Exercices de Polynômes en maths Sup (prépa) (page 3)

81. $Suite récurrente (P_{n}) deg n (II)$

82. $Polynôme P_{n} de f^{(n)} (x)$

On pose

f (x) = \frac{1}{cos x}

. Démontrer l'existence d'un polynôme

P_{n}

de degré

n

et à coefficients positifs ou nuls vérifiant

\forall n \geq 1, f^{(n)} (x) = \frac{P _{n} ( sin x )}{( cos x ) ^{n + 1}}

. Préciser

P_{1}, P_{2}, P_{3}

et calculer

P_{n} (1)

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83. $Centrale — F rat. sur Q$

centrale

Soit

F \in C (X)

telle que, pour tout

n \in N

non pôle de

F

F (n) \in Q

. Montrer que

F \in Q (X)

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84. $Centrale — \sum P^{''} (x_{k}) / P^{'} (x_{k}) = 0$

centrale

Soit

P \in R_{n} [X]

scindé à racines simples

(x_{1}, \dots, x_{n})

. Montrer

k = 1 \sum n \frac{P ^{''} ( x _{k} )}{P ^{'} ( x _{k} )} = 0.

85. $Mines — Élém. simples (X^{n} - 1)$

mines

Décomposer en éléments simples dans

C (X)

la fraction rationnelle

\frac{X ^{n - 1}}{X ^{n} - 1} .

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86. $Mines — P_{n} (X + 1) - P_{n} (X) = X^{n}$

mines

Montrer, pour tout

n \in N

, qu'il existe un unique

P_{n} \in R_{n + 1} [X]

tel que

P_{n} (0) = 0

P_{n} (X + 1) - P_{n} (X) = X^{n}

87. $Équations biquadratiques$

Résoudre dans

R

les équations suivantes :

1.

x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0

.

2.

x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0

.

3.

4 x^{4} + 4 x^{2} - 3 = 0

.

4.

x - 3 x - 4 = 0

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88. $Cubique 2 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x + 6$

On cherche les racines de polynômes de degré

3

4

à coefficients entiers en détectant des racines évidentes et en effectuant une division euclidienne.

Q1-On considère l'équation

2 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x + 6 = 0

(E_{1})

. Montrer que

1

est racine de

(E_{1})

, déterminer trois réels

a

b

c

tels que

2 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x + 6 = (x - 1) (a x^{2} + b x + c)

, puis résoudre

(E_{1})

dans

R

Q2-Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre les équations suivantes :

6 x^{3} + 25 x^{2} + 21 x - 10 = 0

(E_{2})

x^{3} - x^{2} - 4 x - 6 = 0

(E_{3})

x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0

(E_{4})

(chercher deux racines évidentes pour

(E_{4})

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89. $Factoriser (x + 1)^{5} - x^{5} - 1 et (x + 1)^{7}$

Décomposer en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2 les polynômes

(x + 1)^{5} - x^{5} - 1

(x + 1)^{7} - x^{7} - 1

90. $Sommes symétriques de x^{'}, x^{''} (I)$

L'équation

x^{2} - x - 9 = 0

admet deux solutions

x^{'}

x^{''}

; sans les calculer, déterminer les expressions suivantes :

x^{'2} + x^{''2}

(x^{'} - x^{''})^{2}

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91. $Sommes symétriques de x^{'}, x^{''} (II)$

L'équation

x^{2} - x - 9 = 0

admet deux solutions

x^{'}

x^{''}

; sans les calculer, déterminer les expressions suivantes :

x^{'3} + x^{''3}

x^{'4} + x^{''4}

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92. $Équation 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = 0$

Résoudre l'équation

3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = 0

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93. $Racines évidentes de trinômes$

On donne des nombres réels

a

b

c

.

Donner, sans utiliser les formules de résolution, les racines des équations suivantes :

a x^{2} + b x + c = a + b + c

x^{2} (a - b) + x (b - c) + c - a = 0

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94. $Minimum d'une somme de carrés$

On donne des nombres réels

a

b

c

d

.

Déterminer

x

en sorte que la somme

(x - a)^{2} + (x - b)^{2} + (x - c)^{2} + (x - d)^{2}

soit minimale.

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95. $Reste de P par (X - a) (X - b) (II)$

Soient

P \in K [X]

a, b \in K

avec

a \neq = b

Q1-Déterminer le reste de la division euclidienne de

P

par le polynôme

X - a

Q2-Déterminer le reste de la division euclidienne de

P

par le polynôme

(X - a)^{2}

Q3-Déterminer le reste de la division euclidienne de

P

par le polynôme

(X - a) (X - b)

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96. $Reste de X^{100} - X^{4} + X - 1$

Soient

A = X^{100} - X^{4} + X - 1 et B = X^{3} + X^{2} + X + 1.

Trouver le reste de la division euclidienne de

A

par le polynôme

B

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97. $Calcul d'un quotient$

Soient

a, b \in R

n \geq 1

. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

(X - 1)^{2}

divise

a X^{n + 1} + b X^{n} + 1.

Calculer alors le quotient.

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98. $Polynôme (X - 3)^{2 n} + (X - 2)^{n} - 2$

Soit

n \geq 2

. On pose

P_{n} = (X - 3)^{2 n} + (X - 2)^{n} - 2

Q1-Déterminer le reste de

P_{n}

dans la division euclidienne par

X - 3

Q2-Déterminer le reste de

P_{n}

dans la division euclidienne par

(X - 2)^{2}

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99. $Divisiblité C et R$

Soient

A

B

deux polynômes de

R [X]

tels que

B

divise

A

dans

C [X]

Q1-Justifier que

B

divise

A

dans

R [X]

Q2-Quels sont les entiers naturels

n

tels que le polynôme

X^{2} + X + 1

divise

X^{2 n} + X^{n} + 1

Q3-Pour tout entier naturel

n

, on pose

P_{n} = (1 + X^{4})^{n} - X^{4}

. Déterminer l'ensemble

E

des entiers naturels

n

tels que

X^{2} + X + 1

divise

P_{n}

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100. $Reste de (cos θ + X sin θ)^{n}$

Soit

θ \in R

. Calculer le reste de la division euclidienne de

(cos θ + X sin θ)^{n}

par

X^{2} + 1

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101. $Calcul d'un reste$

Pour tout

n \in N

, on pose

P_{n} = n X^{n + 1} - (n + 1) X^{n} + 1.

Déterminer le reste de la division euclidienne de

P_{n}

par

(X - 1)^{3}

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102. $Reste par X + 1 et X + 5, puis par X^{2} + 6 X + 5$

Soit

P \in R [X]

. On suppose que le reste de la division euclidienne de

P

par

X + 1

est égal à

7

et que le reste de la division euclidienne de

P

par

X + 5

est égal à

3

. Peut-on déterminer le reste de la division euclidienne de

P

par

X^{2} + 6 X + 5

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103. $Posé aux CCP en PC$

Soit

n \in N^{*}

. Déterminer le reste dans la division euclidienne de

P_{n} = k = 1 \prod n (sin (\frac{k π}{n}) X + cos (\frac{k π}{n}))

par

X^{2} + 1

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104. $(X + 1)^{m} - X^{m} - 1 divis. par X^{2} + X + 1$

Pour quelles valeurs de

m \in N

le polynôme

P_{m} = (X + 1)^{m} - X^{m} - 1

est-il divisible par

Q = X^{2} + X + 1

105. $(X + 1)^{n} + X^{n} + 1 divisible par X^{2} + X + 1$

On étudie la divisibilité de polynômes de la forme

(X + 1)^{n} + X^{n} + 1

par le polynôme cyclotomique

X^{2} + X + 1

106. $Sous-esp. F = {P ∣ X^{2} + 1 ∣ P}$

On pose

E = R_{4} [X]

. Soit

A = X^{2} + 1

F = {P \in E ∣ A divise P}

Q1-Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

Q2-Déterminer une base de

F

Q3-Montrer que

E = F \oplus R_{1} [X]

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107. $Division euclidienne = projection$

Soit

A \in K [X]

tel que

de g A \geq 1

. On pose

d = de g A

. On note

D

l'application qui à un polynôme

P \in K [X]

associe le reste de la division euclidienne de

P

par

A

Q1-Montrer que

D

est un endomorphisme de

K [X]

Q2-Montrer que

D

est un projecteur de

K [X]

Q3-Montrer que

Im D = K_{d - 1} [X]

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108. $m ∣ n iff X^{m} - 1 ∣ X^{n} - 1$

Soit

(m, n) \in (N^{*})^{2}

. Montrer que

m

divise

n

si et seulement si

X^{m} - 1

divise

X^{n} - 1

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109. $Critère d'Eisenstein$

Soient

p

un nombre premier et

P_{n} = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in Z [X]

avec

n \geq 1

. On suppose que

p ∤ a_{n}, \forall0 \leq k \leq n - 1, p ∣ a_{k} et p^{2} ∤ a_{0} .

Montrer que

P_{n}

est irréductible dans

Q [X]

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110. $Évaluations$

On pose, pour

n \in N^{*}

P_{n} (X) = k = 0 \sum n - 1 X^{2 k}

Q1-Montrer que la décomposition en produit de facteurs irréductibles sur

R

P_{n}

s'écrit

P_{n} (X) = k = 1 \prod n - 1 (X^{2} - 2 cos (\frac{k π}{n}) X + 1) .

Voir le corrigé

1. On remarque que

P_{n} (X) = \frac{X ^{2 n} - 1}{X ^{2} - 1}

pour

X \neq = \pm 1

. Les racines de

X^{2 n} - 1

sont les

e^{ik π / n}

pour

k \in [[0, 2 n - 1]]

. Parmi celles-ci,

1

- 1

(pour

k = 0

k = n

) sont racines de

X^{2} - 1

. Les racines de

P_{n}

sont donc les

e^{ik π / n}

pour

k \in [[1, 2 n - 1]] ∖ {n}

.

Pour

k \in [[1, n - 1]]

, les racines

e^{ik π / n}

e^{- ik π / n} = e^{i (2 n - k) π / n}

sont conjuguees et donnent le facteur irreductible reel :

X^{2} - 2 cos (\frac{k π}{n}) X + 1.

Comme

P_{n}

est unitaire de degre

2 (n - 1)

et que l'on obtient

n - 1

tels facteurs, on a bien :

P_{n} (X) = k = 1 \prod n - 1 (X^{2} - 2 cos (\frac{k π}{n}) X + 1) .

2. On evalue

P_{n}

X = 1

. D'une part,

P_{n} (1) = k = 0 \sum n - 1 1 = n

. D'autre part, par la factorisation :

P_{n} (1) = k = 1 \prod n - 1 (1 - 2 cos (\frac{k π}{n}) + 1) = k = 1 \prod n - 1 2 (1 - cos (\frac{k π}{n})) .

1 - cos θ = 2 sin^{2} (θ /2)

, donc :

P_{n} (1) = k = 1 \prod n - 1 4 sin^{2} (\frac{k π}{2 n}) = 4^{n - 1} k = 1 \prod n - 1 sin^{2} (\frac{k π}{2 n}) .

Ainsi

n = 4^{n - 1} (k = 1 \prod n - 1 sin (\frac{k π}{2 n}))^{2}

. Comme

sin (\frac{k π}{2 n}) > 0

pour

k \in [[1, n - 1]]

, on obtient :

k = 1 \prod n - 1 sin (\frac{k π}{2 n}) = \frac{n}{2 ^{n - 1}} .

3. On evalue

P_{n}

X = - 1

. D'une part,

P_{n} (- 1) = k = 0 \sum n - 1 (- 1)^{2 k} = n

(car

(- 1)^{2 k} = 1

). Mais aussi

P_{n} (- 1) = k = 0 \sum n - 1 1 = n

. D'autre part :

P_{n} (- 1) = k = 1 \prod n - 1 (1 + 2 cos (\frac{k π}{n}) + 1) = k = 1 \prod n - 1 2 (1 + cos (\frac{k π}{n})) .

1 + cos θ = 2 cos^{2} (θ /2)

, donc :

P_{n} (- 1) = 4^{n - 1} k = 1 \prod n - 1 cos^{2} (\frac{k π}{2 n}) .

Ainsi

n = 4^{n - 1} (k = 1 \prod n - 1 cos (\frac{k π}{2 n}))^{2}

.

Par ailleurs, on sait que

cos (\frac{k π}{n}) = - cos (\frac{( n - k ) π}{n})

donc :

k = 1 \prod n - 1 cos (\frac{k π}{n}) = (- 1)^{n - 1} k = 1 \prod n - 1 cos (\frac{k π}{n})

en regroupant les termes

k

n - k

. Si

n

est pair, le terme

k = n /2

donne

cos (π /2) = 0

donc le produit est nul. Si

n

est impair, on regroupe les

(n - 1) /2

paires

(k, n - k)

avec

cos (k π / n) cos ((n - k) π / n) = - cos^{2} (k π / n)

, d'ou :

k = 1 \prod n - 1 cos (\frac{k π}{n}) = (- 1)^{(n - 1) /2} k = 1 \prod (n - 1) /2 cos^{2} (\frac{k π}{n}) .

En utilisant le resultat de la question 2 avec le produit

sin (k π / (2 n)) cos (k π / (2 n)) = \frac{1}{2} sin (k π / n)

et en comparant, on obtient :

k = 1 \prod n - 1 cos (\frac{k π}{n}) = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 ^{n - 1}} .

Plus precisement : si

n

est pair, le produit vaut

0

(a cause du terme

k = n /2

). Si

n

est impair, le produit vaut

\frac{( - 1 ) ^{(n - 1) /2}}{2 ^{n - 1}}

111. $Décomposition dans R [X] (I)$

Décomposer sur

R

les polynômes suivants :

Q1-

A = X^{3} + 1

Q2-

B = X^{4} + 1

Q3-

C = X^{4} + X^{2} + 1

Q4-

D = X^{6} + 1

Q5-

E = X^{8} + 1

Q6-

F = X^{8} + X^{4} + 1

Q7-

G = X^{4} - X^{2} - 12

Q8-

H = X^{6} - 1

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112. $Racines n -ièmes de - 1$

Soit

n \geq 1

. Décomposer

X^{n} + 1

sur

C

puis sur

R

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113. $Factorisation de X^{6} + X^{5} + 3 X^{4} + \dots$

Soit

P

le polynôme suivant,

X^{6} + X^{5} + 3 X^{4} + 2 X^{3} + 3 X^{2} + X + 1.

Q1-Vérifier que

i

est racine multiple de

P

Q2-En déduire la décomposition de

P

sur

R

Voir le corrigé

1. On calcule

P (i) = i^{6} + i^{5} + 3 i^{4} + 2 i^{3} + 3 i^{2} + i + 1 = - 1 + i + 3 - 2 i - 3 + i + 1 = 0

, donc

i

est racine de

P

.

De même

P^{'} (i) = 6 i + 5 - 12 i - 6 + 6 i + 1 = 0

, donc

i

est racine au moins double.

On cherche si

P

se factorise par

(X^{2} + 1)^{2}

. On effectue la division euclidienne :

(X^{4} + 2 X^{2} + 1) (X^{2} + X + 1) = X^{6} + X^{5} + 3 X^{4} + 2 X^{3} + 3 X^{2} + X + 1 = P

. Donc

P = (X^{2} + 1)^{2} (X^{2} + X + 1)

.

2. Comme

P \in R [X]

- i

est aussi racine double de

P

. Le facteur

(X^{2} + 1)^{2}

rend compte des deux racines

\pm i

avec multiplicité

2

. Le polynôme

X^{2} + X + 1

est irréductible sur

R

(discriminant

Δ = - 3 < 0

). La décomposition en facteurs irréductibles dans

R [X]

est donc :

P = (X^{2} + 1)^{2} (X^{2} + X + 1) .

114. $Quelques factorisations$

Factoriser en produits de facteurs irréductibles dans

C [X]

et dans

R [X]

les polynômes :

Q1-

X^{2 n + 1} - 1

Q2-

k = 0 \sum 2 n X^{k}

Q3-

1 + X^{3} + X^{6} + X^{9}

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115. $Poly X^{4} - 9 X^{3} + 30 X^{2} - 44 X + 24$

Soit

P = X^{4} - 9 X^{3} + 30 X^{2} - 44 X + 24

Q1-Vérifier que

2

est une racine multiple de

P

Q2-Déterminer toutes les racines de

P

Q3-Décomposer

P

sur

R

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116. $Une décomposition$

Soit le polynôme

P = X^{8} + 2 X^{6} + 3 X^{4} + 2 X^{2} + 1

Q1-Montrer que

j

est racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.

Q2-Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de

P

Q3-Décomposer

P

en facteurs irréductibles dans

C [X]

et dans

R [X]

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117. $Polynôme dépendant de a \in R$

Soit

a \in R

Q1-Donner sous forme trigonométrique les racines cubiques de

e^{ia}

Q2-Résoudre dans

C

l'équation

(E)

d'inconnue

z

z^{6} - 2 z^{3} cos a + 1 = 0

Q3-Dans cette question, on suppose que

a = \frac{π}{2}

. Représenter graphiquement les solutions de l'équation

(E)

dans le plan complexe (unité : 4 cm). Factoriser ensuite

z^{6} + 1

sous la forme d'un produit de trois trinômes du second degré à coefficients réels.

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118. $Banque CCP (I)$

On considère les polynômes

P = 3 X^{4} - 9 X^{3} + 7 X^{2} - 3 X + 2

Q = X^{4} - 3 X^{3} + 3 X^{2} - 3 X + 2

Q1-Décomposez

P

Q

en facteurs irréductibles sur

R [X]

, puis sur

C [X]

(on pourra calculer les valeurs de

P

Q

1

2

Q2-Déterminer le PPCM et le PGCD des polynômes

P

Q

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119. $Banque CCP (II)$

Soient

θ \in R

n \in N^{*}

. Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans

C [X]

, puis dans

R [X]

le polynôme :

P = X^{2 n} - 2 X^{n} cos (n θ) + 1

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120. $pgcd de X^{n} - 1 et X^{p} - 1$

Soient

n, p \in N^{*}

. Déterminer le pgcd de

X^{n} - 1

X^{p} - 1

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81.Suite récurrente (Pn​) deg n (II)

82.Polynôme Pn​ de f(n)(x)

83.Centrale — F rat. sur Q

84.Centrale — ∑P′′(xk​)/P′(xk​)=0

85.Mines — Élém. simples (Xn−1)

86.Mines — Pn​(X+1)−Pn​(X)=Xn

87.Équations biquadratiques

88.Cubique 2x3−13x2+5x+6

89.Factoriser (x+1)5−x5−1 et (x+1)7

90.Sommes symétriques de x′,x′′ (I)

91.Sommes symétriques de x′,x′′ (II)

92.Équation 3x4−4x3+1=0

93.Racines évidentes de trinômes

94.Minimum d'une somme de carrés

95.Reste de P par (X−a)(X−b) (II)

96.Reste de X100−X4+X−1

97.Calcul d'un quotient

98.Polynôme (X−3)2n+(X−2)n−2

99.Divisiblité C et R

100.Reste de (cosθ+Xsinθ)n

101.Calcul d'un reste

102.Reste par X+1 et X+5, puis par X2+6X+5

103.Posé aux CCP en PC

104.(X+1)m−Xm−1 divis. par X2+X+1

105.(X+1)n+Xn+1 divisible par X2+X+1

106.Sous-esp. F={P∣X2+1∣P}

107.Division euclidienne = projection

108.m∣n iff Xm−1∣Xn−1

109.Critère d'Eisenstein

110.Évaluations

111.Décomposition dans R[X] (I)

112.Racines n-ièmes de −1

113.Factorisation de X6+X5+3X4+…

114.Quelques factorisations

115.Poly X4−9X3+30X2−44X+24

116.Une décomposition

117.Polynôme dépendant de a∈R

118.Banque CCP (I)

119.Banque CCP (II)

120.pgcd de Xn−1 et Xp−1

81. $Suite récurrente (P_{n}) deg n (II)$

82. $Polynôme P_{n} de f^{(n)} (x)$

83. $Centrale — F rat. sur Q$

84. $Centrale — \sum P^{''} (x_{k}) / P^{'} (x_{k}) = 0$

85. $Mines — Élém. simples (X^{n} - 1)$

86. $Mines — P_{n} (X + 1) - P_{n} (X) = X^{n}$

87. $Équations biquadratiques$

88. $Cubique 2 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x + 6$

89. $Factoriser (x + 1)^{5} - x^{5} - 1 et (x + 1)^{7}$

90. $Sommes symétriques de x^{'}, x^{''} (I)$

91. $Sommes symétriques de x^{'}, x^{''} (II)$

92. $Équation 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = 0$

93. $Racines évidentes de trinômes$

94. $Minimum d'une somme de carrés$

95. $Reste de P par (X - a) (X - b) (II)$

96. $Reste de X^{100} - X^{4} + X - 1$

97. $Calcul d'un quotient$

98. $Polynôme (X - 3)^{2 n} + (X - 2)^{n} - 2$

99. $Divisiblité C et R$

100. $Reste de (cos θ + X sin θ)^{n}$

101. $Calcul d'un reste$

102. $Reste par X + 1 et X + 5, puis par X^{2} + 6 X + 5$

103. $Posé aux CCP en PC$

104. $(X + 1)^{m} - X^{m} - 1 divis. par X^{2} + X + 1$

105. $(X + 1)^{n} + X^{n} + 1 divisible par X^{2} + X + 1$

106. $Sous-esp. F = {P ∣ X^{2} + 1 ∣ P}$

107. $Division euclidienne = projection$

108. $m ∣ n iff X^{m} - 1 ∣ X^{n} - 1$

109. $Critère d'Eisenstein$

110. $Évaluations$

111. $Décomposition dans R [X] (I)$

112. $Racines n -ièmes de - 1$

113. $Factorisation de X^{6} + X^{5} + 3 X^{4} + \dots$

114. $Quelques factorisations$

115. $Poly X^{4} - 9 X^{3} + 30 X^{2} - 44 X + 24$

116. $Une décomposition$

117. $Polynôme dépendant de a \in R$

118. $Banque CCP (I)$

119. $Banque CCP (II)$

120. $pgcd de X^{n} - 1 et X^{p} - 1$