Exercices de Polynômes en maths Sup (prépa)

1. $Équations dans K [X] (I)$

2. $Polynômes P (X^{2}) = (X^{2} + 1) P (X)$

Trouver les

P \in R [X]

tels que

P (X^{2}) = (X^{2} + 1) P (X)

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3. $Produit (1 + X) (1 + X^{2}) \dots (1 + X^{2^{n}})$

Soit

K [X]

l'anneau des polynômes. On s'intéresse au développement du produit télescopique

(1 + X) (1 + X^{2}) \dots (1 + X^{2^{n}})

et à une application arithmétique sur la représentation en base

2

Q1-Pour

n \in N

, développer le polynôme

(1 + X) (1 + X^{2}) (1 + X^{4}) \dots (1 + X^{2^{n}})

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4. $Suite (P_{n}), P_{n + 1} = P_{n}^{2} - 2$

Soit

(P_{n})_{n \in N^{*}}

la suite de polynômes définie par

P_{1} = X - 2 et \forall n \in N^{*}, P_{n + 1} = P_{n}^{2} - 2.

Calculer le coefficient de

X^{2}

dans

P_{n}

5. $P \geq 0 iff P = A^{2} + B^{2}$

Soit

P \in R [X]

. Montrer qu'il y a équivalence entre :

(i)

\forall x \in R, P (x) \geq 0

;

(ii)

\exists (A, B) \in R [X]^{2}, P = A^{2} + B^{2}

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6. $∣ P (z) ∣ < 1 près de 0, P (0) = 1$

Soit

P \in C [X]

non constant et tel que

P (0) = 1

. Montrer que :

\forall ε > 0, \exists z \in C, ∣ z ∣ < ε et ∣ P (z) ∣ < 1.

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7. $Coeff bornés par sup_{∣ z ∣ = 1} ∣ P ∣$

Soit

P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n} \in C [X]

. On pose

M = ∣ z ∣ = 1 sup ∣ P (z) ∣

. Montrer

\forall k \in {0, \dots, n}, ∣ a_{k} ∣ \leq M .

On pourra employer des racines de l'unité.

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8. $Localisation des racines de P$

Soit

P (X) = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in C [X]

. Montrer que si

ξ

est racine de

P

alors

∣ ξ ∣ \leq 1 + 0 \leq k \leq n - 1 max ∣ a_{k} ∣.

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9. $P + \overset{ˉ}{P} scindé si Im (ξ) \geq 0$

Soit

P \in C [X]

un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme

P + \overline{P}

est scindé dans

R [X]

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10. $P - λ scindé simple$

Soit

P

un polynôme complexe non constant. Existe-t-il

λ \in C

tel que

P - λ

soit scindé à racines simples ?

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11. $Dérivée d'un poly scindé réel$

Soit

P \in R [X]

scindé de degré

\geq 2

; on veut montrer que le polynôme

P^{'}

est lui aussi scindé.

Q1-Énoncer le théorème de Rolle.

Q2-Si

x_{0}

est racine de

P

de multiplicité

m \geq 1

, déterminer sa multiplicité dans

P^{'}

Q3-Prouver le résultat énoncé.

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12. $Théorème de Rolle, P scindé \Rightarrow P^{'} scindé$

On étudie les propriétés de dérivation et de scindage des polynômes réels, en s'appuyant sur le théorème de Rolle.

Q1-Soit

f : R \to R

une fonction dérivable. On suppose que

f

s'annule au moins

n

fois. Montrer que

f^{'}

s'annule au moins

n - 1

fois.

Q2-Soit

P \in R [X]

un polynôme scindé à racines simples avec

n = de g P \geq 2

. Montrer que le polynôme

P^{'}

est lui aussi scindé.

Q3-Montrer que le résultat perdure même si les racines de

P

ne sont pas simples.

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13. $Poly n + 1 racines réelles distinctes$

Soit

P

un polynôme de degré

n + 1 \in N^{*}

à coefficients réels possédant

n + 1

racines réelles distinctes.

Q1-Montrer que son polynôme dérivé

P^{'}

possède exactement

n

racines réelles distinctes.

Q2-En déduire que les racines du polynôme

P^{2} + 1

sont toutes simples dans

C

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14. $P scindé \Rightarrow P^{'} scindé$

Soit

P \in R [X]

un polynôme scindé de degré supérieur à

2

. Montrer que

P^{'}

est scindé.

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15. $X^{10} + a X^{9} + \dots + X + 1 non scindé sur R$

On cherche à relier le caractère scindé d'un polynôme réel à celui de sa dérivée, puis on en tire une conséquence pour certains polynômes de degré élevé.

Q1-Si

P \in R [X]

est scindé sur

R

, montrer que

P^{'}

est scindé ou constant sur

R

Q2-Si

(a, b, c) \in R^{3}

, montrer que

X^{10} + a X^{9} + b X^{8} + c X^{7} + X + 1

n'est pas scindé sur

R

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16. $P scindé simple, P^{2} + α^{2} simple$

Soit

P \in R [X]

scindé à racines simples dans

R

. Montrer que pour tout

α \in R^{*}

les racines de

P^{2} + α^{2}

dans

C

sont toutes simples.

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17. $Scindage de P^{'} + α P$

Soit

P \in R [X]

scindé sur

R

. Montrer que pour tout réel

α

, le polynôme

P^{'} + α P

est lui aussi scindé sur

R

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18. $Scindé simple, pas 2 coeff nuls$

Soit

P \in R [X]

simplement scindé sur

R

. Montrer que

P

ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

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19. $Coeff nul entre deux de même signe$

Soit

P \in R [X]

scindé à racines simples. Montrer qu'aucun coefficient nul de

P

ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.

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20. $P scindé : critère via Im (z)$

Soit

P

un polynôme réel unitaire de degré

n \in N

. Montrer que

P

est scindé sur

R

si, et seulement si, pour tout

z

complexe

∣ Im (z) ∣^{n} \leq ∣ P (z) ∣

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21. $Équations dans K [X] (II)$

Résoudre les équations suivantes :

Q1-

P^{'2} = 4 P

d'inconnue

P \in K [X]

Q2-

(X^{2} + 1) P^{''} - 6 P = 0

d'inconnue

P \in K [X]

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22. $Unique P_{n} tel que P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}$

Montrer que pour tout entier naturel

n

, il existe un unique polynôme

P_{n} \in R [X]

tel que

P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}

. Exprimer les coefficients de

P_{n}

à l'aide de nombres factoriels.

23. $Taylor : P (X + 1) = \sum P^{(n)} (X) / n!$

Soit

P \in K [X]

. Montrer

P (X + 1) = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} P^{(n)} (X) .

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24. $Poly P tel que \int_{k}^{k + 1} P = k + 1$

Trouver tous les polynômes

P \in R [X]

tels que

\forall k \in Z, \int_{k}^{k + 1} P (t) d t = k + 1.

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25. $Poly sans racine sur [a; + \infty [$

Soit

P \in R [X]

. On suppose que

a \in R

vérifie

P (a) > 0

\forall k \in N^{*}, P^{(k)} (a) \geq 0

. Montrer que le polynôme

P

ne possède pas de racines dans

[a; + \infty [

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26. $Reste de P par (X - a) (X - b)$

Soit

(a, b) \in K^{2}

tels que

a \neq = b

P \in K [X]

. Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X - a) (X - b)

en fonction de

P (a)

P (b)

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27. $Reste de P par (X - a)^{2}$

Soient

a \in K

P \in K [X]

. Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X - a)^{2}

en fonction de

P (a)

P^{'} (a)

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28. $Reste de (X cos t + sin t)^{n} par X^{2} + 1$

Soient

t \in R

n \in N^{*}

. Déterminer le reste de la division euclidienne dans

R [X]

(X cos t + sin t)^{n}

par

X^{2} + 1

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29. $Reste de X^{k} par X^{n} - 1$

Soit

k, n \in N^{*}

r

le reste de la division euclidienne de

k

par

n

. Montrer que le reste de la division euclidienne de

X^{k}

par

X^{n} - 1

est

X^{r}

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30. $Divisibilité de polynômes (I)$

Soient

n, m \in N^{*}

Q1-De la division euclidienne de

n

par

m

, déduire celle de

X^{n} - 1

par

X^{m} - 1

Q2-Établir que

g cd (X^{n} - 1, X^{m} - 1) = X^{g c d (n, m)} - 1

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31. $Divisibilités et quotients$

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondants :

Q1-

X - 1 ∣ X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 2

Q2-

X - 2 ∣ X^{3} - 3 X^{2} + 3 X - 2

Q3-

X + 1 ∣ X^{3} + 3 X^{2} - 2

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32. $Division : X^{2} + 2 divise X^{4} + \dots$

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur

(λ, μ) \in K^{2}

pour que

X^{2} + 2

divise

X^{4} + X^{3} + λ X^{2} + μ X + 2

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33. $P (X) - X divise P^{[n]} (X) - X (récurrence)$

Soit

P \in K [X]

Q1-Montrer que

P (X) - X

divise

P (P (X)) - P (X)

Q2-En déduire que

P (X) - X

divise

P (P (X)) - X

Q3-On note

P^{[n]} = P \circ \dots \circ P

(composition à

n \geq 1

facteurs). Établir que

P (X) - X

divise

P^{[n]} (X) - X

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34. $P (X) - X divise P (P (X)) - X$

Soit

P \in K [X]

. Montrer que

P (X) - X

divise

P (P (X)) - X

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35. $A^{2} ∣ B^{2} implique A ∣ B$

Soit

A, B \in K [X]

tels que

A^{2} ∣ B^{2}

. Montrer que

A ∣ B

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36. $Poly non premiers : critère$

Soit

(A, B) \in (K [X])^{2}

non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)

A

B

ne sont pas premiers entre eux.

(ii)

il existe

(U, V) \in (K [X] ∖ {0})^{2}

tel que

A U + B V = 0

de g U < de g B

de g V < de g A

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37. $A \land B = 1 iff A + B \land A B = 1$

Soit

A, B \in K [X]

non nuls. Montrer :

A

B

sont premiers entre eux si, et seulement si,

A + B

A B

le sont.

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38. $g cd (A, B C) = g cd (A, C) si A \land B = 1$

Soient

A, B, C \in K [X]

tels que

A

B

soient premiers entre eux. Montrer

g cd (A, B C) = g cd (A, C)

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39. $Poly (X - a) (X - b) divisant P (X^{3})$

On cherche les polynômes

P (X) = (X - a) (X - b) \in C [X]

tels que

P (X)

divise

P (X^{3})

.
Montrer que, si

a = b

P \in R [X]

et que si

a \neq = b

a^{3} \neq = b^{3}

, il existe

6

polynômes dont

4

dans

R [X]

.
Trouver les polynômes

P

a \neq = b

a^{3} = b^{3}

et en déduire que

13

polynômes en tout conviennent, dont

7

dans

R [X]

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40. $Racines rationnelles : p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}$

On s'intéresse aux racines rationnelles des polynômes à coefficients entiers, en établissant un critère portant sur les coefficients extrêmes, puis on applique ce critère à des exemples concrets.

Q1-Soit

P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

un polynôme à coefficients entiers tel que

a_{n} \neq = 0

a_{0} \neq = 0

. On suppose que

P

admet une racine rationnelle

r = p / q

exprimée sous forme irréductible. Montrer que

p ∣ a_{0}

q ∣ a_{n}

Q2-Factoriser

P = 2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 5

Q3-Le polynôme

P = X^{3} + 3 X - 1

est-il irréductible dans

Q [X]

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1.Équations dans K[X] (I)

2.Polynômes P(X2)=(X2+1)P(X)

3.Produit (1+X)(1+X2)⋯(1+X2n)

4.Suite (Pn​), Pn+1​=Pn2​−2

5.P≥0 iff P=A2+B2

6.∣P(z)∣<1 près de 0, P(0)=1

7.Coeff bornés par sup∣z∣=1​∣P∣

8.Localisation des racines de P

9.P+Pˉ scindé si Im(ξ)≥0

10.P−λ scindé simple

11.Dérivée d'un poly scindé réel

12.Théorème de Rolle, P scindé ⇒P′ scindé

13.Poly n+1 racines réelles distinctes

14.P scindé ⇒P′ scindé

15.X10+aX9+⋯+X+1 non scindé sur R

16.P scindé simple, P2+α2 simple

17.Scindage de P′+αP

18.Scindé simple, pas 2 coeff nuls

19.Coeff nul entre deux de même signe

20.P scindé : critère via Im(z)

21.Équations dans K[X] (II)

22.Unique Pn​ tel que Pn​−Pn′​=Xn

23.Taylor : P(X+1)=∑P(n)(X)/n!

24.Poly P tel que ∫kk+1​P=k+1

25.Poly sans racine sur [a;+∞[

26.Reste de P par (X−a)(X−b)

27.Reste de P par (X−a)2

28.Reste de (Xcost+sint)n par X2+1

29.Reste de Xk par Xn−1

30.Divisibilité de polynômes (I)

31.Divisibilités et quotients

32.Division : X2+2 divise X4+…

33.P(X)−X divise P[n](X)−X (récurrence)

34.P(X)−X divise P(P(X))−X

35.A2∣B2 implique A∣B

36.Poly non premiers : critère

37.A∧B=1 iff A+B∧AB=1

38.gcd(A,BC)=gcd(A,C) si A∧B=1

39.Poly (X−a)(X−b) divisant P(X3)

40.Racines rationnelles : p∣a0​, q∣an​

1. $Équations dans K [X] (I)$

2. $Polynômes P (X^{2}) = (X^{2} + 1) P (X)$

3. $Produit (1 + X) (1 + X^{2}) \dots (1 + X^{2^{n}})$

4. $Suite (P_{n}), P_{n + 1} = P_{n}^{2} - 2$

5. $P \geq 0 iff P = A^{2} + B^{2}$

6. $∣ P (z) ∣ < 1 près de 0, P (0) = 1$

7. $Coeff bornés par sup_{∣ z ∣ = 1} ∣ P ∣$

8. $Localisation des racines de P$

9. $P + \overset{ˉ}{P} scindé si Im (ξ) \geq 0$

10. $P - λ scindé simple$

11. $Dérivée d'un poly scindé réel$

12. $Théorème de Rolle, P scindé \Rightarrow P^{'} scindé$

13. $Poly n + 1 racines réelles distinctes$

14. $P scindé \Rightarrow P^{'} scindé$

15. $X^{10} + a X^{9} + \dots + X + 1 non scindé sur R$

16. $P scindé simple, P^{2} + α^{2} simple$

17. $Scindage de P^{'} + α P$

18. $Scindé simple, pas 2 coeff nuls$

19. $Coeff nul entre deux de même signe$

20. $P scindé : critère via Im (z)$

21. $Équations dans K [X] (II)$

22. $Unique P_{n} tel que P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}$

23. $Taylor : P (X + 1) = \sum P^{(n)} (X) / n!$

24. $Poly P tel que \int_{k}^{k + 1} P = k + 1$

25. $Poly sans racine sur [a; + \infty [$

26. $Reste de P par (X - a) (X - b)$

27. $Reste de P par (X - a)^{2}$

28. $Reste de (X cos t + sin t)^{n} par X^{2} + 1$

29. $Reste de X^{k} par X^{n} - 1$

30. $Divisibilité de polynômes (I)$

31. $Divisibilités et quotients$

32. $Division : X^{2} + 2 divise X^{4} + \dots$

33. $P (X) - X divise P^{[n]} (X) - X (récurrence)$

34. $P (X) - X divise P (P (X)) - X$

35. $A^{2} ∣ B^{2} implique A ∣ B$

36. $Poly non premiers : critère$

37. $A \land B = 1 iff A + B \land A B = 1$

38. $g cd (A, B C) = g cd (A, C) si A \land B = 1$

39. $Poly (X - a) (X - b) divisant P (X^{3})$

40. $Racines rationnelles : p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}$