Exercices de Nombres complexes en maths Sup (prépa) (page 4)

92. $Points d'affixes 1, z, z^{2}, z^{3}$

Soit

z

un nombre complexe. On note

A

B

C

D

les points d'affixes respectifs

1

z

z^{2}

z^{3}

dans un repère orthonormé du plan.

Q1-Pour quelles valeurs de

z

les points

A

B

C

D

sont-ils deux à deux distincts ? On suppose cette condition remplie dans la suite de l'énoncé.

Q2-Déterminer les valeurs de

z

tels que

A B C D

soit un parallélogramme. Préciser la nature de ce parallélogramme.

Q3-Déterminer les valeurs de

z

tels que le triangle

A B C

soit rectangle isocèle en

A

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93. $D'après Concours Général 1991$

On pose

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

et on considère l'application

P : {C ⟶ C z ⟼ z^{3} + α z^{2} + β z

où

(α, β) \in C^{2}

Q1-Que vaut

1 + j + j^{2}

Q2-Montrer que

P (1) + P (j) + P (j^{2}) = 3

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94. $Orthocentre d'affixe a + b + c$

Soient

a

b

c

trois nombres complexes non nuls de même module et deux à deux distincts.
On note

A

B

C

H

les points d'affixes respectifs

a

b

c

a + b + c

Q1-On pose

w = b \overline{c} - \overline{b} c

. Calculer

\overline{w}

et en déduire que

w

est imaginaire pur.

Q2-Montrer que

(b + c) (\overline{b} - \overline{c})

est également imaginaire pur.

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95. $Problème d'alignement (I)$

Déterminer l'ensemble des points du plan d'affixe

z

tels que les points d'affixes

1

z

z^{3}

soient alignés.

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96. $Problème d'alignement (II)$

Déterminer l'ensemble des nombres complexes

z

tels que les points d'affixes respectives

z

i z

z^{2}

soient alignés.

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97. $Problème d'alignement (III)$

Le plan

P

est muni d'un repère orthonormé direct

R

. Déterminer l'ensemble des points

M (z)

du plan

P

tels que les points d'affixes respectives

1

z^{2}

z^{4}

soient alignés.

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98. $Un bouquet de cercles$

Déterminer les points

M (z)

du plan

P

tels que

(\frac{z}{z - 1})^{4} \in R

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99. $Sa majesté équilatérale$

Soient

A

B

C

trois points deux à deux distincts d'affixes

a

b

c

Q1-Prouver que

A B C

est un triangle équilatéral direct si et seulement si

a + j b + j^{2} c = 0,

et équilatéral indirect si et seulement si

a + j c + j^{2} b = 0.

Q2-Prouver que

A B C

est un triangle équilatéral si et seulement si

a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + a c + b c .

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100. $Droite d'Euler (oral Mines-Ponts)$

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

R = (O, u, v)

.
Soit

M_{1} M_{2} M_{3}

un triangle inscrit dans un cercle de centre

O

. On note

z_{k}

l'affixe de

M_{k}

Q1-Montrer que l'orthocentre

H

du triangle

M_{1} M_{2} M_{3}

a pour affixe

h = z_{1} + z_{2} + z_{3} .

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101. $Trois lieux géométriques$

Soient

E = C ∖ {2 i}

f : E \to C

l'application définie par

\forall z \in E, f (z) = \frac{z + i}{z - 2 i} .

Déterminer les ensembles suivants :

Q1-

E_{1} = {z \in C ∣ f (z) \in R}

Q2-

E_{2} = {z \in C ∣ f (z) \in i R}

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102. $Similitudes dans le plan complexe$

Dans tout l'exercice, le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct

R

Q1-Déterminer les nombres complexes

z

non nuls tels que les nombres complexes

z

1/ z

1 + z

aient même module.

Q2-Déterminer les nombres complexes tels que

∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣.

Interprétation géométrique ?

Q3-Déterminer le lieu des points du plan dont l'affixe

z

vérifie

∣ (1 + i) z - 2 i ∣ = 2.

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103. $Suite (z_{n}), x_{n + 1} = x_{n} + y_{n}$

Soient

(x_{n})

(y_{n})

deux suites réelles définies par

x_{0} = 1

y_{0} = 0

et par

\forall n \in N, {x_{n + 1} = x_{n} + y_{n} y_{n + 1} = y_{n} - x_{n}

On pose

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

pour tout

n \in N

104. $Sommes \sum k cos (k α) et sin$

Soit

α \in R

tel que

α \neq \equiv 0 [2 π]

. Pour

n \in N

, on pose

S_{n} = k = 0 \sum n k cos (k α) et T_{n} = k = 0 \sum n k sin (k α)

Montrer que

S_{n} = \frac{n cos ( n + 1 ) α - ( n + 1 ) cos ( n α ) + 1}{2 ( cos α - 1 )}

T_{n} = \frac{n sin ( n + 1 ) α - ( n + 1 ) sin ( n α )}{2 ( cos α - 1 )}

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105. $(1 + i)^{2 n} et sommes binomiales$

Soit

n \in N^{*}

. Calculer de deux manières

(1 + i)^{2 n}

et en déduire

S_{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} (2 k 2 n)

T_{n} = k = 0 \sum n - 1 (- 1)^{k} (2 k + 1 2 n)

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106. $Banque CCP (II)$

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

. On pose

z = e^{\frac{2 iπ}{n}}

Q1-Soit

k \in [[1, n - 1]]

. Déterminer le module et un argument de

z^{k} - 1

Q2-On pose

S = k = 0 \sum n - 1 ∣ z^{k} - 1∣

. Montrer que

S = \frac{2}{tan \frac{π}{2 n}}

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107. $ω = e^{iπ / n} et sommes associées$

Soit

n

un entier naturel non nul. On pose

ω = e^{\frac{iπ}{n}}

Q1-Justifier que

ω \neq = 1

Q2-On pose

A_{n} = k = 0 \sum n - 1 ω^{k}

. Montrer que

A_{n} = \frac{2}{1 - ω}

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108. $(1 + i)^{n} et sommes S_{n}, T_{n}$

Soit

n \in N

. Calculer de deux manières

(1 + i)^{n}

et en déduire les sommes suivantes

S_{n} = 0 \leq 2 k \leq n \sum (- 1)^{k} (2 k n) T_{n} = 0 \leq 2 k + 1 \leq n \sum (- 1)^{k} (2 k + 1 n)

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109. $Noyaux de Dirichlet et de Féjer$

Pour

n \in N

θ \in R

, on pose

D_{n} (θ) = k = - n \sum n e^{k i θ}

F_{n} (θ) = k = 0 \sum n D_{k} (θ)

Q1-Montrer que si

θ \neq \equiv 0 [2 π]

D_{n} (θ) = \frac{sin ( ( n + \frac{1}{2} ) θ )}{sin ( \frac{θ}{2} )}

.
Préciser également la valeur de

D_{n} (θ)

lorsque

θ \equiv 0 [2 π]

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110. $Simplification d'une somme$

Simplifier la somme

S_{n} = 0 \leq 2 k \leq n \sum (- 3)^{k} (2 k n) .

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111. $Sommes de 3 en 3$

Pour tout entier naturel

n

, on pose

S_{1} = k = 0 \sum n (3 k 3 n), S_{2} = k = 0 \sum n - 1 (3 k + 1 3 n), et S_{3} = k = 0 \sum n - 1 (3 k + 2 3 n) .

Q1-Calculer

S_{1} + S_{2} + S_{3}

, puis

S_{1} + j S_{2} + j^{2} S_{3}

S_{1} + j^{2} S_{2} + j^{4} S_{3}

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112. $Sommes classiques$

Soient

α

β

, deux nombres réels. Simplifier les sommes

S_{n} = k = 0 \sum n (k n) cos (α + k β), S_{n}^{'} = k = 0 \sum n (k n) sin (α + k β), S_{n}^{''} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} cos (α + k β) .

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113. $Posé à Centrale (II)$

Soit

α

un nombre réel tel que

cos α \neq = 0

. On pose

R_{n} = k = 0 \sum n \frac{cos k α}{cos ^{k} α} et I_{n} = k = 0 \sum n \frac{sin k α}{cos ^{k} α} .

Calculer

R_{n} + i I_{n}

et en déduire des expressions simplifiées de

R_{n}

et de

I_{n}

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114. $Simplification de F_{n} (cos impairs)$

Simplifier, pour tout

n \in N

F_{n} = \frac{cos ( x ) + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) + \dots + cos (( 2 n + 1 ) x )}{sin ( x ) + sin ( 3 x ) + sin ( 5 x ) + \dots + sin (( 2 n + 1 ) x )} .

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115. $Équations dans C (VIII)$

Résolvons dans

C

les équations suivantes :

Q1-

e^{z} = - 7

Q2-

e^{z} = - 2 i

Q3-

e^{z} = 1 + i

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116. $Autour de l'exponentielle$

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

Q1-

e^{z} + e^{- z} = 1

Q2-

e^{z} + e^{- z} = 2 i

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117. $X — Racines n -ièmes et produits (X)$

Soient

n \geq 3

ω_{1}, \dots, ω_{n}

les racines

n

-ièmes de l'unité avec

ω_{n} = 1

Q1-Calculer pour

p \in Z

S_{p} = i = 1 \sum n ω_{i}^{p}

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118. $X — Système trig. x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$

Résoudre dans

C^{3}

le système

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0 x^{4} + y^{4} + z^{4} = 0 x^{5} + y^{5} + z^{5} = 0.

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119. $Forme algébrique de complexes$

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :1.

z_{1} = (2 + 2 i)^{6}

z_{2} = (\frac{1 + i 3}{1 - i})^{20}

z_{3} = \frac{( 1 + i ) ^{2000}}{( i - 3 ) ^{1000}}

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120. $Puissances de 1 + i 3 réelles$

Trouver les entiers

n \in N

tels que

(1 + i 3)^{n}

soit un réel positif.

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Exercices de Nombres complexes, Sup (prépa) (page 4)

91.

92. $Points d'affixes 1, z, z^{2}, z^{3}$

93. $D'après Concours Général 1991$

94. $Orthocentre d'affixe a + b + c$

95. $Problème d'alignement (I)$

96. $Problème d'alignement (II)$

97. $Problème d'alignement (III)$

98. $Un bouquet de cercles$

99. $Sa majesté équilatérale$

100. $Droite d'Euler (oral Mines-Ponts)$

101. $Trois lieux géométriques$

102. $Similitudes dans le plan complexe$

103. $Suite (z_{n}), x_{n + 1} = x_{n} + y_{n}$

104. $Sommes \sum k cos (k α) et sin$

105. $(1 + i)^{2 n} et sommes binomiales$

106. $Banque CCP (II)$

107. $ω = e^{iπ / n} et sommes associées$

108. $(1 + i)^{n} et sommes S_{n}, T_{n}$

109. $Noyaux de Dirichlet et de Féjer$

110. $Simplification d'une somme$

111. $Sommes de 3 en 3$

112. $Sommes classiques$

113. $Posé à Centrale (II)$

114. $Simplification de F_{n} (cos impairs)$

115. $Équations dans C (VIII)$

116. $Autour de l'exponentielle$

117. $X — Racines n -ièmes et produits (X)$

118. $X — Système trig. x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$

119. $Forme algébrique de complexes$

120. $Puissances de 1 + i 3 réelles$

91.

92.Points d'affixes 1,z,z2,z3

93.D'après Concours Général 1991

94.Orthocentre d'affixe a+b+c

95.Problème d'alignement (I)

96.Problème d'alignement (II)

97.Problème d'alignement (III)

98.Un bouquet de cercles

99.Sa majesté équilatérale

100.Droite d'Euler (oral Mines-Ponts)

101.Trois lieux géométriques

102.Similitudes dans le plan complexe

103.Suite (zn​), xn+1​=xn​+yn​

104.Sommes ∑kcos(kα) et sin

105.(1+i)2n et sommes binomiales

106.Banque CCP (II)

107.ω=eiπ/n et sommes associées

108.(1+i)n et sommes Sn​, Tn​

109.Noyaux de Dirichlet et de Féjer

110.Simplification d'une somme

111.Sommes de 3 en 3

112.Sommes classiques

113.Posé à Centrale (II)

114.Simplification de Fn​ (cos impairs)

115.Équations dans C (VIII)

116.Autour de l'exponentielle

117.X — Racines n-ièmes et produits (X)

118.X — Système trig. x2+y2+z2=0

119.Forme algébrique de complexes

120.Puissances de 1+i3​ réelles

92. $Points d'affixes 1, z, z^{2}, z^{3}$

93. $D'après Concours Général 1991$

94. $Orthocentre d'affixe a + b + c$

95. $Problème d'alignement (I)$

96. $Problème d'alignement (II)$

97. $Problème d'alignement (III)$

98. $Un bouquet de cercles$

99. $Sa majesté équilatérale$

100. $Droite d'Euler (oral Mines-Ponts)$

101. $Trois lieux géométriques$

102. $Similitudes dans le plan complexe$

103. $Suite (z_{n}), x_{n + 1} = x_{n} + y_{n}$

104. $Sommes \sum k cos (k α) et sin$

105. $(1 + i)^{2 n} et sommes binomiales$

106. $Banque CCP (II)$

107. $ω = e^{iπ / n} et sommes associées$

108. $(1 + i)^{n} et sommes S_{n}, T_{n}$

109. $Noyaux de Dirichlet et de Féjer$

110. $Simplification d'une somme$

111. $Sommes de 3 en 3$

112. $Sommes classiques$

113. $Posé à Centrale (II)$

114. $Simplification de F_{n} (cos impairs)$

115. $Équations dans C (VIII)$

116. $Autour de l'exponentielle$

117. $X — Racines n -ièmes et produits (X)$

118. $X — Système trig. x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$

119. $Forme algébrique de complexes$

120. $Puissances de 1 + i 3 réelles$