Exercices de Nombres complexes en maths Sup (prépa) (page 3)

62. $Quotient réel positif, cercle (II)$

Soient

a

b

c

trois nombres complexes de module

1

tels que

a \neq = c

. Montrer que

\frac{a ( c - b ) ^{2}}{b ( c - a ) ^{2}} \in R_{+} .

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63. $Formule du parallélogramme$

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes. Montrer que

∣ z + z^{'} ∣^{2} + ∣ z - z^{'} ∣^{2} = 2 (∣ z ∣^{2} + ∣ z^{'} ∣^{2})

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64. $Équations dans C (III)$

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

Q1-

z^{2} = \overline{z}

Q2-

z^{3} = \overline{z}

Q3-

z^{2} = 2 \overline{z}

Q4-

z^{2} = - \overline{z}^{2}

Q5-

z^{4} = 32 \overline{z}

Q6-

z^{2} = \frac{1}{z ^{2}}

Q7-

z^{3} = \frac{- 1}{z ^{3}}

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65. $Équations dans C (IV)$

Résoudre les équations suivantes dans

C

Q1-

z^{2} + (5 - 2 i) z + 5 - 5 i = 0

Q2-

z^{2} + (- 3 + i) z + 4 - 3 i = 0

Q3-

z^{2} - (9 - 2 i) z + 26 = 0

Q4-

z^{4} + (3 - 6 i) z^{2} + 2 (16 - 63 i) = 0

Q5-

z^{6} + (2 i - 1) z^{3} - 1 - i = 0

Q6-

z^{4} - z^{3} - z + 1 = 0

Q7-

z^{4} + 2 - i 12 = 0

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66. $Bizarre$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{2} + 8∣ z ∣ - 3 = 0.

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67. $Équations dans C (V)$

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

Q1-

(3 + i) z^{2} - (8 + 6 i) z + 25 + 5 i = 0

Q2-

i z^{2} + (4 i - 3) z + i - 5 = 0

Q3-

z^{2} - 5 z + 4 + 10 i = 0

Q4-

(1 - 5 i) z^{2} - (20 + 4 i) z + 61 + 7 i = 0

Q5-

z^{6} - 2 cos (θ) z^{3} + 1 = 0

, où

θ \in R

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68. $Équations dans C (VI)$

Résoudre dans

C

les équations suivantes

Q1-

(z + i)^{3} + i z^{3} = 0

Q2-

z^{4} - z^{3} + z^{2} - z + 1 = 0

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69. $Factorisation d'un cubique complexe$

Pour

z \in C

, on pose

f (z) = z^{3} - (16 - i) z^{2} + (89 - 16 i) z + 89 i

Q1-Montrer que l'équation

f (z) = 0

a une unique solution imaginaire pure que l'on déterminera.

Q2-Résoudre dans

C

l'équation

f (z) = 0

Q3-Étudier dans le plan complexe la nature du

t r i

angle ayant pour sommets les images des

t r o

is racines de cette équation.

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70. $Équation (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5} et cotangente$

On s'intéresse à une identité sur les exponentielles complexes et à ses applications pour la résolution d'équations.

Q1-Soit

θ \in R

tel que

θ \neq \equiv 0 [2 π]

. Montrer que

\frac{1 + e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ}} = i cotan \frac{θ}{2}

où

cotan = \frac{cos}{sin}

Q2-Résoudre l'équation

(z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}

. On exprimera les solutions à l'aide de la fonction

cotan

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71. $Valeurs de cotangente par (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}$

On établit une identité sur les exponentielles complexes, puis on l'applique à la résolution d'une équation et au calcul de valeurs de cotangente.

Q1-Soit

θ \in R

tel que

θ \neq \equiv 0 [2 π]

. Montrer que

\frac{1 + e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ}} = i cotan \frac{θ}{2}

où

cotan = \frac{cos}{sin}

Q2-Résoudre de deux façons l'équation

(z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}

. En déduire les valeurs de

cotan \frac{π}{5}

cotan \frac{2 π}{5}

cotan \frac{3 π}{5}

cotan \frac{4 π}{5}

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72. $Équations dans C (VII)$

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

Q1-

(\frac{z - i}{z + i})^{3} + (\frac{z - i}{z + i})^{2} + (\frac{z - i}{z + i}) + 1 = 0

Q2-

(\frac{z + 1}{z - 1})^{3} + (\frac{z - 1}{z + 1})^{3} = 0

(exprimer les solutions à l'aide de la fonction

cot

)

Q3-

(1 + i z)^{n} + (1 - i z)^{n} = 0

(distinguer les cas

n

pair et

n

impair et exprimer les solutions à l'aide de la fonction

tan

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73. $Questions enchaînées$

Dans tout l'énoncé,

n

désigne un entier naturel non nul.

Q1-Résoudre dans

C

l'équation

(\frac{z + 1}{z - 1})^{n} = 1

Q2-En déduire les solutions dans

C

de l'équation

(\frac{z + i}{z - i})^{n} = 1

Q3-Soit

θ \in R

tel que

θ \neq \equiv 0 [\frac{2 π}{n}]

. Résoudre dans

C

l'équation

(\frac{z + 1}{z - 1})^{n} = e^{in θ}

Q4-En déduire les solutions dans

C

de l'équation

(\frac{z + 1}{z - 1})^{n} + (\frac{z - 1}{z + 1})^{n} = 2 cos (n θ)

On traitera le cas général,

θ \in R

sans aucune restriction.

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74. $Équation z^{2} - 2 z cos θ + 1 = 0 généralisée$

Soient

θ \in R

n \in N^{*}

Q1-Résoudre l'équation d'inconnue

z \in C

z^{2} - 2 z cos θ + 1 = 0

On précisera le nombre de solutions suivant la valeur de

θ

Q2-En déduire la résolution sur

C

de l'équation

z^{2 n} - 2 z^{n} cos (n θ) + 1 = 0

On précisera le nombre de solutions suivant la valeur de

θ

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75. $Banque CCP (I)$

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

. Résoudre l'équation

(z + i)^{n} = (z - i)^{n}

d'inconnue

z \in C

. On vérifiera en particulier que les solutions sont réelles et on précisera leur nombre.

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76. $α = ω + ω^{4}, ω^{5} = 1$

On pose

ω = e^{\frac{2 iπ}{5}}

α = ω + ω^{4}

β = ω^{2} + ω^{3}

Q1-Déterminer une équation du second degré dont les racines sont

α

β

Q2-En déduire

cos \frac{2 π}{5}

cos \frac{4 π}{5}

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77. $Sommes S et T, ω = e^{2 iπ /11}$

On pose

ω = e^{\frac{2 iπ}{11}}

ainsi que

S = ω + ω^{3} + ω^{4} + ω^{5} + ω^{9}

T = ω^{2} + ω^{6} + ω^{7} + ω^{8} + ω^{10}

Q1-Montrer que

sin \frac{6 π}{11} + sin \frac{18 π}{11} > 0

, puis en déduire que

Im (S) > 0

. Montrer ensuite que

S + T = - 1

S T = 3

. En déduire une équation du second degré dont sont solutions

S

T

, puis les valeurs de

S

T

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78. $A, B sommes de ω^{k}, ω^{5} = 1$

Soit

ω = e^{\frac{2 iπ}{5}}

. On pose

A = ω + ω^{4}

B = ω^{2} + ω^{3}

Q1-Montrer que

A = 2 cos \frac{2 π}{5}

B = 2 cos \frac{4 π}{5}

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79. $Linéarisation$

En linéarisant

sin^{4} x

, calculer une expression simple de la somme

sin^{4} (\frac{π}{8}) + sin^{4} (\frac{3 π}{8}) + sin^{4} (\frac{5 π}{8}) + sin^{4} (\frac{7 π}{8}) .

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80. $α = ω + 1/ ω, ω^{5} = 1$

On pose

ω = e^{\frac{2 iπ}{5}}

α = ω + \frac{1}{ω}

Q1-Montrer que

\frac{1}{ω ^{2}} + \frac{1}{ω} + 1 + ω + ω^{2} = 0

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81. $Formule sur les racines n -ièmes$

Soient

n \geq 1

ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}

Q1-Soit

m \in N

. Calculer

k = 0 \sum n - 1 ω^{k m}

. On distinguera suivant que

m

est ou non multiple de

n

Q2-Pour

z \in C

, on pose

S (z) = k = 0 \sum n - 1 (z + ω^{k})^{n}

Montrer que pour tout

z \in C

S (z) = n (z^{n} + 1)

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82. $Racines septièmes de l'unité$

Soit

ω

une racine septième de l'unité distincte de

1

. Simplifier le nombre

α = \frac{ω}{1 + ω ^{2}} + \frac{ω ^{2}}{1 + ω ^{4}} + \frac{ω ^{3}}{1 + ω ^{6}} .

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83. $D'après X 2015$

Déterminer les parties bornées non vides de

C

stables par

z \mapsto z^{2} + z + 1

z \mapsto z^{2} - z + 1

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84. $Re (z) < 1/2 iff ∣ z / (z - 1) ∣ < 1$

Établir par un calcul que

Re (z) < \frac{1}{2}

équivaut à

\frac{z}{z - 1} < 1.

Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

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85. $Vu à l'X (PC 2008)$

Soit

λ

un nombre réel irrationnel. Montrer que, pour tout entier naturel

n \geq 1

, on a

k = 0 \sum n - 1 e^{2 ik λπ} \leq \frac{1}{∣ sin ( λπ ) ∣}

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86. $Localisation des racines d'un poly$

Soient

n \in N^{*}

z \in C

tels que

1 + z + \dots + z^{n - 1} - n z^{n} = 0.

Montrer que

∣ z ∣ \leq 1

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87. $Inégalité sur (1 - z^{n + 1}) / (1 - z)$

Soient

n \in N^{*}

z \in C ∖ U

. Montrer que

\frac{1 - z ^{n + 1}}{1 - z} \leq \frac{1 - ∣ z ∣ ^{n + 1}}{1 - ∣ z ∣}

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88. $Posé à Centrale (I)$

Prouver que

\forall a, b \in C, ∣ a ∣ + ∣ b ∣ \leq ∣ a + b ∣ + ∣ a - b ∣.

Étudier les cas d'égalité.

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89. $L'inégalité triangulaire générale$

Soient

n \geq 2

z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}

appartenant à

C^{*}

. Prouver que

∣ z_{1} + \dots + z_{n} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ + \dots + ∣ z_{n} ∣

avec égalité si et seulement si

ar g (z_{1}) \equiv ar g (z_{2}) \equiv \dots \equiv ar g (z_{n}) [2 π]

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90. $Lieux géométriques$

Résoudre dans

C

les équations suivantes

Q1-

Re (\frac{z - 1}{z - i}) = 0

Q2-

Im (\frac{z - 1}{z - i}) = 0

Q3-

Re (z^{3}) = Im (z^{3})

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Exercices de Nombres complexes, Sup (prépa) (page 3)

61.

62. $Quotient réel positif, cercle (II)$

63. $Formule du parallélogramme$

64. $Équations dans C (III)$

65. $Équations dans C (IV)$

66. $Bizarre$

67. $Équations dans C (V)$

68. $Équations dans C (VI)$

69. $Factorisation d'un cubique complexe$

70. $Équation (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5} et cotangente$

71. $Valeurs de cotangente par (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}$

72. $Équations dans C (VII)$

73. $Questions enchaînées$

74. $Équation z^{2} - 2 z cos θ + 1 = 0 généralisée$

75. $Banque CCP (I)$

76. $α = ω + ω^{4}, ω^{5} = 1$

77. $Sommes S et T, ω = e^{2 iπ /11}$

78. $A, B sommes de ω^{k}, ω^{5} = 1$

79. $Linéarisation$

80. $α = ω + 1/ ω, ω^{5} = 1$

81. $Formule sur les racines n -ièmes$

82. $Racines septièmes de l'unité$

83. $D'après X 2015$

84. $Re (z) < 1/2 iff ∣ z / (z - 1) ∣ < 1$

85. $Vu à l'X (PC 2008)$

86. $Localisation des racines d'un poly$

87. $Inégalité sur (1 - z^{n + 1}) / (1 - z)$

88. $Posé à Centrale (I)$

89. $L'inégalité triangulaire générale$

90. $Lieux géométriques$

61.

62.Quotient réel positif, cercle (II)

63.Formule du parallélogramme

64.Équations dans C (III)

65.Équations dans C (IV)

66.Bizarre

67.Équations dans C (V)

68.Équations dans C (VI)

69.Factorisation d'un cubique complexe

70.Équation (z−1)5=(z+1)5 et cotangente

71.Valeurs de cotangente par (z−1)5=(z+1)5

72.Équations dans C (VII)

73.Questions enchaînées

74.Équation z2−2zcosθ+1=0 généralisée

75.Banque CCP (I)

76.α=ω+ω4, ω5=1

77.Sommes S et T, ω=e2iπ/11

78.A,B sommes de ωk, ω5=1

79.Linéarisation

80.α=ω+1/ω, ω5=1

81.Formule sur les racines n-ièmes

82.Racines septièmes de l'unité

83.D'après X 2015

84.Re(z)<1/2 iff ∣z/(z−1)∣<1

85.Vu à l'X (PC 2008)

86.Localisation des racines d'un poly

87.Inégalité sur (1−zn+1)/(1−z)

88.Posé à Centrale (I)

89.L'inégalité triangulaire générale

90.Lieux géométriques

62. $Quotient réel positif, cercle (II)$

63. $Formule du parallélogramme$

64. $Équations dans C (III)$

65. $Équations dans C (IV)$

66. $Bizarre$

67. $Équations dans C (V)$

68. $Équations dans C (VI)$

69. $Factorisation d'un cubique complexe$

70. $Équation (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5} et cotangente$

71. $Valeurs de cotangente par (z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}$

72. $Équations dans C (VII)$

73. $Questions enchaînées$

74. $Équation z^{2} - 2 z cos θ + 1 = 0 généralisée$

75. $Banque CCP (I)$

76. $α = ω + ω^{4}, ω^{5} = 1$

77. $Sommes S et T, ω = e^{2 iπ /11}$

78. $A, B sommes de ω^{k}, ω^{5} = 1$

79. $Linéarisation$

80. $α = ω + 1/ ω, ω^{5} = 1$

81. $Formule sur les racines n -ièmes$

82. $Racines septièmes de l'unité$

83. $D'après X 2015$

84. $Re (z) < 1/2 iff ∣ z / (z - 1) ∣ < 1$

85. $Vu à l'X (PC 2008)$

86. $Localisation des racines d'un poly$

87. $Inégalité sur (1 - z^{n + 1}) / (1 - z)$

88. $Posé à Centrale (I)$

89. $L'inégalité triangulaire générale$

90. $Lieux géométriques$