr (F)) = Fr (F)

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89. $Ouvert et adhérence d'une partie$

Soient

A

un ouvert et

B

une partie d'un espace vectoriel normé

E

Q1-Montrer que

A \cap \overline{B} \subset \overline{A \cap B}

Q2-Montrer que

A \cap B = \emptyset ⟹ A \cap \overline{B} = \emptyset

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90. $Adhérence et intérieur d'un convexe$

On suppose que

A

est une partie convexe d'un espace vectoriel normé

E

Q1-Montrer que

\overline{A}

est convexe.

Q2-La partie

\overset{˚}{A}

est-elle convexe ?

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91. $Distance égale entre adhérences$

Soient

A

B

deux parties non vides d'un espace vectoriel normé

E

.
Établir

d (A, B) = d (\overline{A}, \overline{B})

(en notant

d (A, B) = x \in A, y \in B in f d (x, y)

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92. $Adhérence d'une réunion finie$

Soient

A_{1}, \dots, A_{n}

des parties d'un espace vectoriel normé

E

Q1-Établir

\overline{i = 1 ⋃ n A_{i}} = i = 1 ⋃ n \overline{A_{i}}

Q2-Comparer

\overline{i = 1 ⋂ n A_{i}}

i = 1 ⋂ n \overline{A_{i}}

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93. $Norme sup égale sur A et \overline{A}$

Soient

f : E \to F

continue bornée et

A \subset E

A

non vide. Montrer

∥ f ∥_{\infty, A} = ∥ f ∥_{\infty, \overline{A}}

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94. $Caractérisation par la frontière$

Soit

A

une partie d'un espace normé

E

Q1-Montrer que la partie

A

est fermée si, et seulement si,

Fr A \subset A

Q2-Montrer que la partie

A

est ouverte si, et seulement si,

A \cap Fr A = \emptyset

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95. $Matrices à spectre unimodulaire$

Dans

M_{2} (C)

, on introduit

U = {M \in M_{2} (C) ∣ \forall λ \in Sp M, ∣ λ ∣ = 1}

R = {M \in M_{2} (C) ∣ \exists n \in N^{*}, M^{n} = I_{2}} .

Q1-Comparer les ensembles

R

U

Q2-Montrer que

U

est une partie fermée de

M_{2} (C)

Q3-Montrer que

U

est inclus dans l'adhérence de

R

Q4-Qu'en déduire ?

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96. $Matrices de rang \geq p ouvert$

Pour

p \in {0, 1, \dots, n}

, on note

R_{p}

l'ensemble des matrices de

M_{n} (K)

de rang supérieur à

p

.
Montrer que

R_{p}

est un ouvert de

M_{n} (K)

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97. $Continu ssi {∥ u (x) ∥ = 1} fermé$

Montrer qu'un endomorphisme

u

d'un espace vectoriel normé

E

est continu si, et seulement si, la partie

{x \in E ∣ ∥ u (x) ∥ = 1}

est fermée.

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98. $f \circ f = f sur [0; 1]$

Soit

f : [0; 1] \to [0; 1]

une application continue vérifiant

f \circ f = f

Q1-Montrer que l'ensemble

{x \in [0; 1] ∣ f (x) = x}

est un intervalle fermé et non vide.

Q2-Donner l'allure d'une fonction

f

non triviale vérifiant les conditions précédentes.

Q3-On suppose de plus que

f

est dérivable. Montrer que

f

est constante ou égale à l'identité.

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99. $Applications idempotentes de [0; 1]$

On s'intéresse aux applications

f : [0; 1] \to [0; 1]

vérifiant la relation d'idempotence

f \circ f = f

, selon la régularité imposée à

f

Q1-Chercher les fonctions

f : [0; 1] \to [0; 1]

continues vérifiant

f \circ f = f

Q2-Même question avec les fonctions dérivables.

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100. $Moyenne de Cesàro : image et noyau$

Soient

E

un espace normé de dimension quelconque et

u

un endomorphisme de

E

vérifiant

\forall x \in E, ∥ u (x) ∥ \leq ∥ x ∥

.
Pour tout

n \in N

, on pose

v_{n} = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n u^{k}

Q1-Simplifier

v_{n} \circ (u - Id)

Q2-Montrer que

Im (u - Id) \cap ker (u - Id) = {0}

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101. $Scindés à racines simples : O_{n}$

Pour

n \in N^{*}

, on désigne

O_{n}

l'ensemble des polynômes réels de degré

n

scindés à racines simples et

F_{n}

l'ensemble des polynômes de

R_{n} [X]

scindés à racines simples.
Ces ensembles sont-ils ouverts dans

R_{n} [X]

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102. $Segments images, fibres fermées$

Soit

f : R \to R

vérifiant
1)

\forall [a; b] \subset R

f ([a; b])

est un segment ;
2)

\forall y \in R

f^{- 1} ({y})

est une partie fermée.
Montrer que

f

est continue.

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103. $Projecteurs fermés$

Soit

E

R

-espace vectoriel normé de dimension finie.
Montrer que l'ensemble

P

des projecteurs de

E

est une partie fermée de

L (E)

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104. $G L_{n} (R) dense dans M_{n} (R)$

Montrer que

GL_{n} (R)

est dense dans

M_{n} (R)

.
On pourra considérer, pour

A \in M_{n} (R)

, les matrices de la forme

A - λ I_{n}

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105. $Hyperplan fermé ou dense$

Soient

E

un espace vectoriel normé et

F

un sous-espace vectoriel de

E

Q1-Montrer que

\overline{F}

est un sous-espace vectoriel de

E

Q2-Montrer qu'un hyperplan est soit fermé, soit dense.

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106. $Intersection d'ouverts denses$

Soient

U

V

deux ouverts denses d'un espace vectoriel normé

E

Q1-Établir que

U \cap V

est encore un ouvert dense de

E

Q2-En déduire que la réunion de deux fermés d'intérieurs vides est aussi d'intérieur vide.

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107. $Densité de u_{n} - v_{p} dans R$

Soient

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

deux suites réelles telles que

u_{n} \to + \infty

v_{n} \to + \infty

u_{n + 1} - u_{n} \to 0

Q1-Soient

ε > 0

n_{0} \in N

tel que pour tout

n \geq n_{0}

∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ \leq ε

. Montrer que pour tout

a \geq u_{n_{0}}

, il existe

n \geq n_{0}

tel que

∣ u_{n} - a ∣ \leq ε

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108. $m - ln n dense dans R$

Montrer que

{m - ln n ∣ (m, n) \in Z \times N^{*}}

est dense dans

R

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109. $Sous-groupes de (R, +)$

Soit

H

un sous-groupe de

(R, +)

non réduit à

{0}

Q1-Justifier l'existence de

a = in f {x \in H ∣ x > 0}

Q2-On suppose

a > 0

. Établir

a \in H

puis

H = a Z

Q3-On suppose

a = 0

. Établir que

H

est dense dans

R

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110. $Densité de cos (n) et cos (ln n)$

On étudie la densité dans

[- 1; 1]

de certains ensembles de valeurs prises par la fonction cosinus.

Q1-Montrer que

{cos (n) ∣ n \in N}

est dense dans

[- 1; 1]

Q2-Montrer que

{cos (ln n) ∣ n \in N^{*}}

est dense dans

[- 1; 1]

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111. $Densité matrices diagonalisables$

Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de

M_{n} (C)

est dense dans

M_{n} (C)

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112. $Suites finies denses dans ℓ^{1}$

On note

R^{(N)}

l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang.

Q1-Montrer que

R^{(N)}

est une partie dense de l'espace des suites sommables normé par

∥ u ∥_{1} = n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣

Q2-

R^{(N)}

est-il une partie dense de l'espace des suites bornées normé par

∥ u ∥_{\infty} = n \in N sup ∣ u_{n} ∣

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113. $Densité de E_{0} pour les fonctions L^{2}$

On note

E

l'ensemble des fonctions réelles définies et continues sur

[0; + \infty [

et dont le carré est intégrable. On admet que

E

est un espace vectoriel réel. On le munit de la norme

∥ \cdot ∥_{2} : f \mapsto \int_{0}^{+ \infty} f^{2} (t) d t

.
On note

E_{0}

l'ensemble des

f \in E

telles que

f

est nulle hors d'un certain segment.
On note

F

l'ensemble des fonctions de

E

du type

x \mapsto P (e^{- x}) e^{- x^{2} /2}

où

P

parcourt

R [X]

. Montrer que

E_{0}

est dense dans

E

puis que

F

est dense dans

E

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114. $Convexe dense égale l'espace entier$

Soit

A

une partie convexe et partout dense d'un espace euclidien

E

.
Montrer que

A = E

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115. $Milieu dans A entraîne densité$

Soit

A

une partie non vide de

R

vérifiant

\forall a, b \in A, \frac{a + b}{2} \in A

.
Montrer que

A

est dense dans l'intervalle

] in f A; sup A [

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116. $Densité irrationnelle via ab$

Soit

A

une partie non vide de

R_{+}^{*}

vérifiant

\forall (a, b) \in A^{2}, ab \in A

.
Montrer que

A \cap (R ∖ Q)

est dense dans

] in f A; sup A [

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117. $Norme N_{φ} ssi support dense$

Soient

E = C ([0; 1], R)

φ \in E

. On note

N_{φ} : E \to R

l'application définie par

N_{φ} (f) = ∥ f φ ∥_{\infty}

.
Montrer que

N_{φ}

est une norme sur

E

si, et seulement si,

φ^{- 1} (R^{*})

est dense dans

[0; 1]

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118. $Densité des rapports u_{m} / u_{n}$

Soit

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs. On suppose

(u_{n})

strictement croissante,

u_{n} \to + \infty

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to 1

.
Montrer que l'ensemble

A = {\frac{u _{m}}{u _{n}} ∣ m > n}

est une partie dense dans l'intervalle

[1; + \infty [

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119. $Intersection avec un ouvert dense$

Soient

A

B

deux parties denses d'un espace normé

E

.
On suppose la partie

A

ouverte, montrer que

A \cap B

est une partie dense.

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120. $Équation fonctionnelle de Cauchy$

Soit

f : R \to R

continue vérifiant

\forall x, y \in R, f (x + y) = f (x) + f (y)

.
Déterminer

f

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81.Classes de similitude fermées

82.Fermé défini par une intégrale

83.Somme de deux fermés non fermée

84.Z fermé dans R

85.Ouvert P(0)=0 selon la norme

86.Adhérence du sous-espace engendré

87.Frontière fermée

88.Idempotence de la frontière

89.Ouvert et adhérence d'une partie

90.Adhérence et intérieur d'un convexe

91.Distance égale entre adhérences

92.Adhérence d'une réunion finie

93.Norme sup égale sur A et A

94.Caractérisation par la frontière

95.Matrices à spectre unimodulaire

96.Matrices de rang ≥p ouvert

97.Continu ssi {∥u(x)∥=1} fermé

98.f∘f=f sur [0;1]

99.Applications idempotentes de [0;1]

100.Moyenne de Cesàro : image et noyau

101.Scindés à racines simples : On​

102.Segments images, fibres fermées

103.Projecteurs fermés

104.GLn​(R) dense dans Mn​(R)

105.Hyperplan fermé ou dense

106.Intersection d'ouverts denses

107.Densité de un​−vp​ dans R

108.m−lnn dense dans R

109.Sous-groupes de (R,+)

110.Densité de cos(n) et cos(lnn)

111.Densité matrices diagonalisables

112.Suites finies denses dans ℓ1

113.Densité de E0​ pour les fonctions L2

114.Convexe dense égale l'espace entier

115.Milieu dans A entraîne densité

116.Densité irrationnelle via ab​

117.Norme Nφ​ ssi support dense

118.Densité des rapports um​/un​

119.Intersection avec un ouvert dense

120.Équation fonctionnelle de Cauchy

81. $Classes de similitude fermées$

82. $Fermé défini par une intégrale$

83. $Somme de deux fermés non fermée$

84. $Z fermé dans R$

85. $Ouvert P (0) \neq = 0 selon la norme$

86. $Adhérence du sous-espace engendré$

87. $Frontière fermée$

88. $Idempotence de la frontière$

89. $Ouvert et adhérence d'une partie$

90. $Adhérence et intérieur d'un convexe$

91. $Distance égale entre adhérences$

92. $Adhérence d'une réunion finie$

93. $Norme sup égale sur A et \overline{A}$

94. $Caractérisation par la frontière$

95. $Matrices à spectre unimodulaire$

96. $Matrices de rang \geq p ouvert$

97. $Continu ssi {∥ u (x) ∥ = 1} fermé$

98. $f \circ f = f sur [0; 1]$

99. $Applications idempotentes de [0; 1]$

100. $Moyenne de Cesàro : image et noyau$

101. $Scindés à racines simples : O_{n}$

102. $Segments images, fibres fermées$

103. $Projecteurs fermés$

104. $G L_{n} (R) dense dans M_{n} (R)$

105. $Hyperplan fermé ou dense$

106. $Intersection d'ouverts denses$

107. $Densité de u_{n} - v_{p} dans R$

108. $m - ln n dense dans R$

109. $Sous-groupes de (R, +)$

110. $Densité de cos (n) et cos (ln n)$

111. $Densité matrices diagonalisables$

112. $Suites finies denses dans ℓ^{1}$

113. $Densité de E_{0} pour les fonctions L^{2}$

114. $Convexe dense égale l'espace entier$

115. $Milieu dans A entraîne densité$

116. $Densité irrationnelle via ab$

117. $Norme N_{φ} ssi support dense$

118. $Densité des rapports u_{m} / u_{n}$

119. $Intersection avec un ouvert dense$

120. $Équation fonctionnelle de Cauchy$