Exercices de Applications linéaires en maths Sup (prépa) (page 2)

40. $Polynôme annulateur$

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension

n

. Montrer que

(Id, f, f^{2}, \dots, f^{n^{2}})

est liée et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule

f

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41. $Endomorphismes d'un plan vectoriel$

Soit

E

un plan vectoriel.

Q1-Montrer que

f

endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si,

Ker f = Im f

Q2-En déduire qu'un tel endomorphisme ne peut s'écrire sous la forme

f = u \circ v

avec

u

v

nilpotents.

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42. $Isomorphisme d'évaluation$

Soient

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}

des éléments deux à deux distincts de

K

.
Montrer que l'application

φ : K_{n} [X] \to K^{n + 1}

définie par

φ (P) = (P (a_{0}), P (a_{1}), \dots, P (a_{n}))

est un isomorphisme de

K

-espace vectoriel.

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43. $Isomorphisme évaluation-dérivée$

Soient

a_{0}, \dots, a_{n}

des réels distincts et

φ : R_{2 n + 1} [X] \to R^{2 n + 2}

définie par

φ (P) = (P (a_{0}), P^{'} (a_{0}), \dots, P (a_{n}), P^{'} (a_{n})) .

Montrer que

φ

est bijective.

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44. $Inégalités de rang de f + g$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in L (E)

.
Montrer que

rg (f + g) \leq rg (f) + rg (g)

puis que

∣ rg (f) - rg (g) ∣ \leq rg (f - g)

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45. $Rang sous f \circ g \circ f = f$

Soient

E

F

deux

K

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f \in L (E, F)

g \in L (F, E)

telles que

f \circ g \circ f = f

g \circ f \circ g = g

.
Montrer que

f

g

f \circ g

g \circ f

ont même rang.

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46. $Inégalités triangulaires du rang$

Soient

f, g \in L (E)

où

E

est un espace vectoriel sur

K

de dimension finie. Montrer

∣ rg (f) - rg (g) ∣ \leq rg (f + g) \leq rg (f) + rg (g) .

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47. $Rang de u + v en dimension finie$

Soient

u

v

deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie

E

Q1-Montrer

∣ rg (u) - rg (v) ∣ \leq rg (u + v) \leq rg (u) + rg (v)

Q2-Trouver

u

v

dans

L (R^{2})

tels que

rg (u + v) < rg (u) + rg (v)

Q3-Trouver deux endomorphismes

u

v

R^{2}

tels que

rg (u + v) = rg (u) + rg (v)

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48. $Rang de f + g et sommes directes$

Soient

E, F

deux

K

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f, g \in L (E, F)

.
Montrer

rg (f + g) = rg (f) + rg (g) ⟺ {Im (f) \cap Im (g) = {0} Ker (f) + Ker (g) = E .

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49. $Inégalités de rang composées$

Soient

f

g

deux endomorphismes de

E

. Montrer que :

Q1-

rg (f \circ g) \leq min (rg f, rg g)

Q2-

rg (f \circ g) \geq rg f + rg g - dim E

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50. $Rang nul et f + g bijectif$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in L (E)

tels que

f + g

bijectif et

g \circ f = \tilde{0}

. Montrer que

rg f + rg g = dim E

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51. $Rang d'un endomorphisme nilpotent$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N^{*}

u

un endomorphisme de

E

vérifiant

u^{3} = \tilde{0}

.
Établir

rg u + rg u^{2} \leq n

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52. $Projecteurs complémentaires, rang$

Soient

f, g \in L (E)

tels que

f + g = Id_{E}

rg f + rg g = dim E

.
Montrer que

f

g

sont des projecteurs complémentaires.

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53. $Projecteurs via somme de rangs$

Soient

u, v \in L (K^{n})

tels que

u + v = Id

rg (u) + rg (v) \leq n

.
Montrer que

u

v

sont des projecteurs.

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54. $Images et noyaux itérés$

(Images et noyaux itérés d'un endomorphisme) Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie

n \geq 1

f

un endomorphisme de

E

.
Pour tout

p \in N

, on pose

I_{p} = Im f^{p}

N_{p} = Ker f^{p}

Q1-Montrer que

(I_{p})_{p \geq 0}

est décroissante tandis que

(N_{p})_{p \geq 0}

est croissante.

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55. $Rang de g \circ f et supplémentaire$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in L (E)

.
Soit

H

un supplémentaire de

Ker f

dans

E

.
On considère

h : H \to E

la restriction de

g \circ f

H

Q1-Montrer que

Ker (g \circ f) = Ker h + Ker f

Q2-Observer que

rg h \geq rg f - dim Ker g

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56. $Rang de h \circ g \circ f$

Soient

E, F, G, H

des

K

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f \in L (E, F)

g \in L (F, G)

h \in L (G, H)

des applications linéaires. Montrer

rg (g \circ f) + rg (h \circ g) \leq rg g + rg (h \circ g \circ f) .

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57. $Encadrement du rang de u \circ v$

Soient

v \in L (E, F)

u \in L (F, G)

. Établir

rg u + rg v - dim F \leq rg (u \circ v) \leq min (rg u, rg v) .

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58. $Dimension du noyau de g \circ f$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in L (E)

.
Établir que

dim (Ker (g \circ f)) \leq dim (Ker g) + dim (Ker f)

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59. $Noyau intersecté avec F$

Soient

f \in L (E)

F

un sous-espace vectoriel de

E

. Montrer

dim (Ker f \cap F) \geq dim F - rg f .

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60. $Suite exacte et dimensions$

On dit qu'une suite d'applications linéaires

{0} u_{0} E_{1} u_{1} E_{2} u_{2} \dots u_{n - 1} E_{n} u_{n} {0}

est exacte si

Im u_{k} = Ker u_{k + 1}

pour tout

k \in {0, \dots, n - 1}

. Montrer que si tous les

E_{k}

sont de dimension finie, on a la formule d'Euler-Poincaré :

k = 1 \sum n (- 1)^{k} dim E_{k} = 0.

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61. $Dimension de ker u^{k + ℓ}$

Soit

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Montrer

\forall k, ℓ \in N, dim (Ker u^{k + ℓ}) \leq dim (Ker u^{k}) + dim (Ker u^{ℓ})

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62. $Rang de f \circ g + g \circ f$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie

n

f

g

deux endomorphismes de

E

Q1-En appliquant le théorème du rang à la restriction

h

f

à l'image de

g

, montrer que

rg f + rg g - n \leq rg (f \circ g)

Q2-Pour

n = 3

, trouver tous les endomorphismes de

E

tels que

f^{2} = 0

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63. $rg (f^{2}) = rg (f)$

Soit

f

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie vérifiant

rg (f^{2}) = rg (f)

Q1-Établir

Im (f^{2}) = Im (f)

Ker (f^{2}) = Ker (f)

Q2-Montrer

Ker (f) \oplus Im (f) = E

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64. $Images et noyaux complémentaires$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie

n

.
Soient

u

v

deux endomorphismes de

E

tels que

E = Im u + Im v = Ker u + Ker v

.
Établir que d'une part,

Im u

Im v

, d'autre part

Ker u

Ker v

sont supplémentaires dans

E

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65. $f^{3} = Id et décomposition$

Soit

f

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

vérifiant

f^{3} = Id_{E}

. Montrer

Ker (f - Id_{E}) \oplus Im (f - Id_{E}) = E .

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66. $Noyau et image communs de f, g$

Soient

f, g \in L (E)

tels que

g \circ f \circ g = f

f \circ g \circ f = g

.
On pose

F = Ker f = Ker g

G = Im f = Im g

Q1-Montrer que

Ker f = Ker g

Im f = Im g

Q2-Montrer que

E = F \oplus G

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67. $Noyau et image supplémentaires$

Soient

f, g \in L (E)

tels que

f \circ g \circ f = f

g \circ f \circ g = g

.
Montrer que

Ker f

Im g

sont supplémentaires dans

E

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68. $Pseudo-inverse et décompositions$

Soient

f, g \in L (E)

tels que

g \circ f \circ g = g

f \circ g \circ f = f

Q1-Montrer que

Im f \oplus Ker g = E

Q2-Justifier que

f (Im g) = Im f

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69. $Projecteurs en somme directe$

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

p_{1}, \dots, p_{m}

des projecteurs de

E

dont la somme vaut

Id_{E}

. On note

F_{1}, \dots, F_{m}

les images de

p_{1}, \dots, p_{m}

. Montrer

E = k = 1 ⨁ m F_{k} .

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70. $n pair : Im f = ker f$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N

.
Montrer qu'il existe un endomorphisme

f

tel que

Im f = Ker f

si, et seulement si,

n

est pair.

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71. $Application linéaire sur une base$

Justifier qu'il existe une unique application linéaire de

R^{3}

dans

R^{2}

telle que :

f (1, 0, 0) = (0, 1)

f (1, 1, 0) = (1, 0)

f (1, 1, 1) = (1, 1)

.
Exprimer

f (x, y, z)

et déterminer noyau et image de

f

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72. $Commutant d'un nilpotent d'ordre n$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n > 1

(avec

K = R

C

).
Soit

f

un endomorphisme de

E

nilpotent d'ordre

n

.
On note

C (f) = {g \in L (E) ∣ g \circ f = f \circ g}

Q1-Montrer que

C (f)

est un sous-espace vectoriel de

L (E)

Q2-Soit

a

un vecteur de

E

tel que

f^{n - 1} (a) \neq = 0_{E}

. Montrer que la famille

(a, f (a), \dots, f^{n - 1} (a))

constitue une base de

E

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73. $Rangs possibles pour f^{2} de rang 3$

Soit

f \in L (R^{6})

tel que

rg f^{2} = 3

. Quels sont les rangs possibles pour

f

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74. $u \mapsto (u (e_{i})) et bases$

Soient

(e_{1}, \dots, e_{n})

une famille de vecteurs d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n

Φ : L (E) \to E^{n}

l'application définie par

Φ (u) = (u (e_{1}), \dots, u (e_{n})) .

À quelle condition sur la famille

(e_{1}, \dots, e_{n})

l'application

Φ

est-elle un isomorphisme d'espaces vectoriels ?

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75. $Supplémentaire d'un hyperplan$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N^{*}

φ

une forme linéaire non nulle sur

E

.
Montrer que pour tout

u \in E ∖ Ker φ

Ker φ

Vect (u)

sont supplémentaires dans

E

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76. $Famille liée de formes linéaires$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension

n

(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n})

une famille de formes linéaires sur

E

.
On suppose qu'il existe un vecteur

x \in E

non nul tel que pour tout

i \in {1, \dots, n}

f_{i} (x) = 0

.
Montrer que la famille

(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n})

est liée dans

E^{*}

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40.Polynôme annulateur

41.Endomorphismes d'un plan vectoriel

42.Isomorphisme d'évaluation

43.Isomorphisme évaluation-dérivée

44.Inégalités de rang de f+g

45.Rang sous f∘g∘f=f

46.Inégalités triangulaires du rang

47.Rang de u+v en dimension finie

48.Rang de f+g et sommes directes

49.Inégalités de rang composées

50.Rang nul et f+g bijectif

51.Rang d'un endomorphisme nilpotent

52.Projecteurs complémentaires, rang

53.Projecteurs via somme de rangs

54.Images et noyaux itérés

55.Rang de g∘f et supplémentaire

56.Rang de h∘g∘f

57.Encadrement du rang de u∘v

58.Dimension du noyau de g∘f

59.Noyau intersecté avec F

60.Suite exacte et dimensions

61.Dimension de keruk+ℓ

62.Rang de f∘g+g∘f

63.rg(f2)=rg(f)

64.Images et noyaux complémentaires

65.f3=Id et décomposition

66.Noyau et image communs de f, g

67.Noyau et image supplémentaires

68.Pseudo-inverse et décompositions

69.Projecteurs en somme directe

70.n pair : Imf=kerf

71.Application linéaire sur une base

72.Commutant d'un nilpotent d'ordre n

73.Rangs possibles pour f2 de rang 3

74.u↦(u(ei​)) et bases

75.Supplémentaire d'un hyperplan

76.Famille liée de formes linéaires

40. $Polynôme annulateur$

41. $Endomorphismes d'un plan vectoriel$

42. $Isomorphisme d'évaluation$

43. $Isomorphisme évaluation-dérivée$

44. $Inégalités de rang de f + g$

45. $Rang sous f \circ g \circ f = f$

46. $Inégalités triangulaires du rang$

47. $Rang de u + v en dimension finie$

48. $Rang de f + g et sommes directes$

49. $Inégalités de rang composées$

50. $Rang nul et f + g bijectif$

51. $Rang d'un endomorphisme nilpotent$

52. $Projecteurs complémentaires, rang$

53. $Projecteurs via somme de rangs$

54. $Images et noyaux itérés$

55. $Rang de g \circ f et supplémentaire$

56. $Rang de h \circ g \circ f$

57. $Encadrement du rang de u \circ v$

58. $Dimension du noyau de g \circ f$

59. $Noyau intersecté avec F$

60. $Suite exacte et dimensions$

61. $Dimension de ker u^{k + ℓ}$

62. $Rang de f \circ g + g \circ f$

63. $rg (f^{2}) = rg (f)$

64. $Images et noyaux complémentaires$

65. $f^{3} = Id et décomposition$

66. $Noyau et image communs de f, g$

67. $Noyau et image supplémentaires$

68. $Pseudo-inverse et décompositions$

69. $Projecteurs en somme directe$

70. $n pair : Im f = ker f$

71. $Application linéaire sur une base$

72. $Commutant d'un nilpotent d'ordre n$

73. $Rangs possibles pour f^{2} de rang 3$

74. $u \mapsto (u (e_{i})) et bases$

75. $Supplémentaire d'un hyperplan$

76. $Famille liée de formes linéaires$