Exercices de Topologie en maths Spé (prépa) (page 6)

201. $Limites en (0, 0) de six fonctions$

202. $Dérivation continue pour ∥ \cdot ∥_{\infty}$

Soit

E = R [X]

. On munit

E

de la norme

∥ \cdot ∥_{\infty}

définie par

∥ \sum a_{k} X^{k} ∥_{\infty} = max ∣ a_{k} ∣

. L'application

φ : P \mapsto P^{'}

est-elle continue ?

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203. $Continuité de formes linéaires$

Soit

E = C^{0} ([0, 1], R)

. On munit

E

de la norme infinie.

Q1-L'application

φ : f \mapsto \int_{0}^{1} f (t) d t

est-elle continue ?

Q2-L'application

ψ : f \mapsto \int_{0}^{1} f (t) e^{t} d t

est-elle continue ?

Q3-L'application

χ : f \mapsto \int_{0}^{1} (f (t))^{2} d t

est-elle continue ?

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204. $Évaluation en 0 pour la norme L^{1}$

Soit

E = R [X]

. On munit

E

de la norme

∥ P ∥ = \int_{0}^{1} ∣ P (t) ∣ d t

. L'application

φ : P \mapsto P (0)

est-elle continue ?

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205. $Norme de f \mapsto \int f g$

Soit

E = C ([0, 1], R)

muni de la norme infinie. Soit

ϕ : f \in E \mapsto \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

. Calculer

∣ ∣ ∣ ϕ ∣ ∣ ∣

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206. $Norme de f \mapsto f (1) - f (0)$

Soit

E = C^{1} ([0, 1], R)

muni de la norme

∥ f ∥ = ∣ f (0) ∣ + ∥ f^{'} ∥_{\infty}

. Soit

Δ : f \in E \mapsto f (1) - f (0)

. Calculer

∣ ∣ ∣Δ∣ ∣ ∣

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207. $Espace ℓ^{2} et forme linéaire$

Soit

Ω = {(x_{n}) \in C^{N} ∣ n = 0 \sum + \infty ∣ x_{n} ∣^{2} < + \infty}

Q1-Montrer que

Ω

est un espace vectoriel.

Q2-Soit

ω \in Ω

. On considère l'application

T_{ω} : x \in Ω \mapsto n = 0 \sum + \infty x_{n} ω_{n}

. Montrer que

T_{ω}

est une forme linéaire continue et calculer sa norme subordonnée.

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208. $Norme d'opérateur (ou norme subordonnée)$

Soit

A \in M_{n, p} (K)

. On munit

K^{p}

K^{n}

des normes infinies. Calculer

∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣

Q1-Soit

A \in M_{p, n} (R)

. On munit

R^{n}

R^{p}

de la norme infini. Calculer

∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣

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209. $Norme de l'opérateur D intégral$

Soit

E = C^{0} ([0, π], R)

muni de la norme infinie. Déterminer

∣ ∣ ∣ D ∣ ∣ ∣

où

D

est défini par

D (f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) sin t d t

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210. $Norme de l'opérateur d'intégration$

Soit

E = C^{0} ([0, 1], R)

muni de la norme 1. Soit

T : f \in E \mapsto (x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t)

Q1-Montrer que

T

est un endomorphisme continu de

E

et calculer

∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣

Q2-La borne supérieure définissant

∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣

est-elle atteinte ?

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211. $Opérateur à noyau min (x, t)$

Soit

E = C^{0} ([0, 1], R)

muni de la norme infinie. Soit

u : f \in E \mapsto (x \mapsto \int_{0}^{1} min (x, t) f (t) d t)

Q1-Montrer que

u

est un endomorphisme de

E

Q2-Calculer

∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣

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212. $Boule fermée compacte : dim finie$

Soit

E

un espace vectoriel normé dont la boule unité fermée est compacte. Montrer que

E

est de dimension finie.

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213. $Niveaux bornés et extremum global$

Soit

f : R^{2} \to R

une application continue telle que, pour tout

a \in R

f^{- 1} ({a})

soit borné.

Q1-Montrer que

f

admet un extremum global sur

R^{2}

Q2-Si on suppose de plus que

f^{- 1} ({a})

est vide pour tout

a < 0

, montrer que

f

admet un minimum global sur

R^{2}

Q3-Montrer que

f

n'est pas bornée ou est constante.

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214. $Application expansive est isométrie$

Soit

K

un compact d'un espace vectoriel normé

E

. Soit

g : K \to K

une application telle que

\forall (x, y) \in K^{2}, ∥ g (x) - g (y) ∥ \geq ∥ x - y ∥

. Montrer que

g

est une isométrie surjective de

K

sur

K

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215. $Distance de Hausdorff sur compacts$

Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension finie. On note

K

l'ensemble des parties compactes non vides de

E

. Pour

(A, B) \in K^{2}

, on pose

δ (A, B) = max (x \in A sup d (x, B), y \in B sup d (y, A))

Q1-Montrer que

δ

définit une distance sur

K

Q2-Soit

(K_{n})

une suite d'éléments de

K

décroissante pour l'inclusion. Montrer que la suite converge vers

K = n \in N ⋂ K_{n}

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216. $Contraction stricte sur un compact$

Soit

K

une partie compacte d'un espace vectoriel normé. Soit

f : K \to K

une application vérifiant :

\forall (x, y) \in K^{2}, x \neq = y ⟹ ∥ f (x) - f (y) ∥ < ∥ x - y ∥

Q1-Montrer que

f

admet un unique point fixe

a

Q2-Montrer que pour tout

u_{0} \in K

, la suite définie par

u_{n + 1} = f (u_{n})

converge vers

a

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217. $Maximum d'un polynôme sur le disque$

Soit

B

la boule unité fermée de

C

S

le cercle unité. Soit

P \in C [X]

. Montrer que

z \in B max ∣ P (z) ∣ = z \in S max ∣ P (z) ∣

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218. $Compacité de O_{n} (R)$

Montrer que

O_{n} (R)

est un compact de

M_{n} (R)

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219. $Fonction coercive : minimum global$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie. Soit

f : E \to R

une application continue telle que

∥ x ∥ \to + \infty lim f (x) = + \infty

. Montrer que

f

admet un minimum global sur

E

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220. $Continuité de l'inverse sur compact$

Soit

K

une partie compacte d'un espace vectoriel normé

E

. Soit

f

une bijection continue de

K

sur

L \subset F

. Montrer que

f^{- 1}

est continue.

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221. $Théorème de compacité de Riesz$

Soit

E

un espace vectoriel normé. Montrer que la boule unité fermée de

E

est compacte si et seulement si

E

est de dimension finie.

Q1-Soit

F

un sous-espace vectoriel fermé strict de

E

. Montrer qu'il existe

u \in E

unitaire tel que

d (u, F) \geq \frac{1}{2}

Q2-En déduire le théorème de Riesz.

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222. $Matrices stochastiques$

Une matrice de

M_{n} (R)

est dite stochastique si ses coefficients sont positifs et si la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est un compact.

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223. $Projeté sur un fermé, unicité$

Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit

X

une partie de

E

fermée.

Q1-Soit

a \in E

. Montrer qu'il existe

x_{0} \in X

tel que

∥ a - x_{0} ∥ = d (a, X)

Q2-Lunicité est-elle assurée ?

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224. $Boule et sphère unité : compacité$

Soit

B

la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé

E

S

la sphère unité. Montrer que

B

est compacte si et seulement si

S

est compacte.

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225. $Composantes de K^{n} privé d'hyperplans$

Soit

(f_{1}, \dots, f_{r})

une famille libre de formes linéaires sur

R^{n}

(ou

C^{n}

). Déterminer le nombre de composantes connexes par arcs de

U = K^{n} ∖ i = 1 ⋃ r ker (f_{i})

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226. $Sphère connexe par arcs en dim \geq 2$

On étudie la connexité par arcs des sphères d'un espace vectoriel normé de dimension au moins

2

Q1-Montrer que toute sphère d'un espace vectoriel normé de

d im e

nsion supérieure ou égale à 2 est connexe par arcs.

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227. $O_{n} (R) non connexe par arcs$

Le groupe orthogonal

O_{n} (R)

est-il connexe par arcs ?

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228. $S O_{2} (R) est connexe$

Le groupe spécial orthogonal

S O_{2} (R)

est-il connexe par arcs ?

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229. $Connexité par arcs de GLn(C)$

Montrer que

G L_{n} (C)

est connexe par arcs.

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230. $Racine cubique continue sur C^{*}$

Trouver toutes les applications continues

f : C^{*} \to C^{*}

telles que

\forall z \in C^{*}, (f (z))^{3} = z

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231. $Pas d'injection U \to R$

Existe-t-il une application continue injective

f : U \to R

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232. $Injection continue de R^{2} dans R$

Existe-t-il une application continue injective

f : R^{2} \to R

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233. $Densité de G L_{n} (C)$

Démontrer que

G L_{n} (C)

est dense dans

M_{n} (C)

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234. $Densité des polynômes$

Démontrer que l'ensemble des fonctions polynomiales est dense dans l'espace

E = C ([0, 1], R)

muni de la norme

∣ \cdot ∣_{1}

définie par

∣ f ∣_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣ d t

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235. $Non connexité par arcs de G L_{n} (R)$

Démontrer que

G L_{n} (R)

n'est pas connexe par arcs.

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236. $Non connexité par arcs de O_{n} (R)$

Démontrer que le groupe orthogonal

O_{n} (R)

n'est pas connexe par arcs.

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237. $Densité d'une réunion$

Soit

A

une partie non majorée de

R^{+}

. Pour tout entier

n \in N^{*}

, on note

A_{n} = {\frac{a}{n} ∣ a \in A}

puis

B = n \in N^{*} ⋃ A_{n}

. Montrer que

B

est dense dans

R^{+}

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201.Limites en (0,0) de six fonctions

202.Dérivation continue pour ∥⋅∥∞​

203.Continuité de formes linéaires

204.Évaluation en 0 pour la norme L1

205.Norme de f↦∫fg

206.Norme de f↦f(1)−f(0)

207.Espace ℓ2 et forme linéaire

208.Norme d'opérateur (ou norme subordonnée)

209.Norme de l'opérateur D intégral

210.Norme de l'opérateur d'intégration

211.Opérateur à noyau min(x,t)

212.Boule fermée compacte : dim finie

213.Niveaux bornés et extremum global

214.Application expansive est isométrie

215.Distance de Hausdorff sur compacts

216.Contraction stricte sur un compact

217.Maximum d'un polynôme sur le disque

218.Compacité de On​(R)

219.Fonction coercive : minimum global

220.Continuité de l'inverse sur compact

221.Théorème de compacité de Riesz

222.Matrices stochastiques

223.Projeté sur un fermé, unicité

224.Boule et sphère unité : compacité

225.Composantes de Kn privé d'hyperplans

226.Sphère connexe par arcs en dim ≥2

227.On​(R) non connexe par arcs

228.SO2​(R) est connexe

229.Connexité par arcs de GLn(C)

230.Racine cubique continue sur C∗

231.Pas d'injection U→R

232.Injection continue de R2 dans R

233.Densité de GLn​(C)

234.Densité des polynômes

235.Non connexité par arcs de GLn​(R)

236.Non connexité par arcs de On​(R)

237.Densité d'une réunion

201. $Limites en (0, 0) de six fonctions$

202. $Dérivation continue pour ∥ \cdot ∥_{\infty}$

203. $Continuité de formes linéaires$

204. $Évaluation en 0 pour la norme L^{1}$

205. $Norme de f \mapsto \int f g$

206. $Norme de f \mapsto f (1) - f (0)$

207. $Espace ℓ^{2} et forme linéaire$

208. $Norme d'opérateur (ou norme subordonnée)$

209. $Norme de l'opérateur D intégral$

210. $Norme de l'opérateur d'intégration$

211. $Opérateur à noyau min (x, t)$

212. $Boule fermée compacte : dim finie$

213. $Niveaux bornés et extremum global$

214. $Application expansive est isométrie$

215. $Distance de Hausdorff sur compacts$

216. $Contraction stricte sur un compact$

217. $Maximum d'un polynôme sur le disque$

218. $Compacité de O_{n} (R)$

219. $Fonction coercive : minimum global$

220. $Continuité de l'inverse sur compact$

221. $Théorème de compacité de Riesz$

222. $Matrices stochastiques$

223. $Projeté sur un fermé, unicité$

224. $Boule et sphère unité : compacité$

225. $Composantes de K^{n} privé d'hyperplans$

226. $Sphère connexe par arcs en dim \geq 2$

227. $O_{n} (R) non connexe par arcs$

228. $S O_{2} (R) est connexe$

229. $Connexité par arcs de GLn(C)$

230. $Racine cubique continue sur C^{*}$

231. $Pas d'injection U \to R$

232. $Injection continue de R^{2} dans R$

233. $Densité de G L_{n} (C)$

234. $Densité des polynômes$

235. $Non connexité par arcs de G L_{n} (R)$

236. $Non connexité par arcs de O_{n} (R)$

237. $Densité d'une réunion$