Exercices de Applications linéaires en maths Sup (prépa) (page 5)

154. $Projecteur et automorphisme$

Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie

E

. Montrer qu'il existe un projecteur

p

E

et un automorphisme

φ

E

tels que

u = p \circ φ

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155. $Deux projecteurs$

Soient

f

g

deux projecteurs d'un espace vectoriel

E

Q1-

Montrer que $Im f = Im g$ si et seulement si $f \circ g = g$ et $g \circ f = f$ .
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $Ker f = Ker g$ .

Q2-On suppose que

f \circ g = g \circ f

Montrer que $E = (Im f \cap Im g) \oplus (Im f \cap Ker g) \oplus (Ker f \cap Im g) \oplus (Ker f \cap Ker g)$ .
Que peut-on dire de $f \circ g$ ?

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156. $u^{2} - 3 u + 2 Id = 0$

Soit

E

R

-espace vectoriel. Soit

u \in L (E)

tel que

u^{2} - 3 u + 2 Id_{E} = 0

Q1-Montrer que

u \in G L (E)

et exprimer

u^{- 1}

en fonction de

u

Q2-On pose

f = u - Id_{E}

g = 2 Id_{E} - u

. Montrer que

f \circ g = g \circ f = 0

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157. $Endomorphisme central$

Soit

f

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n \geq 1

qui commute avec tous les endomorphismes de

E

, c'est-à-dire

\forall g \in L (E), f \circ g = g \circ f

Q1-Soit

u

un vecteur non nul de

E

. Justifier l'existence d'un supplémentaire

H_{u}

Vect (u)

dans

E

. Quelle est la dimension de

H_{u}

Q2-En considérant le projecteur

p_{u}

sur

Vect (u)

parallèlement à

H_{u}

, montrer qu'il existe

λ_{u} \in K

tel que

f (u) = λ_{u} u

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158. $Symétrie f \mapsto f (- x)$

On pose

E = R^{R}

. Montrer que l'application

s

qui à une fonction

f \in E

associe l'application

x \mapsto f (- x)

est une symétrie dont on précisera les éléments caractéristiques.

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159. $Projecteurs via inégalité de rang$

Soient

E

un espace vectoriel réel de dimension

n

f

g

deux endomorphismes tels que

f + g = id_{E} et rg (f) + rg (g) \leq n .

Q1-Montrer que

E = Im (f) \oplus Im (g)

Q2-Après avoir justifié l'égalité

f \circ g = g \circ f

, prouver que

f

g

sont des projecteurs de

E

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160. $Inégalités de rang sur f et g$

Soient

E

K

-ev de dimension finie,

f

g

deux endomorphismes de

E

Q1-Établir que

dim (Ker (f \circ g)) \leq dim (Ker (f)) + dim (Ker (g))

Q2-Montrer que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si

Ker (f) \subset Im (g)

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161. $Rang de f \mapsto v \circ f \circ u$

Soient

u, v \in L (E)

où

E

est un espace vectoriel de dimension finie. Déterminer le rang de l'endomorphisme de

L (E)

Φ : f \mapsto v \circ f \circ u

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162. $Inégalité de Frobenius$

Soient

f \in L (E, F)

g \in L (F, G)

h \in L (G, H)

où

E, F, G, H

sont des espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que

rg (g \circ f) + rg (h \circ g) \leq rg (h \circ g \circ f) + rg (g)

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163. $Inégalités de Sylvester$

Soient

E

F

deux espaces vectoriels,

f

g

deux applications linéaires de rang fini de

E

dans

F

Q1-Montrer que

∣ rg (f) - rg (g) ∣ \leq rg (f + g) \leq rg (f) + rg (g)

Q2-Prouver que

rg (f + g) = rg (f) + rg (g)

si et seulement si

Im (f) \cap Im (g) = {0_{F}}

Ker (f) + Ker (g) = E

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164. $Endomorphismes de rang au plus 1$

Soient

E

K

-espace vectoriel et

f

un endomorphisme de

E

dont l'image est une droite vectorielle

Vect (u)

avec

u \neq = 0_{E}

. On pose alors :

\forall x \in E, f (x) = φ (x) u

Montrer que

φ

est une forme linéaire sur

E

et qu'il existe

λ \in K

tel que

f^{2} = λ f

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165. $Transvections$

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension finie

n

, avec

n \geq 2

. On rappelle que

E^{*}

est l'ensemble des formes linéaires sur

E

Q1-Soient

φ

ψ

deux éléments non nuls de

E^{*}

tels que

Ker (φ) = Ker (ψ)

. Montrer qu'il existe un réel non nul

λ

tel que

ψ = λ φ

Q2-Soit

H

un hyperplan de

E

. Montrer que l'ensemble

D (H)

des éléments de

E^{*}

dont le noyau contient

H

est un sous-espace vectoriel de

E^{*}

dont on précisera la dimension.

Q3-On appelle transvection de

E

tout endomorphisme

f

E

possédant les deux propriétés suivantes :

∙

Ker (f - Id_{E})

est un hyperplan de

E

∙

Im (f - Id_{E}) \subset Ker (f - Id_{E})

On appelle

Ker (f - Id_{E})

la base de

f

Im (f - Id_{E})

la direction de

f

Soit $φ$ un élément non nul de $E^{*}$ et $u$ un vecteur non nul de $Ker (φ)$ . Pour tout vecteur $x$ de $E$ , on pose $f (x) = x + φ (x) u$ . Justifier l'existence de $u$ et montrer que $f$ est une transvection dont on précisera la base et la direction.
Réciproquement, soit $f$ une transvection de $E$ . Montrer qu'il existe un élément non nul $φ$ de $E^{*}$ et un vecteur $u$ non nul de $Ker (φ)$ tels que $f (x) = x + φ (x) u$ pour tout $x \in E$ .

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166. $Formes linéaires liées : dim n$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension

n \in N^{*}

φ_{1}, \dots, φ_{n}

des formes linéaires sur

E

. On suppose qu'il existe

x \in E

non nul tel que

\forall i \in [[1, n]], φ_{i} (x) = 0

Montrer que la famille

(φ_{1}, \dots, φ_{n})

est liée.

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167. $Rang d'une famille de formes$

On considère un espace vectoriel

E

de dimension finie.

Q1-Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E

. On note

G = {φ \in E^{*}, \forall x \in F, φ (x) = 0}

Montrer que

G

est un sous-espace vectoriel de

E^{*}

et que

dim F + dim G = dim E

Q2-Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E^{*}

. On note

G = {x \in E, \forall φ \in F, φ (x) = 0}

Montrer que

G

est un sous-espace vectoriel de

E

et que

dim F + dim G = dim E

Q3-On se donne des éléments

φ_{1}, \dots, φ_{m}

E^{*}

. Montrer que

dim (i = 1 ⋂ m Ker φ_{i}) + rg (φ_{1}, \dots, φ_{m}) = dim E

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168. $Équations d'un hyperplan$

Soient

E

un espace vectoriel sur

K

f

g

deux formes linéaires sur

E

non nulles.

Q1-Prouver que

Ker (f) \subset Ker (g)

si et seulement si il existe

λ \in K^{*}

tel que

g = λ f

Q2-En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que

f

g

définissent le même hyperplan

H

. En déduire toutes les équations de

H

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169. $Inversibilité de P \mapsto P - P^{'}$

Soient

n \geq 0

f

définie sur

E = K_{n} [X]

par

f (P) = P - P^{'}

. Prouver que

f \in G L (E)

et expliciter

f^{- 1}

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170. $Étude d'un endomorphisme$

Soient

n \in N

φ

l'application définie sur l'espace vectoriel

E_{n} = R_{n} [X]

par

φ : P ⟼ φ (P) = (X + 1) P (X) - X P (X + 1) .

Q1-

φ

définit-il un endomorphisme de

E_{n}

Q2-Déterminer le noyau de

φ

Q3-

φ

est-il surjectif ?

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171. $Différences finies P (X + 1) - P (X)$

On note

U_{0} = 1

U_{p} = \frac{X ( X - 1 ) \dots ( X - p + 1 )}{p !}

pour

p \geq 1

Δ : K [X] ⟶ K [X], P ⟼ P (X + 1) - P (X)

Q1-Montrer que

(U_{p})_{p \in N}

est une base de

K [X]

Q2-Calculer

Δ^{n} (U_{p})

pour

n \in N

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172. $Endomorphisme polynomial en a$

Soient

n \geq 3

E_{n} = R_{n} [X]

a \in R

φ_{n}

l'application définie sur

E_{n}

par,

φ_{n} (P) = (X - a) (P^{'} (X) + P^{'} (a)) - 2 (P (X) - P (a)) .

Q1-Vérifier que

φ_{n} \in L (E_{n})

Q2-On pose

P_{k} = (X - a)^{k}

pour tout

k \in [[0, n]]

. Justifier que la famille

(P_{0}, \dots, P_{n})

est une base de

E_{n}

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173. $Polynômes d'Euler$

Soit

φ

l'application de

R [X]

dans

R [X]

définie par

\forall P \in R [X], φ (P) = \frac{P ( X + 1 ) + P ( X )}{2}

Q1-Soit

k \in N

. Déterminer le degré et le coefficient dominant de

φ (X^{k})

Q2-Établir que

φ

est un endomorphisme de

R [X]

Q3-Déduire de ce qui précède que

φ

est un automorphisme de

R [X]

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174. $X — Projecteurs A_{i} de somme I_{n}$

Soient

A_{1}, \dots, A_{k} \in M_{n} (R)

vérifiant

A_{1} + \dots + A_{k} = I_{n}

\forall1 \leq i \leq k, A_{i}^{2} = A_{i}

.
Montrer

\forall1 \leq i \neq = j \leq k, A_{i} A_{j} = O_{n}

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154.Projecteur et automorphisme

155.Deux projecteurs

156.u2−3u+2Id=0

157.Endomorphisme central

158.Symétrie f↦f(−x)

159.Projecteurs via inégalité de rang

160.Inégalités de rang sur f et g

161.Rang de f↦v∘f∘u

162.Inégalité de Frobenius

163.Inégalités de Sylvester

164.Endomorphismes de rang au plus 1

165.Transvections

166.Formes linéaires liées : dim n

167.Rang d'une famille de formes

168.Équations d'un hyperplan

169.Inversibilité de P↦P−P′

170.Étude d'un endomorphisme

171.Différences finies P(X+1)−P(X)

172.Endomorphisme polynomial en a

173.Polynômes d'Euler

174.X — Projecteurs Ai​ de somme In​

154. $Projecteur et automorphisme$

155. $Deux projecteurs$

156. $u^{2} - 3 u + 2 Id = 0$

157. $Endomorphisme central$

158. $Symétrie f \mapsto f (- x)$

159. $Projecteurs via inégalité de rang$

160. $Inégalités de rang sur f et g$

161. $Rang de f \mapsto v \circ f \circ u$

162. $Inégalité de Frobenius$

163. $Inégalités de Sylvester$

164. $Endomorphismes de rang au plus 1$

165. $Transvections$

166. $Formes linéaires liées : dim n$

167. $Rang d'une famille de formes$

168. $Équations d'un hyperplan$

169. $Inversibilité de P \mapsto P - P^{'}$

170. $Étude d'un endomorphisme$

171. $Différences finies P (X + 1) - P (X)$

172. $Endomorphisme polynomial en a$

173. $Polynômes d'Euler$

174. $X — Projecteurs A_{i} de somme I_{n}$