Exercices de Applications linéaires en maths Sup (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Applications linéaires, Sup (prépa) (page 4)
174 exercices de Applications linéaires pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Définition et premiers exemples, Noyau et image, Applications linéaires en dimension finie, Projecteurs, symétries, homothéties.
Soient E un C-espace vectoriel, u∈L(E) et X2+aX+b un polynôme à coefficients complexes.
Q1-On note r1 et r2 les deux racines (éventuellement confondues) de X2+aX+b. Montrer queu2+au+bIdE=(u−r1IdE)∘(u−r2IdE)=(u−r2IdE)∘(u−r1IdE)
Q2-On pose F=Ker(u2+au+bIdE), F1=Ker(u−r1IdE) et F2=Ker(u−r2IdE). Montrer que F1⊂F et F2⊂F.
Q3-À partir de maintenant, on suppose que les deux racines r1 et r2 sont distinctes. Montrer que F=F1⊕F2.
Q4-Application : Dans cette question, on suppose que E est le C-espace vectoriel des fonctions de R dans C de classe C∞ et que u est l'endomorphisme de E qui à f associe f′. On considère l'équation différentielle (E) : y′′+ay′+by=0 dont on cherche les solutions à valeurs complexes.
Montrer que toute solution de (E) est de classe C∞ sur R.
Montrer que l'ensemble des solutions de (E) est F.
Déterminer F1 et F2.
En déduire le résultat du cours déjà connu : les solutions de (E) sont les fonctions de R dans C du type t↦λer1t+μer2t avec λ et μ décrivant C.
Pour f∈C([0,1],R) et x∈[0,1], on pose Φ(f)(x)=∫01min(x,t)f(t)dt.
Q1-Prouver que Φ est un endomorphisme de C([0,1],R).
Q2-En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de Φ(f)(x). En déduire que Φ(f) est de classe C2 et exprimer Φ(f)′′ en fonction de f.
On considère le sous-espace vectoriel F de C1(R) engendré par la famille B=(sin,cos,sinh,cosh).
Q1-Montrer que B est une base de F.
Q2-On note D l'opérateur de dérivation. Montrer que F est stable par D. On notera d l'endomorphisme de F induit par D.
Q3-On note M la matrice de d dans la base B. Calculer Mn pour tout n∈N.
Q4-Montrer que d est un automorphisme de F. Écrire la matrice de d−1 dans la base B.
Q5-On note f=d−Id. Déterminer l'image et le noyau de f.
Q6-On note g=d+Id. Déterminer l'image et le noyau de g∘f.
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Question 1 — B est une base de F.
Les fonctions sin,cos,sinh,cosh appartiennent à C1(R), et F est par définition leur espace engendré. Il suffit de montrer que la famille est libre.
Supposons asin+bcos+csinh+dcosh=0 (fonction nulle). En évaluant en 0 : b+d=0. En dérivant : acos−bsin+ccosh+dsinh=0, puis en 0 : a+c=0. En 0 pour la dérivée seconde : −b+d=0. Donc b=d=0, puis a=−c. En 0 pour la dérivée troisième : −a+c=0, donc a=c, d'où a=c=0. La famille est libre et B est une base de F (dimension 4).
Question 2 — F est stable par D.
On a D(sin)=cos∈F, D(cos)=−sin∈F, D(sinh)=cosh∈F, D(cosh)=sinh∈F. Par linéarité de D, tout élément de F (combinaison linéaire de B) a une dérivée dans F. Donc F est stable par D, et d=D∣F∈L(F).
La matrice de d dans B=(sin,cos,sinh,cosh) :M=0100−100000010010Question 3 — Calcul de Mn.
On décompose en blocs : M=(A00B) avec A=(01−10) (rotation de π/2) et B=(0110).
An=(cos(nπ/2)sin(nπ/2)−sin(nπ/2)cos(nπ/2)).
Pour B : B2=I2, donc Bn=I2 si n pair, Bn=B si n impair.
Donc Mn=(An00Bn).
Question 4 — d est un automorphisme.
det(M)=det(A)det(B)=1⋅(−1)=−1=0, donc d est un automorphisme. La matrice de d−1 est M−1. On calcule : A−1=A3=(0−110) et B−1=B. Donc M−1=0−100100000010010, correspondant à d−1(f)=∫0xf (à une constante près dans F).
Question 5 — Image et noyau de f=d−Id.
La matrice de f est M−I4. On calcule ker(f) : f(x)=0 signifie d(x)=x, c'est-à-dire que x est une combinaison de sin,cos,sinh,cosh vérifiant x′=x. Seul ex vérifie cela, mais ex∈/F. On vérifie que M−I4 est de rang 4 (inversible) donc ker(f)={0} et Im(f)=F.
En effet det(M−I4)=det(A−I2)det(B−I2)=2⋅(−2)=−4=0.
Question 6 — Image et noyau de g∘f avec g=d+Id.
La matrice de g est M+I4. det(M+I4)=det(A+I2)det(B+I2)=2⋅(−2+2⋅0)... On calcule directement : det(A+I2)=det(11−11)=2 et det(B+I2)=det(1111)=0.
Donc g n'est pas injective. ker(g) : d(x)=−x avec x∈F, i.e. x=acosh−asinh=ae−x... Dans F : asin+bcos+csinh+dcosh vérifiant acos−bsin+ccosh+dsinh=−(asin+bcos+csinh+dcosh). Par identification : −b=a, a=−b (cohérent), d=−c, c=−d (cohérent). Donc ker(g)=Vect(sin−cos,sinh−cosh), de dimension 2.
Comme f est un isomorphisme, ker(g∘f)=f−1(kerg) est de dimension 2, et Im(g∘f)=g(Im(f))=g(F)=Im(g), de dimension 2.
118.CCP MP
Pour p∈N et α∈R∖{0,1}, on note Sp l'ensemble des suites réelles u vérifiant :∃P∈Rp[X],∀n∈N,un+1=αun+P(n)
Q1-Montrer que si u∈Sp, P est unique. On notera Pu ce polynôme.
Soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie et f un endomorphisme de E. On souhaite prouver l'équivalence des deux propriétés suivantes : (∗) Il existe un projecteur p de E tel que f=p∘f−f∘p (∗∗)f2=0
Q1-Supposons (∗) vérifiée. Prouver que p∘f∘p=0, puis que f=p∘f. En déduire que (∗∗) est vérifiée.
Q2-Supposons (∗∗) vérifiée. Soit S un supplémentaire de Kerf dans E et p le projecteur sur Ker(f) parallèlement à S. Prouver la propriété (∗).
Soient E un espace vectoriel sur K et u un endomorphisme de E.
Q1-On suppose dans cette question l'existence d'un projecteur p de E tel que u=p∘u−u∘p.
Démontrer que p∘u∘p=0. On précisera de quel 0 il s'agit.
Prouver que u∘p=0.
En déduire que u2=0.
Q2-On suppose dans cette question que u2=0.
Démontrer que Im(u)⊂Ker(u).
Soient H et S deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E tels que Im(u)⊂H⊂Ker(u). En notant q la projection sur H parallèlement à S, reconnaître l'application linéaire q∘u−u∘q.
Q3-Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un projecteur p de E tel que u=p∘u−u∘p.
Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et A une partie finie de GL(E) stable par composition. On pose p=∣A∣1f∈A∑f. Montrer que p est un projecteur.
