Exercices de Polynômes en maths Sup (prépa) (page 5)

161. $Valuation d'un polynôme$

Soit

P \in R [X]

. On établit une inégalité entre la norme

L^{2}

sur

[- 1, 1]

et une intégrale sur le cercle unité, puis on en tire une inégalité quadratique sur les coefficients de

P

Q1-Soit

P \in R [X]

. Montrer que

\int_{- 1}^{1} P^{2} (x) d x = - i \int_{0}^{π} P^{2} (e^{i θ}) e^{i θ} d θ

En déduire l'inégalité

\int_{- 1}^{1} P^{2} (x) d x \leq \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} ∣ P (e^{i t}) ∣^{2} d t

Q2-En déduire que si

(a_{0}, \dots, a_{n}) \in R^{n + 1}

, alors

0 \leq k, ℓ \leq n \sum \frac{a _{k} a _{ℓ}}{k + ℓ + 1} \leq π k = 0 \sum n a_{k}^{2}

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Soit

P = k = 0 \sum n a_{k} X^{k} \in R [X]

scindé sur

R

. Montrer que

\forall k \in [[1, n - 1]], a_{k - 1} a_{k + 1} \leq a_{k}^{2}

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Existe-t-il un polynôme

P \in C [X]

tel que

\forall z \in C, P (z) = \overline{z} ?

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Trouver les

P \in C [X]

vérifiant

P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)

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Trouver les

P \in C [X]

tels que

P (1) = 1, P (2) = 2, P^{'} (1) = 3, P^{'} (2) = 4, P^{''} (1) = 5 et P^{''} (2) = 6.

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Soit

P \in R [X]

. Montrer que la suite

(P (n))_{n \in N}

vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

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