Exercices de Topologie en maths Spé (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Topologie, Spé (prépa) (page 4)
237 exercices de Topologie pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Topologie d'un espace vectoriel normé, Limite d'une application, Continuité, Compacité.
Soit (un) une suite réelle telle que un+1−un→0 et un→+∞. Soit (vp) une suite réelle telle que vp→+∞.
Q1-On fixe deux réels a et b tels que a<b. Pour p et q dans N, on pose (wn)=(un+p−vq). Montrer que l'on peut choisir p et q de telle sorte que l'on ait w0≤a et, pour n∈N, ∣wn+1−wn∣≤(b−a)/2.
Soit f:[a;b]→R continue telle que ∫abf(t)dt=0. Montrer qu'il existe une suite (Pn) de polynômes telle que ∫abPn(t)dt=0 et t∈[a;b]sup∣f(t)−Pn(t)∣n→+∞0.
(Théorème de Weierstrass : par convolution) n désigne un entier naturel. On pose an=∫−11(1−t2)ndt et on considère la fonction φn:[−1;1]→R définie par φn(x)=an1(1−x2)n.
Q1-Calculer ∫01t(1−t2)ndt. En déduire que an≥n+11.
Soit n∈N et A∈Mn(R) une matrice à coefficients strictement positifs. Pour x=(x1,…,xn) et y=(y1,…,yn) choisis dans Rn, on écrit x≤y si xi≤yi pour tout indice i.
Q1-Écrire un programme Python qui renvoie la valeur propre de module maximal d'une matrice passée en argument.
Q2-Tester ce programme pour dix matrices carrées à coefficients pris aléatoirement dans [1;2[.
Q3-SoitS={λ∈R+∣∃x∈Rn∖{0},0≤x et λx≤Ax}.Soit λ∈S. Montrer qu'il existe x∈Rn tel que0≤x,i=1∑nxi=1etλx≤Ax.
On note E l'ensemble des fonctions réelles continues sur [0;+∞[ dont le carré est intégrable, muni de ∥⋅∥2. On note E0 l'ensemble des f∈E nulles hors d'un segment. On note F l'ensemble des x↦P(e−x)e−x2/2 où P parcourt R[X]. Montrer que E0 est dense dans E puis que F est dense dans E.
Pour n∈N∗, on désigne On l'ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples et Fn l'ensemble des polynômes de Rn[X] scindés à racines simples. Ces ensembles sont-ils ouverts dans Rn[X] ?
Soient I un intervalle de R et f:I→R2 une application continue. Soit D une droite de R2 et P+ et P− les demi-plans de R2 délimités par D. On suppose qu'il existe (a,b)∈I2 tel que f(a)∈P+ et f(b)∈P−. Montrer qu'il existe c∈I tel que f(c)∈D.
Soient E un espace vectoriel normé, K un compact de E et g:K→K une application 1-lipschitzienne. On cherche à montrer que g est surjective si, et seulement si, c'est une isométrie.
Q1-On commence par supposer g surjective. On considère x et y dans K ainsi que xn et yn des antécédents par gn de x et y respectivement. On note (x′,y′) une valeur d'adhérence de la suite (xn,yn)n∈N. Montrer que x−y est une valeur d'adhérence de la suite (gn(x′)−gn(y′))n∈N.
Q2-Montrer que la suite (∥gn(x′)−gn(y′)∥)n∈N tend vers ∥x−y∥. En déduire que g est une isométrie.
Q3-On suppose maintenant que g est une isométrie. Montrer que g est surjective. Donner un contre-exemple lorsque K est seulement bornée.
Q1-Pour un compact K non vide, on pose δ(K)=(x,y)∈K2sup∥x−y∥. Montrer que δ(K) est bien défini. La borne supérieure est-elle atteinte ?
Q2-Pour a∈E, on note Sa l'ensemble des compacts de E symétriques par rapport à a. Pour B compact de E, on poseT(B)={x∈B∣∀y∈B,∥x−y∥≤21δ(B)}Montrer que T induit une application de Sa dans Sa.
Q3-Soit B0∈Sa. On pose Bn+1=T(Bn) pour n∈N. Déterminer n≥0⋂Bn.
Q4-En déduire que toute isométrie de E conserve les milieux.
Remarque : une isométrie de E est une application u:E→E telle que ∥u(x)−u(y)∥=∥x−y∥ pour tout (x,y)∈E2.
Soit E un espace préhilbertien réel muni de son produit scalaire ⟨⋅,⋅⟩. On note ∥⋅∥ la norme associée. On dit qu'une suite (xn)∈EN converge fortement vers x∈E si n→+∞lim∥xn−x∥=0 et que (xn) converge faiblement vers x si ∀y∈E,n→+∞lim⟨xn−x,y⟩=0.
Q1-a. Montrer que si (xn) converge faiblement, sa limite est unique. b. Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.
Q2-Montrer que (xn) converge fortement vers x si et seulement si (xn) converge faiblement vers x et n→+∞lim∥xn∥=∥x∥.
Q2-Montrer que {un−vp∣(n,p)∈N2} est dense dans R.
Q3-Déterminer l'adhérence de {sin(un)∣n∈N}.
Q4-Déterminer l'adhérence de {un−⌊un⌋∣n∈N}.
Q5-Quel est l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (un−⌊un⌋) ?
Q2-Soient α>0 et x∈[0;1]. On forme A={k∈[[0;n]]∣∣k/n−x∣≥α} et B={k∈[[0;n]]∣∣k/n−x∣<α}. Montrer que k∈A∑Bn,k(x)≤4nα21.
Q3-Soit f:[0;1]→R continue. On pose fn(x)=k=0∑nf(k/n)Bn,k(x). Montrer que (fn) converge uniformément vers f sur [0;1].
Q2-Soit α∈]0;1]. Montrer que (φn) converge uniformément vers la fonction nulle sur [α;1].
Q3-Soit f une fonction continue de R vers R nulle en dehors de [−1/2;1/2]. Montrer que f est uniformément continue. On pose fn(x)=∫−11f(x−t)φn(t)dt.
Q4-Montrer que fn est une fonction polynomiale sur [−1/2;1/2].
Q5-Montrer que f(x)−fn(x)=∫−11(f(x)−f(x−t))φn(t)dt.
Q6-En déduire que fn converge uniformément vers f sur R.
Q7-Soit f une fonction réelle continue nulle en dehors de [−a;a]. Montrer que f est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Q8-Soit f une fonction réelle continue sur [a;b]. Montrer que f est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Q3-En déduire qu'il existe f dans C([0;+∞[,R) non nulle, telle que, pour tout n dans N, on ait ∫0+∞xnf(x)dx=0.
Q2-Si Na et Nb sont des normes, calculer(x,y)=0infNb(x,y)Na(x,y)et(x,y)=0supNb(x,y)Na(x,y).
Q4-Soit λ une valeur propre complexe. Montrer que ∣λ∣∈S.
Q5-Montrer que la partie S est majorée et expliciter un majorant.
Q6-Montrer que S est une partie compacte.
Q7-Soit α=maxS. Montrer que α est une valeur propre de A strictement positive associée à un vecteur propre strictement positif.
Q3-Donner un contre-exemple en ne supposant plus K compact.
Q3-Montrer que, en dimension finie, ces deux modes de convergence sont équivalents.
