Exercices de Applications linéaires en maths Sup (prépa)

1. $Linéarité : liste d'applications$

Les applications entre

R

-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :

2. $Automorphisme de R^{2}$

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

définie par

f (x, y) = (x + y, x - y)

.
Montrer que

f

est un automorphisme de

R^{2}

et déterminer son automorphisme réciproque.

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3. $Forme linéaire intégrale sur [0; 1]$

Soit

J : C ([0; 1], R) \to R

définie par

J (f) = \int_{0}^{1} f (t) d t

.
Montrer que

J

est une forme linéaire.

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4. $Endomorphisme différentiel, noyau$

Soit

φ : C^{\infty} (R, R) \to C^{\infty} (R, R)

définie par

φ (f) = f^{''} - 3 f^{'} + 2 f

.
Montrer que

φ

est un endomorphisme et préciser son noyau.

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5. $Évaluation en un point fixé$

Soient

a

un élément d'un ensemble

X

non vide et

E

K

-espace vectoriel.

Q1-Montrer que

E_{a} : F (X, E) \to E

définie par

E_{a} (f) = f (a)

est une application linéaire.

Q2-Déterminer l'image et le noyau de l'application

E_{a}

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6. $Partie entière des polynômes$

Montrer que l'application partie entière

Ent : K (X) \to K [X]

est linéaire et déterminer son noyau.

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7. $Image, noyau et sous-espaces$

Soient

E, F

deux

K

-espaces vectoriels,

f \in L (E, F)

A, B

deux sous-espaces vectoriels de

E

. Montrer

f (A) \subset f (B) ⟺ A + Ker f \subset B + Ker f .

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8. $Sous-espace stable par f$

Soient

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

F

un sous-espace vectoriel de

E

Q1-Exprimer

u^{- 1} (u (F))

en fonction de

F

et de

Ker u

Q2-Exprimer

u (u^{- 1} (F))

en fonction de

F

et de

Im u

Q3-À quelle condition a-t-on

u (u^{- 1} (F)) = u^{- 1} (u (F))

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9. $Images de familles de sev$

Soit

E

F

des

K

-espaces vectoriels. On se donne

f \in L (E, F)

, une famille

(E_{i})_{1 \leq i \leq n}

de sous-espaces vectoriels de

E

et une famille

(F_{j})_{1 \leq j \leq p}

de sous-espaces vectoriels de

F

Q1-Montrer

f (i = 1 \sum n E_{i}) = i = 1 \sum n f (E_{i})

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10. $Homothétie : x et f (x) colinéaires$

Soit

f \in L (E)

tel que pour tout

x \in E

x

f (x)

soient colinéaires.
Montrer que

f

est une homothétie vectorielle.

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11. $Deux endomorphismes proportionnels$

Soient

f, g \in L (E, F)

. On suppose

\forall x \in E, \exists λ_{x} \in K, g (x) = λ_{x} f (x)

.
Montrer qu'il existe

λ \in K

tel que

g = λ f

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12. $Endomorphismes liés par colinéarité$

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n \geq 2

. Pour

a \in E

, on note

F_{a}

l'ensemble des endomorphismes

f

E

tels que, pour tout

x \in E

, la famille

(x, f (x), a)

est liée.

Q1-Déterminer

F_{a}

lorsque

a = 0

puis lorsque

n = 2

Q2-Montrer que

F_{a}

est un espace vectoriel pour tout

a \in E

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13. $f^{2} - 3 f + 2 Id = 0$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

f \in L (E)

tel que

f^{2} - 3 f + 2 Id = 0

Q1-Montrer que

f

est inversible et exprimer son inverse en fonction de

f

Q2-Établir que

Ker (f - Id)

Ker (f - 2 Id)

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

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14. $Noyau et image, f g = Id$

Soient

f

g

deux endomorphismes d'un

K

-espace vectoriel

E

vérifiant

f \circ g = Id

.
Montrer que

Ker f = Ker (g \circ f)

Im g = Im (g \circ f)

puis que

Ker f

Im g

sont supplémentaires.

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15. $Section et décomposition de E$

Soient

f

g

deux endomorphismes d'un espace vectoriel

E

sur

R

C

vérifiant

f \circ g = Id

Q1-Montrer que

Ker (g \circ f) = Ker f

Im (g \circ f) = Im g

Q2-Montrer

E = Ker f \oplus Im g

Q3-Dans quel cas peut-on conclure

g = f^{- 1}

Q4-Calculer

(g \circ f) \circ (g \circ f)

et caractériser

g \circ f

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16. $Endomorphismes pseudo-inverses$

Soient

f, g \in L (E)

tels que

g \circ f \circ g = g

f \circ g \circ f = f

Q1-Montrer que

Im f

Ker g

sont supplémentaires dans

E

Q2-Justifier que

f (Im g) = Im f

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17. $Inversibilité de Id - f$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

f

un endomorphisme de

E

nilpotent, i.e. tel qu'il existe

n \in N^{*}

pour lequel

f^{n} = 0

. Montrer que

Id - f

est inversible et exprimer son inverse en fonction de

f

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18. $Commutation d'une translation$

À quelle condition une translation et un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

commutent-ils ?

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19. $Sous-groupe de G L (E) stable$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

F

un sous-espace vectoriel de

L (E)

stable par composition et contenant l'endomorphisme

Id_{E}

.
Montrer que

F \cap G L (E)

est un sous-groupe de

(G L (E), \circ)

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20. $Caractérisation des projecteurs$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

p \in L (E)

Q1-Montrer que

p

est un projecteur si, et seulement si,

Id - p

l'est.

Q2-Exprimer alors

Im (Id - p)

Ker (Id - p)

en fonction de

Im p

Ker p

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21. $Projecteurs de même noyau$

Soient

p, q \in L (E)

. Montrer l'équivalence entre les assertions :

(i)

p \circ q = p

q \circ p = q

;

(ii)

p

q

sont des projecteurs de même noyau.

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22. $Composée de projecteurs commutants$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

p, q

deux projecteurs de

E

qui commutent.
Montrer que

p \circ q

est un projecteur de

E

. En déterminer noyau et image.

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23. $Involution et somme directe$

Soit

E

K

-espace vectoriel.
Soit

s

un endomorphisme de

E

involutif, i.e. tel que

s^{2} = Id

.
On pose

F = Ker (s - Id)

G = Ker (s + Id)

.
Plus généralement, soient

α \in K ∖ {1}

f

un endomorphisme de

E

tel que

f^{2} - (α + 1) f + α Id = 0

.
On pose

F = Ker (f - Id)

G = Ker (f - α Id)

Q1-Montrer que

F

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

Q2-Montrer que

s

est la symétrie vectorielle par rapport à

F

et parallèlement à

G

Q3-Montrer que

F

G

sont supplémentaires dans

E

Q4-Montrer que

f

est l'affinité par rapport à

F

, parallèlement à

G

et de rapport

α

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24. $Décomposition via f^{2} - 4 f + 3$

Soit

f \in L (E)

tel que

f^{2} - 4 f + 3 Id = \tilde{0}

. Montrer

Ker (f - Id) \oplus Ker (f - 3 Id) = E .

Quelle transformation vectorielle réalise

f

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25. $Ensembles liés à un projecteur p$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

p

un projecteur de

E

. On pose

q = Id - p

et on considère

L = {f \in L (E) ∣ \exists u \in L (E), f = u \circ p} et M = {g \in L (E) ∣ \exists v \in L (E), g = v \circ q} .

Montrer que

L

M

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

L (E)

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26. $Deux projecteurs avec p \circ q = 0$

Soient

p

q

deux projecteurs d'un

K

-espace vectoriel

E

vérifiant

p \circ q = 0

Q1-Montrer que

r = p + q - q \circ p

est un projecteur.

Q2-Déterminer image et noyau de celui-ci.

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27. $Projecteur et commutateur$

Soit

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L (E)

.
On suppose qu'il existe un projecteur

p

E

tel que

u = p \circ u - u \circ p

Q1-Montrer que

u (Ker p) \subset Im p

Im p \subset Ker u

Q2-En déduire

u^{2} = 0

Q3-Réciproque ?

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28. $Section droite et projecteur$

Soient

E

F

deux

K

-espaces vectoriels de dimensions finies respectives

n

p

avec

n > p

.
On considère

u \in L (E, F)

v \in L (F, E)

vérifiant

u \circ v = Id_{F}

Q1-Montrer que

v \circ u

est un projecteur.

Q2-Déterminer son rang, son image et son noyau.

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29. $Projecteurs et inclusion d'images$

Soient

p

q

deux projecteurs d'un

R

-espace vectoriel

E

vérifiant

Im p \subset Ker q

.
Montrer que

p + q - p \circ q

est un projecteur et préciser son image et son noyau.

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30. $Projecteur d'une section droite$

Soit

f

g

deux endomorphismes d'un espace vectoriel

E

sur

R

C

vérifiant

f \circ g = Id

Q1-Montrer que

Ker (g \circ f) = Ker f

Im (g \circ f) = Im g

Q2-Montrer

E = Ker f \oplus Im g

Q3-Dans quel cas peut-on conclure

g = f^{- 1}

Q4-Caractériser

g \circ f

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31. $Hyperplan et supplémentaire$

Soit

H

un hyperplan d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension quelconque.
Soit

a

un vecteur de

E

qui n'appartient pas à

H

. Montrer

H \oplus Vect (a) = E .

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32. $Droite et hyperplan supplémentaires$

Soient

H

un hyperplan d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension quelconque et

D

une droite vectorielle non incluse dans

H

.
Montrer que

D

H

sont supplémentaires dans

E

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33. $Sous-espace contenant un hyperplan$

Soit

H

un hyperplan d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension quelconque.
On suppose que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

contenant

H

. Montrer

F = H

F = E

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34. $Formes linéaires de même noyau$

Soient

f, g \in E^{*}

telles que

Ker f = Ker g

. Montrer qu'il existe

α \in K

tel que

f = α g

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35. $Base et annulation des formes$

Soit

e = (e_{1}, \dots, e_{n})

une famille de vecteurs d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n \in N^{*}

. On suppose que

\forall f \in E^{*}, f (e_{1}) = \dots = f (e_{n}) = 0 \Rightarrow f = 0.

Montrer que

e

est une base de

E

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36. $Injectivité et préimage d'un sev$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie,

V

un sous-espace vectoriel de

E

f \in L (E)

. Montrer

V \subset f (V) \Rightarrow f (V) = V .

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37. $Rang conservé par injection$

Soit

f \in L (E, F)

injective. Montrer que pour toute famille

(x_{1}, \dots, x_{p})

de vecteurs de

E

, on a

rg (f (x_{1}), \dots, f (x_{p})) = rg (x_{1}, \dots, x_{p}) .

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38. $Base du noyau et de l'image$

Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :

Q1-

f : R^{3} \to R^{3}

définie par

f (x, y, z) = (y - z, z - x, x - y)

Q2-

f : R^{4} \to R^{3}

définie par

f (x, y, z, t) = (2 x + y + z, x + y + t, x + z - t)

Q3-

f : C \to C

définie par

f (z) = z + i \overset{z}{ˉ}

(

C

est ici vu comme un

R

-espace vectoriel).

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1.Linéarité : liste d'applications

2.Automorphisme de R2

3.Forme linéaire intégrale sur [0;1]

4.Endomorphisme différentiel, noyau

5.Évaluation en un point fixé

6.Partie entière des polynômes

7.Image, noyau et sous-espaces

8.Sous-espace stable par f

9.Images de familles de sev

10.Homothétie : x et f(x) colinéaires

11.Deux endomorphismes proportionnels

12.Endomorphismes liés par colinéarité

13.f2−3f+2Id=0

14.Noyau et image, fg=Id

15.Section et décomposition de E

16.Endomorphismes pseudo-inverses

17.Inversibilité de Id−f

18.Commutation d'une translation

19.Sous-groupe de GL(E) stable

20.Caractérisation des projecteurs

21.Projecteurs de même noyau

22.Composée de projecteurs commutants

23.Involution et somme directe

24.Décomposition via f2−4f+3

25.Ensembles liés à un projecteur p

26.Deux projecteurs avec p∘q=0

27.Projecteur et commutateur

28.Section droite et projecteur

29.Projecteurs et inclusion d'images

30.Projecteur d'une section droite

31.Hyperplan et supplémentaire

32.Droite et hyperplan supplémentaires

33.Sous-espace contenant un hyperplan

34.Formes linéaires de même noyau

35.Base et annulation des formes

36.Injectivité et préimage d'un sev

37.Rang conservé par injection

38.Base du noyau et de l'image

1. $Linéarité : liste d'applications$

2. $Automorphisme de R^{2}$

3. $Forme linéaire intégrale sur [0; 1]$

4. $Endomorphisme différentiel, noyau$

5. $Évaluation en un point fixé$

6. $Partie entière des polynômes$

7. $Image, noyau et sous-espaces$

8. $Sous-espace stable par f$

9. $Images de familles de sev$

10. $Homothétie : x et f (x) colinéaires$

11. $Deux endomorphismes proportionnels$

12. $Endomorphismes liés par colinéarité$

13. $f^{2} - 3 f + 2 Id = 0$

14. $Noyau et image, f g = Id$

15. $Section et décomposition de E$

16. $Endomorphismes pseudo-inverses$

17. $Inversibilité de Id - f$

18. $Commutation d'une translation$

19. $Sous-groupe de G L (E) stable$

20. $Caractérisation des projecteurs$

21. $Projecteurs de même noyau$

22. $Composée de projecteurs commutants$

23. $Involution et somme directe$

24. $Décomposition via f^{2} - 4 f + 3$

25. $Ensembles liés à un projecteur p$

26. $Deux projecteurs avec p \circ q = 0$

27. $Projecteur et commutateur$

28. $Section droite et projecteur$

29. $Projecteurs et inclusion d'images$

30. $Projecteur d'une section droite$

31. $Hyperplan et supplémentaire$

32. $Droite et hyperplan supplémentaires$

33. $Sous-espace contenant un hyperplan$

34. $Formes linéaires de même noyau$

35. $Base et annulation des formes$

36. $Injectivité et préimage d'un sev$

37. $Rang conservé par injection$

38. $Base du noyau et de l'image$