Exercices de Polynômes en maths Sup (prépa) (page 4) | The Maths Tailor
Exercices de Polynômes, Sup (prépa) (page 4)
167 exercices de Polynômes pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Introduction, Polynômes à une indéterminée à coefficients dans K, Division euclidienne, Factorisation.
On factorise le polynôme Pn=Xn−1+Xn−2+⋯+X+1 sur C à l'aide des racines de l'unité, puis on calcule des produits de sinus et des produits doubles de différences de racines.
Q1-Soit n∈N∗. Factoriser sur C le polynôme Pn=Xn−1+Xn−2+⋯+X+1.
Soit R=X3+X+1. On montre que R a trois racines complexes distinctes notées a, b, c, on étudie leur symétrie par opposition, et on construit un polynôme de degré 3 dont les racines sont a2, b2, c2.
Q1-Montrer que le polynôme R=X3+X+1 admet trois racines complexes distinctes notées a,b,c.
Q2-Montrer que a,b,c,−a,−b,−c sont six complexes distincts.
Soient n∈N et Δ l'application définie sur R[X] parP⟼P(X+1)−P(X).On pose Γ0=1 et, pour tout entier k≥1,Γk(X)=X(X−1)⋯(X−k+1).On note Δn la restriction de Δ à Rn[X].
Q1-Vérifier que Δn∈L(Rn[X]).
Q2-Montrer que Bn=(Γ0,…,Γn) est une base de Rn[X].
On identifiera les polynômes et leurs fonctions polynomiales associées. Soit P∈C[X] non nul vérifiant la relation(∗)P(X2−1)=P(X−1)P(X+1)
Q1-Soit α∈C. On définit une suite (an)n∈N∈CN par a0=α et an+1=an2+2an pour tout n∈N. Montrer que si α est racine de P, alors an est racine de P pour tout n∈N. On suppose ensuite ∣α∣>1 : montrer que (an) tend vers l'infini, et en déduire que P=0.
Soient P et Q des polynômes de la forme n∈N∑(−1)nanXn avec (an) une suite presque nulle de réels positifs. Montrer que PQ est également de cette forme.
Q2-Déterminer les racines de Qn pour tout n∈N et vérifier qu'elles sont réelles. En déduire la décomposition en facteurs irréductibles de Qn dans R[X]. Montrer ensuite que pour tout r∈N∗, Q2r=(2r+1)k=1∏r(X−cot22r+1kπ).
Q3-Montrer que pour tout x∈]0,2π[, cot2x<x21<sin2x1. En déduire la valeur de r→+∞limk=1∑rk21.
Q2-Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique polynôme Pn tel que ∀x∈[−1,1], Pn(x)=fn(arccosx). On déterminera le degré et la parité de Pn en fonction de n.
Q3-Déterminer les valeurs de Pn(1), Pn(−1), Pn(0), Pn′(0).
Q4-Montrer que ∣Pn(x)∣≤n+1 pour tout x∈[−1,1].
Q5-Établir que les polynômes Pn vérifient la relation de récurrence : Pn+1+Pn−1=2XPn.
Q6-Justifier que fn est de classe C∞ sur [0,π]. En dérivant deux fois l'identité sinθfn(θ)=sin(n+1)θ, déterminer une équation différentielle linéaire homogène que vérifie fn.
Q7-En déduire une équation différentielle linéaire homogène que vérifie Pn.
Q8-On note Pn=k=0∑nakXk. Déduire de la question précédente une relation de récurrence entre ak+2 et ak. Expliciter les ak (on pourra distinguer le cas n pair et le cas n impair).
Q1-Montrer que, pour tout n∈N, il existe un unique Pn tel que Pn(X+1)+Pn(X)=2Xn.
Q2-Trouver une relation entre Pn′ et Pn−1.
Q3-Montrer que (Pk)k∈N est une base de K[X] et décomposer Pn(X+1) sur cette base.
Q3-Quel est le coefficient de Xn dans Pn ? Même question avec Xn−1. En déduire que le degré de Pn est égal à n (respectivement n−1) lorsque n est impair (respectivement pair).
Q4-Montrer que Pn est divisible par X.
Q5-Montrer que z∈C est racine de Pn si et seulement si (1−z1+z)n=1. Résoudre dans C cette équation et en déduire les racines complexes de Pn (on distinguera les cas n pair et n impair).
Q6-Factoriser Pn dans C[X], puis dans R[X] (on distinguera à nouveau les cas n pair et n impair).
Q1-Montrer que, pour tout n∈N, il existe un unique Pn tel que Pn(X+1)+Pn(X)=2Xn.
Q2-Trouver une relation entre Pn′ et Pn−1.
Q3-Montrer que (Pk)k∈N est une base de K[X] et décomposer Pn(X+1) sur cette base.
Q3-Les racines de P sont-elles toutes nécessairement des racines de l'unité ?
Q4-En raisonnant par l'absurde, montrer que la seule racine non nulle possible pour P est 1.
Q5-Déterminer tous les polynômes P∈C[X] tels que P(X2)=P(X+1)P(X).
Q2-Montrer que −1 n'est pas racine de P. Pour tout n∈N, exprimer an+1 en fonction de α et n. En posant rn=∣an+1∣, déterminer la condition nécessaire et suffisante portant sur α pour que la suite (rn) soit bornée.
Q3-Montrer que si P est non constant, alors P admet 0 pour unique racine.
Q4-Déterminer tous les polynômes P∈C[X] vérifiant la relation (∗).
