Exercices de Nombres complexes en maths Sup (prépa)

1. $Sommes binomiales C_{n} et S_{n}$

2. $Partie bornée stable 1 - z + z^{2}$

Soit

B

une partie bornée non vide de

C

.
On suppose que si

z \in B

alors

1 - z + z^{2} \in B

1 + z + z^{2} \in B

.
Déterminer

B

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3. $Quotient réel positif, cercle unité$

Soient

a, b, z

trois complexes de module

1

deux à deux distincts. Démontrer

\frac{b}{a} (\frac{z - a}{z - b})^{2} \in R_{+}^{*} .

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4. $Lieu de M aligné avec I et M^{'} d'axe i z$

(a) Déterminer le lieu des points $M$ d'axe $z$ qui sont alignés avec $I$ d'axe $i$ et $M^{'}$ d'axe $i z$ .
(b) Déterminer de plus le lieu des points $M^{'}$ correspondant.

Q1-Déterminer le lieu des points

M

Q2-Déterminer le lieu des points

M^{'}

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5. $Image du cercle par 1/ (1 - z)$

Quelle est l'image du cercle unité par l'application

z \mapsto \frac{1}{1 - z}

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6. $Lieu z + \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣$

Déterminer l'ensemble des points

M

d'axe

z

tels que

z + \overline{z} = ∣ z ∣.

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7. $Modules a, b, c, somme nulle$

Soient

a, b, c

des réels strictement positifs.
À quelle condition existe-t-il des complexes

t, u, v

de somme nulle vérifiant

t \overline{t} = a^{2}, u \overline{u} = b^{2} et v \overline{v} = c^{2} .

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8. $Triangle A B C d'affixes a, b, c$

Soient

A, B, C

trois points distincts du plan géométrique d'affixes respectives

a, b, c

Q1-Montrer que le triangle

(A B C)

est équilatéral si, et seulement si,

\frac{c - a}{b - a} = - j ou \frac{b - a}{c - a} = - j^{2} .

Q2-En déduire que le triangle

(A B C)

est équilatéral si, et seulement si,

a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + b c + c a .

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9. $Module d'un complexe imbriqué$

Déterminer module et argument de

z = 2 + 2 + i 2 - 2 .

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10. $Égalité ∣ z + z^{'} ∣ = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$

Soient

z \in C^{*}

z^{'} \in C

. Montrer

∣ z + z^{'} ∣ = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣ \Leftrightarrow \exists λ \in R_{+}, z^{'} = λ z .

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11. $Inégalité ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣ \leq ∣ z + z^{'} ∣ + ∣ z - z^{'} ∣$

Établir :

\forall z, z^{'} \in C, ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣ \leq ∣ z + z^{'} ∣ + ∣ z - z^{'} ∣.

Interprétation géométrique et précision du cas d'égalité ?

12. $Ensemble ∣ z - a ∣/∣1 - \overset{a}{ˉ} z ∣ \leq 1$

Soit

a \in C

tel que

∣ a ∣ < 1

.
Déterminer l'ensemble des complexes

z

tels que

\frac{z - a}{1 - a z} \leq 1.

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13. $Inégalité ∣ z_{1} + ε z_{2} ∣ \leq 2$

(a) Vérifier $\forall z_{1}, z_{2} \in C, ∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2∣ z_{1} ∣^{2} + 2∣ z_{2} ∣^{2} .$
(b) On suppose $z_{1}, z_{2} \in C$ tels que $∣ z_{1} ∣ \leq 1$ et $∣ z_{2} ∣ \leq 1$ . Montrer qu'il existe $ε = 1$ ou $- 1$ tel que $∣ z_{1} + ε z_{2} ∣ \leq 2 .$

14. $Valeurs de f (z) = (z + ∣ z ∣) /2$

Soit

f : C \to C

définie par

f (z) = \frac{z + ∣ z ∣}{2} .

Déterminer les valeurs prises par

f

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15. $Équation ∣ z + 1∣ = ∣ z ∣ + 1$

Résoudre l'équation

∣ z + 1∣ = ∣ z ∣ + 1

d'inconnue

z \in C

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16. $Somme \sum_{z \in U_{n}} ∣ z - 1∣$

Soit

n \in N^{*}

. On note

U_{n}

l'ensemble des racines

n

-ème de l'unité.
Calculer

z \in U_{n} \sum ∣ z - 1∣.

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17. $Racines n -ièmes et produits$

Soient

n \geq 3

ω_{1}, \dots, ω_{n}

les racines

n

-ième de l'unité avec

ω_{n} = 1

(a) Calculer pour $p \in Z$ , $S_{p} = i = 1 \sum n ω_{i}^{p} .$
(b) Calculer $T = i = 1 \sum n - 1 \frac{1}{1 - ω _{i}} .$

Q1-Calculer

S_{p}

Q2-Calculer

T

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18. $Somme \sum (k + 1) ω^{k} pondérée$

Soit

ω

une racine

n

-ème de l'unité différente de

1

. On pose

S = k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k} .

En calculant

(1 - ω) S

, déterminer la valeur de

S

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19. $Simplification de somme$

Simplifier :

Q1-

j (j + 1)

Q2-

\frac{j}{j ^{2} + 1}

Q3-

\frac{j + 1}{j - 1}

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20. $Équation (z + 1)^{n} = (z - 1)^{n}$

Soit

n \in N^{*}

. Résoudre l'équation

(z + 1)^{n} = (z - 1)^{n} .

Combien y a-t-il de solutions ?

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21. $Sommes de puissances, ω^{7} = 1$

Soit

ω = e^{i \frac{2 π}{7}}

. Calculer les nombres :

A = ω + ω^{2} + ω^{4} et B = ω^{3} + ω^{5} + ω^{6} .

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22. $Sommes de puissances de e^{2 iπ / n}$

Soient

n \in N

n \geq 2

ω = exp (2 iπ / n)

(a) Établir que pour tout $z \in C$ , $z \neq = 1$ , $k = 1 \prod n - 1 (z - ω^{k}) = ℓ = 0 \sum n - 1 z^{ℓ} .$
(b) Justifier que l'égalité reste valable pour $z = 1$ .
(c) En déduire l'égalité $k = 1 \prod n - 1 sin \frac{k π}{n} = \frac{n}{2 ^{n - 1}} .$

Q1-Établir l'égalité pour

z \neq = 1

Q2-Justifier pour

z = 1

Q3-En déduire la formule pour

sin

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23. $Valeur exacte de sin (π /5)$

Montrer que

sin \frac{π}{5} = \frac{5 - 5}{8} .

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24. $Équation cubique avec racine x = 1$

Pour quels

a \in R

l'équation

x^{3} + 2 x^{2} + 2 a x - a^{2} = 0

possède

x = 1

pour solution ?
Quelles sont alors les autres solutions de l'équation ?

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25. $Équations dans C (I)$

Résoudre dans

C

, les équations :

Q1-

z^{2} - 2 i z - 1 + 2 i = 0

Q2-

z^{4} - (5 - 14 i) z^{2} - 2 (12 + 5 i) = 0

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26. $Racines carrées de 5 - 12 i, cubique et triangle$

(a) Déterminer les racines carrées complexes de $5 - 12 i$ .
(b) Résoudre l'équation $z^{3} - (1 + 2 i) z^{2} + 3 (1 + i) z - 10 (1 + i) = 0$ en commençant par observer l'existence d'une solution imaginaire pure.
(c) Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour axe les solutions de l'équation précédente ?

Q1-Déterminer les racines carrées de

5 - 12 i

Q2-Résoudre l'équation

Q3-Particularités du

t r i

angle

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27. $Système x + y = 1 + i, x y = 2 - i$

Résoudre dans

C

le système

{x + y = 1 + i x y = 2 - i .

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28. $Équation ab + b c + c a = ab c$

Résoudre l'équation

ab + b c + c a = ab c

d'inconnue

(a, b, c) \in N^{3}

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29. $Solutions de e^{z} = Z$

Soit

Z \in C^{*}

. Résoudre l'équation

e^{z} = Z

d'inconnue

z \in C

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30. $(e^{i θ} - 1) / (e^{i θ} + 1)$

Simplifier

\frac{e ^{i θ} - 1}{e ^{i θ} + 1}

pour

θ \in] - π; π [

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1.Sommes binomiales Cn​ et Sn​

2.Partie bornée stable 1−z+z2

3.Quotient réel positif, cercle unité

4.Lieu de M aligné avec I et M′ d'axe iz

5.Image du cercle par 1/(1−z)

6.Lieu z+zˉ=∣z∣

7.Modules a,b,c, somme nulle

8.Triangle ABC d'affixes a,b,c

9.Module d'un complexe imbriqué

10.Égalité ∣z+z′∣=∣z∣+∣z′∣

11.Inégalité ∣z∣+∣z′∣≤∣z+z′∣+∣z−z′∣

12.Ensemble ∣z−a∣/∣1−aˉz∣≤1

13.Inégalité ∣z1​+εz2​∣≤2​

14.Valeurs de f(z)=(z+∣z∣)/2

15.Équation ∣z+1∣=∣z∣+1

16.Somme ∑z∈Un​​∣z−1∣

17.Racines n-ièmes et produits

18.Somme ∑(k+1)ωk pondérée

19.Simplification de somme

20.Équation (z+1)n=(z−1)n

21.Sommes de puissances, ω7=1

22.Sommes de puissances de e2iπ/n

23.Valeur exacte de sin(π/5)

24.Équation cubique avec racine x=1

25.Équations dans C (I)

26.Racines carrées de 5−12i, cubique et triangle

27.Système x+y=1+i, xy=2−i

28.Équation ab+bc+ca=abc

29.Solutions de ez=Z

30.(eiθ−1)/(eiθ+1)

1. $Sommes binomiales C_{n} et S_{n}$

2. $Partie bornée stable 1 - z + z^{2}$

3. $Quotient réel positif, cercle unité$

4. $Lieu de M aligné avec I et M^{'} d'axe i z$

5. $Image du cercle par 1/ (1 - z)$

6. $Lieu z + \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣$

7. $Modules a, b, c, somme nulle$

8. $Triangle A B C d'affixes a, b, c$

9. $Module d'un complexe imbriqué$

10. $Égalité ∣ z + z^{'} ∣ = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$

11. $Inégalité ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣ \leq ∣ z + z^{'} ∣ + ∣ z - z^{'} ∣$

12. $Ensemble ∣ z - a ∣/∣1 - \overset{a}{ˉ} z ∣ \leq 1$

13. $Inégalité ∣ z_{1} + ε z_{2} ∣ \leq 2$

14. $Valeurs de f (z) = (z + ∣ z ∣) /2$

15. $Équation ∣ z + 1∣ = ∣ z ∣ + 1$

16. $Somme \sum_{z \in U_{n}} ∣ z - 1∣$

17. $Racines n -ièmes et produits$

18. $Somme \sum (k + 1) ω^{k} pondérée$

19. $Simplification de somme$

20. $Équation (z + 1)^{n} = (z - 1)^{n}$

21. $Sommes de puissances, ω^{7} = 1$

22. $Sommes de puissances de e^{2 iπ / n}$

23. $Valeur exacte de sin (π /5)$

24. $Équation cubique avec racine x = 1$

25. $Équations dans C (I)$

26. $Racines carrées de 5 - 12 i, cubique et triangle$

27. $Système x + y = 1 + i, x y = 2 - i$

28. $Équation ab + b c + c a = ab c$

29. $Solutions de e^{z} = Z$

30. $(e^{i θ} - 1) / (e^{i θ} + 1)$