Exercices de Nombres complexes en maths Sup (prépa) (page 5)

122. $Quotient de complexes de module 1$

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes de module 1 tels que

z z^{'} \neq = - 1

. Démontrer que

\frac{z + z ^{'}}{1 + z z ^{'}}

est réel, et préciser son module.

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123. $Complexes z, 1/ z, 1 - z même module$

Déterminer les nombres complexes non nuls

z

tels que

z

\frac{1}{z}

1 - z

aient le même module.

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124. $∣ z ∣ = 1 et partie imaginaire$

Soit

z

un nombre complexe,

z \neq = 1

. Démontrer que :

∣ z ∣ = 1 \Leftrightarrow \frac{1 + z}{1 - z} \in i R

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125. $Somme avec racines n -ièmes$

Simplifier

k = 1 \sum n (z + ω^{k})^{n}

, avec

ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}

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126. $Polygone régulier et cercle$

On appelle

A_{1}, \dots, A_{n}

les

n

sommets d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon

R

, soit

M

un point quelconque de ce cercle, montrer que

M A_{1}^{2} + \dots + M A_{n}^{2}

est un nombre indépendant de

M

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127. $Transformation Z = z^{2} / (z + i)$

Pour

z \neq = - i

, on pose

Z = \frac{z ^{2}}{z + i}

.1°) Déterminer l'ensemble des points du plan représentés par les complexes

z

pour lesquels

Z

est un imaginaire pur.

2°) Résoudre l'équation

z^{2} + 2 ia z - 2 a = 0

, où

a

est un réel fixé. Montrer que les points du plan représentés par les solutions de cette équation appartiennent à l'ensemble déterminé au 1°).

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128. $Équation quadratique et géométrie$

Soit

θ \in [0, 2 π [

.1°) Résoudre, dans

C

, l'équation

z^{2} - (2^{θ + 1} cos θ) z + 2^{2 θ} = 0

.

2°) On appelle

A

B

les points représentés par les nombres complexes trouvés au 1°). Déterminer

θ

pour que

O A B

soit un triangle équilatéral.

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129. $Équations du second degré complexes$

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

Q1-

z^{2} + (5 - 2 i) z + 5 - 5 i = 0

Q2-

(\frac{z + 1}{z - 1})^{4} + (\frac{z - 1}{z + 1})^{4} = 1

Q3-

(\frac{z + i}{z - i})^{3} + (\frac{z + i}{z - i})^{2} + \frac{z + i}{z - i} + 1 = 0

Q4-

z^{4} - 2 z^{2} cos α + 1 = 0

Q5-

z^{n} + 2 z^{n - 1} + \dots + 2 z^{2} + 2 z + 1 = 0

Q6-

(\frac{z - i - 1}{i z + 1})^{2} \in R

Voir le corrigé

a) Le discriminant de cette équation du second degré vaut :

Δ = (5 - 2 i)^{2} - 20 (1 - i) = 25 - 20 i - 4 - 20 + 20 i = 1

et les racines sont

\frac{- 5 + 2 i + 1}{2} = - 2 + i

\frac{- 5 + 2 i - 1}{2} = - 3 + i

.

b) Pour

z \neq = 1

, prenons la variable intermédiaire

Z = (\frac{z + 1}{z - 1})^{4}

.

L'équation proposée s'écrit

Z + \frac{1}{Z} = 1

, i.e.

Z^{2} - Z + 1 = 0

. Le discriminant de cette équation du second degré vaut

- 3 = 3 i^{2}

et ses solutions sont

\frac{1 \pm i 3}{2} = e^{\frac{iπ}{3}}

\frac{1 - i 3}{2} = e^{- \frac{iπ}{3}}

(\frac{z + 1}{z - 1})^{4} = e^{\pm \frac{iπ}{3}} = e^{\pm \frac{iπ}{3} + 2 ik π} \Leftrightarrow \frac{z + 1}{z - 1} = e^{\pm \frac{iπ}{12} + \frac{ik π}{2}}

et on obtient toutes les valeurs possibles en donnant à

k

quatre valeurs entières consécutives, par exemple

k \in {0, 1, 2, 3}

.

Or :

\frac{z + 1}{z - 1} = e^{\pm \frac{iπ}{12} + \frac{ik π}{2}} \Leftrightarrow (z + 1) = (z - 1) e^{\pm \frac{iπ}{12} + \frac{ik π}{2}}

\Leftrightarrow z = \frac{e ^{\pm \frac{iπ}{12} + \frac{ik π}{2}} + 1}{e ^{\pm \frac{iπ}{12} + \frac{ik π}{2}} - 1}

Mais :

\frac{e ^{i α} + 1}{e ^{i α} - 1} = \frac{e ^{\frac{i α}{2}} + e ^{- \frac{i α}{2}}}{e ^{\frac{i α}{2}} - e ^{- \frac{i α}{2}}} = \frac{2 cos \frac{α}{2}}{2 i sin \frac{α}{2}} = - i cot \frac{α}{2} = - i \frac{1}{tan \frac{α}{2}}

,

ce qui conduit aux huit solutions (imaginaires pures, donc différentes de 1) :

- i cot \frac{π}{24}; - i cot \frac{7 π}{24}; - i cot \frac{13 π}{24}; - i cot \frac{19 π}{24}; i cot \frac{π}{24}; - i cot \frac{5 π}{24}; - i cot \frac{11 π}{24}; - i cot \frac{17 π}{24}

c) Considérons ici aussi l'inconnue intermédiaire

Z = \frac{z + i}{z - i}

.

L'équation proposée s'écrit :

Z^{3} + Z^{2} + Z + 1 = 0

, et puisque

Z = 1

n'est pas solution, ceci s'écrit encore

\frac{Z ^{4} - 1}{Z - 1} = 0

, soit

Z^{4} = 1

Z \neq = 1

Z \in {i, - 1, - i}

.

Ensuite :

Z = \frac{z + i}{z - i} \Leftrightarrow z + i = Z z - i Z \Leftrightarrow z = i \frac{Z + 1}{Z - 1}

(on a

Z \neq = 1

).

Ce qui donne

{i \frac{i + 1}{i - 1}, 0, i \frac{- i + 1}{- i - 1}}

comme ensemble solution,

et comme

i \frac{i + 1}{i - 1} = \frac{- 1 + i}{- 1} = - 1

i \frac{- i + 1}{- i - 1} = \frac{1 + i}{- i - 1} = - 1

, l'ensemble solution est finalement :

{- 1, 0, 1}

d) Le discriminant réduit de l'équation du second degré d'inconnue

z^{2}

vaut :

Δ^{'} = cos^{2} α - 1 = - sin^{2} α = i^{2} sin^{2} α

Ce qui donne

z^{2} \in {cos α + i sin α, cos α - i sin α} = {e^{i α}, e^{- i α}}

, puis :

z \in {e^{\frac{i α}{2}}, - e^{\frac{i α}{2}}, e^{- \frac{i α}{2}}, - e^{- \frac{i α}{2}}}

e) Remarquons que 1 n'est pas solution de l'équation proposée, et pour

z \neq = 1

, la reconnaissance de la somme de termes consécutifs d'une progression géométrique permet d'écrire :

z^{n} + 2 (z^{n - 1} + z^{n - 2} + \dots + 1) - 1 = 0 \Leftrightarrow z^{n} + 2 \frac{z ^{n} - 1}{z - 1} - 1 = 0

\Leftrightarrow (z^{n} - 1) (1 + \frac{2}{z - 1}) = 0

\Leftrightarrow \frac{z ^{n} - 1}{z - 1} (z + 1) = 0

★ Si

n

est pair, les solutions sont les racines

n

èmes de l'unité, sauf 1, et la racine -1 est racine double.

★ Si

n

est impair, les solutions sont les racines

n

èmes de l'unité, sauf la racine 1, plus la valeur -1.

f) Notons déjà que l'on doit avoir

i z + 1 \neq = 0

, i.e.

z \neq = i

. Écrivons alors

z = x + i y

, avec

x

y

réels.

\frac{z - i - 1}{i z + 1} = \frac{x - 1 + i ( y - 1 )}{1 - y + i x} = \frac{( x - 1 + i ( y - 1 )) ( 1 - y - i x )}{( 1 - y ) ^{2} + x ^{2}}

= \frac{( x - 1 ) ( 1 - y ) + x ( y - 1 ) + i ( x ( 1 - x ) - ( 1 - y ) ^{2} )}{( 1 - y ) ^{2} + x ^{2}}

Z^{2} \in R \Leftrightarrow (Z \in R

Z \in i R)

, et donc, en n'oubliant pas que

z \neq = i

(\frac{z - i - 1}{i z + 1})^{2} \in R \Leftrightarrow [x (1 - x) - (1 - y)^{2} = 0

(x - 1) (1 - y) + x (y - 1) = 0]

\Leftrightarrow [x^{2} - x + (y - 1)^{2} = 0

y = 1]

\Leftrightarrow [(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{1}{4}

y = 1]

L'ensemble des solutions est donc la réunion des affixes des points du cercle de centre

(\frac{1}{2}, 1)

et de rayon

\frac{1}{2}

et de la droite d'équation

y = 1

, privé du point de coordonnées

(0, 1)

130. $Lieux géométriques dans C$

Déterminer l'ensemble des points

M

du plan complexe dont l'affixe

z

vérifie les conditions suivantes :

Q1-

∣ z - 1∣ = 2

Q2-

z \overset{z}{ˉ} = 16

Q3-

∣ i z - 2∣ = 9

Q4-

∣ z - i ∣ = ∣ z + i ∣

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131. $(z_{1} + z_{2})^{2} / (z_{1} z_{2}) réel positif$

Soient

z_{1}

z_{2}

deux complexes de module 1. Démontrer que :

\frac{( z _{1} + z _{2} ) ^{2}}{z _{1} z _{2}}

est un réel positif ou nul.

132. $Parties réelles et imaginaires$

Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes :

z_{1} = (1 - i)^{8}

, celle de

z_{2} = (2 + 2 i)^{4}

, puis celle de

z_{3} = (\frac{1}{2} + i \frac{3}{2})^{2021}

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133. $cos (4 θ) en fonction de cos θ$

Exprimer

cos (4 θ)

en fonction de

cos (θ)

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134. $sin (3 θ) en fonction de sin θ$

Exprimer

sin (3 θ)

en fonction de

sin (θ)

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135. $Valeur exacte de cos (π /10)$

(Valeur exacte de

cos (\frac{π}{10})

).1/ Délinéarisation. Soit

θ

un nombre réel. Exprimer

cos (5 θ)

en fonction de

cos (θ)

.

2/ On pose

ω = cos (\frac{π}{10})

. À l'aide de la question précédente, établir qu'il existe trois entiers

a

b

c

, que l'on explicitera, tels que :

a ω^{5} + b ω^{3} + c ω = 0

3/ On considère à présent l'équation

(E)

a X^{5} + b X^{3} + c X = 0

.

a/ Résoudre dans

R

l'équation

(E)

. On vérifiera en particulier que

(E)

possède deux solutions non nulles strictement positives, et deux solutions non nulles strictement négatives.

b/ On note

X_{1}

X_{2}

les solutions strictement positives de l'équation

(E)

, de telle sorte que

X_{1} < X_{2}

. Justifier que :

X_{1} < \frac{3}{2}

.

4/ À l'aide des questions précédentes, préciser la valeur exacte de

cos (\frac{π}{10})

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136. $Forme exponentielle variée$

Soit

θ \in R

. Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle.
(i)

2 - 2 i

;
(ii)

\frac{- 1 + i 3}{3 + i}

;
(iii)

1 + j

;
(iv)

e^{i θ} + e^{2 i θ}

;
(v)

e^{i θ} + e^{- i θ}

;
(vi)

1 + cos θ + i sin θ

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137. $Calcul de module et argument$

Calculer

\frac{( 1 - i ) ^{10} ( 3 + i ) ^{5}}{( - 1 - i 3 ) ^{10}}

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138. $Puissances réelles de 3 + i$

Soit

z = 3 + i

. Déterminer les entiers

n \in N

tels que

z^{n}

soit dans

R

(resp.

R_{-}

, resp.

i R_{+}

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139. $Calculs de puissances complexes$

Calculer les expressions suivantes (on pourra présenter les résultats sous forme exponentielle).
(i)

(\frac{1}{2} + i \frac{3}{2})^{666}

;
(ii)

(1 + i)^{18}

;
(iii)

(\frac{1 + i 3}{1 - i})^{20}

;
(iv)

\frac{( 1 + i ) ^{4}}{( 1 - i ) ^{3}} + \frac{( 1 - i ) ^{4}}{( 1 + i ) ^{3}}

;
(v)

(1 + j)^{n}

(pour

n \in N

) ;
(vi)

(1 + i 3)^{n} + (1 - i 3)^{n}

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140. $∣ a + b + c ∣ = ∣ ab + b c + c a ∣$

Soit

a, b, c \in U

. Montrer que

∣ a + b + c ∣ = ∣ ab + b c + c a ∣

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141. $∣ a + b ∣^{2} \leq (1 + ∣ a ∣^{2}) (1 + ∣ b ∣^{2})$

Soit

a, b \in C

. Montrer que

∣ a + b ∣^{2} \leq (1 + ∣ a ∣^{2}) (1 + ∣ b ∣^{2})

142. $Somme télescopique trigonométrique$

Soit

n \in N^{*}

x \in R

tel que

\frac{2 ^{n} x}{π} \in / Z

. Montrer

k = 1 \sum n \frac{1}{sin ( 2 ^{k} x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{cos ( 2 ^{n} x )}{sin ( 2 ^{n} x )}

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143. $Sommes S_{0}, S_{1}, S_{2} de binômes$

Soit

n \in N^{*}

. On pose

S_{0} = p = 0 \sum ⌊ n /3 ⌋ (3 p n)

S_{1} = p = 0 \sum ⌊(n - 1) /3 ⌋ (3 p + 1 n)

, et

S_{2} = p = 0 \sum ⌊(n - 2) /3 ⌋ (3 p + 2 n)

.
À l'aide des développpements de

(1 + 1)^{n}

(1 + j)^{n}

(1 + j^{2})^{n}

, déterminer

S_{0}, S_{1}

S_{2}

. (On note

j = e^{i 2 π /3}

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144. $Somme alternée de binômes$

Soit

n \in N

. Déterminer

p = 0 \sum 2 n - 1 (- 1)^{p} (2 p + 1 4 n)

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145. $Carrés dans U_{n}$

Soit

n \in N^{*}

. On définit

Q = {ω^{2} ∣ ω \in U_{n}}

.
1. Montrer que

Q \subseteq U_{n}

.
2. Montrer que

Q = U_{n}

si et seulement si

n

est impair.

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146. $cos (2 π /5) et équation du 2nd degré$

1. Démontrer que

1 + 2 cos (\frac{2 π}{5}) + 2 cos (\frac{4 π}{5}) = 0

.
2. En déduire une équation du second degré vérifiée par

cos (\frac{2 π}{5})

, puis une formule pour

cos (\frac{2 π}{5})

.
3. Déterminer

sin (\frac{2 π}{5})

, puis les valeurs de

cos

sin

\frac{π}{10}

\frac{π}{5}

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147. $Équation cubique via U_{7}$

En utilisant les éléments de

U_{7}

, exhiber une équation de degré 3 dont

cos (\frac{2 π}{7})

soit solution.

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148. $Partie I et somme de complexes$

Soit

(z_{1}, \dots, z_{n}) \in (C ∖ {0})^{n}

, prouver qu'il existe une partie

I

contenue dans

{1, \dots, n}

telle que

∣ k \in I \sum z_{k} ∣ \geq \frac{1}{4 2} k = 1 \sum n ∣ z_{k} ∣

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149. $Sommes dans U_{n}$

Soit

U_{n}

l'ensemble des racines n-ième de l'unité.
1. Calculer

ω \in U_{n} \sum ω^{p}

où

p \in N

.
2. Soit

ω = e^{2 iπ / n}

, calculer

k = 0 \sum n - 1 ω^{k p}

k = 0 \sum n - 1 (1 + ω^{k})^{n}

.
3. Soit

n \in N^{*}

ω \in U_{n}

, calculer

k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k}

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150. $Équation (z + 1)^{n} = e^{2 ina}$

Soient

n \in N^{*}

a \in R

.
1. Résoudre l'équation d'inconnue

z \in C

(z + 1)^{n} = e^{2 ina}

.
2. En déduire la valeur de :

k = 0 \prod n - 1 sin (a + \frac{k π}{n})

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Exercices de Nombres complexes, Sup (prépa) (page 5)

121.

122. $Quotient de complexes de module 1$

123. $Complexes z, 1/ z, 1 - z même module$

124. $∣ z ∣ = 1 et partie imaginaire$

125. $Somme avec racines n -ièmes$

126. $Polygone régulier et cercle$

127. $Transformation Z = z^{2} / (z + i)$

128. $Équation quadratique et géométrie$

129. $Équations du second degré complexes$

130. $Lieux géométriques dans C$

131. $(z_{1} + z_{2})^{2} / (z_{1} z_{2}) réel positif$

132. $Parties réelles et imaginaires$

133. $cos (4 θ) en fonction de cos θ$

134. $sin (3 θ) en fonction de sin θ$

135. $Valeur exacte de cos (π /10)$

136. $Forme exponentielle variée$

137. $Calcul de module et argument$

138. $Puissances réelles de 3 + i$

139. $Calculs de puissances complexes$

140. $∣ a + b + c ∣ = ∣ ab + b c + c a ∣$

141. $∣ a + b ∣^{2} \leq (1 + ∣ a ∣^{2}) (1 + ∣ b ∣^{2})$

142. $Somme télescopique trigonométrique$

143. $Sommes S_{0}, S_{1}, S_{2} de binômes$

144. $Somme alternée de binômes$

145. $Carrés dans U_{n}$

146. $cos (2 π /5) et équation du 2nd degré$

147. $Équation cubique via U_{7}$

148. $Partie I et somme de complexes$

149. $Sommes dans U_{n}$

150. $Équation (z + 1)^{n} = e^{2 ina}$

121.

122.Quotient de complexes de module 1

123.Complexes z, 1/z, 1−z même module

124.∣z∣=1 et partie imaginaire

125.Somme avec racines n-ièmes

126.Polygone régulier et cercle

127.Transformation Z=z2/(z+i)

128.Équation quadratique et géométrie

129.Équations du second degré complexes

130.Lieux géométriques dans C

131.(z1​+z2​)2/(z1​z2​) réel positif

132.Parties réelles et imaginaires

133.cos(4θ) en fonction de cosθ

134.sin(3θ) en fonction de sinθ

135.Valeur exacte de cos(π/10)

136.Forme exponentielle variée

137.Calcul de module et argument

138.Puissances réelles de 3​+i

139.Calculs de puissances complexes

140.∣a+b+c∣=∣ab+bc+ca∣

141.∣a+b∣2≤(1+∣a∣2)(1+∣b∣2)

142.Somme télescopique trigonométrique

143.Sommes S0​,S1​,S2​ de binômes

144.Somme alternée de binômes

145.Carrés dans Un​

146.cos(2π/5) et équation du 2nd degré

147.Équation cubique via U7​

148.Partie I et somme de complexes

149.Sommes dans Un​

150.Équation (z+1)n=e2ina

122. $Quotient de complexes de module 1$

123. $Complexes z, 1/ z, 1 - z même module$

124. $∣ z ∣ = 1 et partie imaginaire$

125. $Somme avec racines n -ièmes$

126. $Polygone régulier et cercle$

127. $Transformation Z = z^{2} / (z + i)$

128. $Équation quadratique et géométrie$

129. $Équations du second degré complexes$

130. $Lieux géométriques dans C$

131. $(z_{1} + z_{2})^{2} / (z_{1} z_{2}) réel positif$

132. $Parties réelles et imaginaires$

133. $cos (4 θ) en fonction de cos θ$

134. $sin (3 θ) en fonction de sin θ$

135. $Valeur exacte de cos (π /10)$

136. $Forme exponentielle variée$

137. $Calcul de module et argument$

138. $Puissances réelles de 3 + i$

139. $Calculs de puissances complexes$

140. $∣ a + b + c ∣ = ∣ ab + b c + c a ∣$

141. $∣ a + b ∣^{2} \leq (1 + ∣ a ∣^{2}) (1 + ∣ b ∣^{2})$

142. $Somme télescopique trigonométrique$

143. $Sommes S_{0}, S_{1}, S_{2} de binômes$

144. $Somme alternée de binômes$

145. $Carrés dans U_{n}$

146. $cos (2 π /5) et équation du 2nd degré$

147. $Équation cubique via U_{7}$

148. $Partie I et somme de complexes$

149. $Sommes dans U_{n}$

150. $Équation (z + 1)^{n} = e^{2 ina}$