Exercices de Applications linéaires, Sup (prépa) (page 3)

1. Montrons que $f_{\sigma }$ est un automorphisme d'algebre.

*Linearite* : Soient $(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{K}}^n$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{K}$.$$f_{\sigma }(\lambda (x_1,\dots ,x_n)+\mu (y_1,\dots ,y_n))=f_{\sigma }(\lambda x_1+\mu y_1,\dots ,\lambda x_n+\mu y_n)$$$$=(\lambda x_{\sigma (1)}+\mu y_{\sigma (1)},\dots ,\lambda x_{\sigma (n)}+\mu y_{\sigma (n)})=\lambda f_{\sigma }(x_1,\dots ,x_n)+\mu f_{\sigma }(y_1,\dots ,y_n).$$*Morphisme de produit* : $f_{\sigma }((x_1,\dots ,x_n)\cdot (y_1,\dots ,y_n))=f_{\sigma }(x_1{y}_1,\dots ,x_n{y}_n)=(x_{\sigma (1)}{y}_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}{y}_{\sigma (n)})=f_{\sigma }(x)\cdot f_{\sigma }(y)$.

*Bijectivite* : $f_{\sigma }\circ f_{{\sigma }^{-1}}=f_{\sigma \circ {\sigma }^{-1}}=f_{\mathrm{id}}=\mathrm{Id}$ et de meme $f_{{\sigma }^{-1}}\circ f_{\sigma }=\mathrm{Id}$. Donc $f_{\sigma }$ est bijective, d'inverse $f_{{\sigma }^{-1}}$.

De plus $f_{\sigma }(1,\dots ,1)=(1,\dots ,1)$ donc $f_{\sigma }$ preserve l'unite. $f_{\sigma }$ est un automorphisme d'algebre.

2. Soit $\phi$ un automorphisme d'algebre de ${\mathbb{K}}^n$. Notons $e_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ le $i$-eme vecteur canonique.

On a $e_i^2=e_i$ (idempotent), $e_i\cdot e_j=0$ pour $i\ne j$, et $\sum _{i=1}^n{e}_i=(1,\dots ,1)$.

Comme $\phi$ est un morphisme d'algebre, $\phi (e_i{)}^2=\phi (e_i^2)=\phi (e_i)$ donc $\phi (e_i)$ est idempotent. De meme, $\phi (e_i)\cdot \phi (e_j)=\phi (e_i\cdot e_j)=0$ pour $i\ne j$, et $\sum _i\phi (e_i)=\phi (1,\dots ,1)=(1,\dots ,1)$.

Les seuls idempotents de ${\mathbb{K}}^n$ pour le produit composante par composante sont les elements de $\{0,1{\}}^n$. Comme les $\phi (e_i)$ forment une famille d'idempotents deux a deux orthogonaux dont la somme est $(1,\dots ,1)$, chaque $\phi (e_i)$ est necessairement un vecteur canonique $e_{\sigma (i)}$ pour un certain $\sigma (i)$, et $\sigma$ est une permutation de $\{1,\dots ,n\}$.

Alors pour tout $x=\sum x_i{e}_i$, $\phi (x)=\sum x_i\phi (e_i)=\sum x_i{e}_{\sigma (i)}=f_{\sigma }(x)$.

3. Soit $V$ un sous-espace de ${\mathbb{K}}^n$ stable par tous les $f_{\sigma }$, $\sigma \in S_n$. On cherche tous ces sous-espaces.

Posons $D=\mathrm{Vect}((1,1,\dots ,1))$ et $H=\{(x_1,\dots ,x_n):x_1+\cdots +x_n=0\}$.

On a ${\mathbb{K}}^n=D\oplus H$. Verifions que $D$, $H$, $\{0\}$ et ${\mathbb{K}}^n$ sont stables : c'est evident pour $\{0\}$ et ${\mathbb{K}}^n$; pour $D$, $f_{\sigma }(1,\dots ,1)=(1,\dots ,1)$; pour $H$, si $\sum x_i=0$ alors $\sum x_{\sigma (i)}=\sum x_i=0$.

Montrons que ce sont les seuls. Soit $V\ne \{0\}$ un sous-espace stable. Si $V$ contient un vecteur $v=(x_1,\dots ,x_n)$ avec $s=x_1+\cdots +x_n\ne 0$, alors $\sum _{\sigma \in S_n}{f}_{\sigma }(v)=(ns/n,\dots ,ns/n)\cdot$ ... plus precisement $\sum _{\sigma }{f}_{\sigma }(v)=\frac{s\cdot n!}{n}(1,\dots ,1)\cdot \frac{1}{(n-1)!}$. En fait, pour chaque position $j$, $\sum _{\sigma \in S_n}{x}_{\sigma (j)}=(n-1)!\sum _i{x}_i=(n-1)!s$. Donc $\sum _{\sigma }{f}_{\sigma }(v)=(n-1)!s\cdot (1,\dots ,1)$, ce qui montre $(1,\dots ,1)\in V$, donc $D\subset V$.

Si de plus $V$ contient un element $w\notin D$, alors en prenant $w-\frac{\sum w_i}{n}(1,\dots ,1)$ on obtient un element non nul de $V\cap H$. Par les permutations, si $e_i-e_j\in V$ pour un couple $(i,j)$ avec $i\ne j$, alors $e_{\sigma (i)}-e_{\sigma (j)}\in V$ pour tout $\sigma$, ce qui engendre $H$. On montre facilement qu'un element non nul de $H$ engendre (par permutations) tout $H$. Donc $V\supset H$, et $V={\mathbb{K}}^n$.

Si tous les elements de $V$ ont somme nulle, $V\subset H$, et de meme par stabilite par permutations, soit $V=\{0\}$ soit $V=H$.

Les sous-espaces stables sont : $\{0\}$, $D=\mathrm{Vect}((1,\dots ,1))$, $H=\{\sum x_i=0\}$, et ${\mathbb{K}}^n$.