Exercices de Polynômes en maths Sup (prépa) (page 2)

41. $Interpolation de Lagrange, 3 points$

42. $Racines en cot^{2} β_{k} d'un polynôme binomial$

On développe

sin ((2 n + 1) α)

en puissances de

sin α

cos α

, puis on en déduit les racines d'un certain polynôme sous forme trigonométrique.

Q1-Soit

n \in N

. Exprimer

sin ((2 n + 1) α)

en fonction de

sin α

cos α

Q2-En déduire que les racines du polynôme

P (X) = p = 0 \sum n (- 1)^{p} (2 p + 1 2 n + 1) X^{n - p}

sont de la forme

x_{k} = cot^{2} β_{k}

. Déterminer les

β_{k}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

43. $cos (π /9) irrationnel, via un polynôme de degré 3$

On montre que

a = cos (π /9)

est racine d'un polynôme de degré

3

à coefficients entiers, puis on conclut sur son irrationnalité.

Q1-Montrer que

a = cos (π /9)

est racine d'un polynôme de degré trois à coefficients dans

Z

Q2-Justifier que le nombre

a

est irrationnel.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

44. $Interpolation sur a_{1}, \dots, a_{n}$

Soient

K

un corps et

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in K

deux à deux distincts.

Q1-Calculer

i = 1 \sum n j \neq = i \prod \frac{X - a _{j}}{a _{i} - a _{j}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

45. $(X^{p} - 1) (X^{q} - 1) ∣ (X - 1) (X^{pq} - 1)$

Soient

p

q

deux entiers supérieurs à

2

et premiers entre eux. Montrer

(X^{p} - 1) (X^{q} - 1) ∣ (X - 1) (X^{pq} - 1)

46. $Divisibilités dans K [X] (I)$

Justifier les divisibilités suivantes :

Q1-

\forall n \in N, X^{2} ∣ (X + 1)^{n} - n X - 1

Q2-

\forall n \in N^{*}, (X - 1)^{3} ∣ n X^{n + 2} - (n + 2) X^{n + 1} + (n + 2) X - n

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

47. $1 + X + X^{2} ∣ X^{3 n} + X^{3 p + 1} + X^{3 q + 2}$

Justifier

\forall (n, p, q) \in N^{3}, 1 + X + X^{2} ∣ X^{3 n} + X^{3 p + 1} + X^{3 q + 2}

48. $X^{2} + X + 1 ∣ X^{2 n} + X^{n} + 1$

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

n \in N

pour que

X^{2} + X + 1 ∣ X^{2 n} + X^{n} + 1

49. $Poly (X + 4) P (X) = X P (X + 1)$

Déterminer les

P

R [X]

tels que

(X + 4) P (X) = X P (X + 1)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

50. $Poly à 6 conditions d'Hermite$

Trouver les

P \in C [X]

tels que

P (1) = 1

P (2) = 2

P^{'} (1) = 3

P^{'} (2) = 4

P^{''} (1) = 5

P^{''} (2) = 6

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

51. $Analogue polynomial de Fermat : P^{n} + Q^{n} = R^{n}$

On s'intéresse à l'analogue polynomial du dernier théorème de Fermat (théorème de Mason-Stothers) et à la recherche de solutions pour

P^{n} + Q^{n} = R^{n}

avec

P, Q, R \in C [X]

Q1-Soient

P, Q, R \in C [X]

premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que

P + Q + R = 0

. Soient

p, q, r

le nombre de racines distinctes de

P, Q, R

respectivement. Prouver que le degré de

P

est strictement inférieur à

p + q + r

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

52. $Irréductibilité dans Z [X]$

Soit

P \in Z [X]

a, b

deux entiers relatifs avec

b > 0

b

irrationnel.

Q1-Montrer que

6

est irrationnel.

Q2-Quelle est la forme de

(a + b)^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

53. $Poly P (X^{2}) + P (X) P (X + 1) = 0$

Soit

P \in C [X]

un polynôme non nul tel que

P (X^{2}) + P (X) P (X + 1) = 0

Q1-Montrer que si

a

est racine de

P

alors

a^{2}

l'est aussi.

Q2-En déduire que

a = 0

ou bien

a

est racine de l'unité.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

54. $P (X^{2}) = P (X) P (X + 1), racines 0, 1, - j$

Montrer que si

P \in R [X] ∖ {0}

vérifie

P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)

ses racines sont parmi

0, 1, - j, - j^{2}

. En déduire tous les polynômes solutions.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

55. $Polynômes P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)$

Trouver les

P \in C [X]

vérifiant

P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

56. $Poly P (X^{2}) = P (X - 1) P (X) (non nul)$

On cherche les polynômes

P

non nuls tels que

P (X^{2}) = P (X - 1) P (X)

Q1-Montrer que toute racine d'un tel

P

est de module

1

Q2-Déterminer les polynômes

P

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

57. $Poly réels P (X^{2}) = P (X - 1) P (X)$

Déterminer les polynômes

P

R [X] ∖ {0}

vérifiant

P (X^{2}) = P (X - 1) P (X)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

58. $Factorisations dans C [X]$

Factoriser dans

C [X]

puis dans

R [X]

les polynômes suivants :

Q1-

X^{4} - 1

Q2-

X^{5} - 1

Q3-

(X^{2} - X + 1)^{2} + 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

59. $Factorisation dans R [X]$

Factoriser dans

R [X]

les polynômes suivants :

Q1-

X^{4} + X^{2} + 1

Q2-

X^{4} + X^{2} - 6

Q3-

X^{8} + X^{4} + 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

60. $Factoriser (X + i)^{n} - (X - i)^{n}$

Factoriser le polynôme

(X + i)^{n} - (X - i)^{n}

pour

n \in N^{*}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

61. $Décomposition primaire X^{2 n + 1} - 1$

Former la décomposition primaire dans

R [X]

P = X^{2 n + 1} - 1

(avec

n \in N

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

62. $Factoriser X^{2 n} - 2 cos (na) X^{n} + 1$

Soient

a \in] 0; π [

n \in N^{*}

. Factoriser dans

C [X]

puis dans

R [X]

le polynôme

X^{2 n} - 2 cos (na) X^{n} + 1

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

63. $X^{4} + 12 X - 5, somme de deux racines = 2$

Trouver les racines dans

C

du polynôme

X^{4} + 12 X - 5

sachant qu'il possède deux racines dont la somme est

2

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

64. $X^{3} - 7 X + λ, racine égale au double d'une autre$

Donner une condition nécessaire et suffisante sur

λ \in C

pour que

X^{3} - 7 X + λ

admette une racine qui soit le double d'une autre. Résoudre alors l'équation.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

65. $Somme de deux racines = troisième$

Résoudre

x^{3} - 8 x^{2} + 23 x - 28 = 0

sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

66. $Racines de x^{3} - (2 + 2) x^{2} + \dots$

On considère l'équation

x^{3} - (2 + 2) x^{2} + 2 (2 + 1) x - 22 = 0

de racines

x_{1}, x_{2}

x_{3}

67. $Triplets (x, y, z) symétriques$

Déterminer les triplets

(x, y, z) \in C^{3}

tels que :

Q1-

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 1/ x + 1/ y + 1/ z = 1 x y z = - 4

Q2-

⎩ ⎨ ⎧ x (y + z) = 1 y (z + x) = 1 z (x + y) = 1

Q3-

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 x^{3} + y^{3} + z^{3} = 20

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

68. $1/ x^{2} + 1/ y^{2} + 1/ z^{2} = (1/ x + 1/ y + 1/ z)^{2}$

Soient

x, y, z \in C^{*}

tels que

x + y + z = 0

. Montrer

\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} + \frac{1}{z ^{2}} = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{2}

69. $Polynôme P_{n} = \sum_{k = 0}^{n} X^{k}$

Pour

n \in N^{*}

on pose

P_{n} = k = 0 \sum n X^{k}

Q1-Former la décomposition en facteurs premiers de

P_{n}

dans

C [X]

Q2-En déduire la valeur de

k = 1 \prod n sin \frac{k π}{n + 1}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

70. $Sommes des zéros de P, P^{'}, \dots$

Soit

P \in C [X]

non nul et

n = de g P

. Montrer que les sommes des zéros de

P, P^{'}, \dots, P^{(n - 1)}

sont en progression arithmétique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

71. $α / (β + γ) + \dots via Viète$

Soit

P = X^{3} + a X^{2} + b X + c

un polynôme complexe de racines

α, β, γ

. Calculer

\frac{α}{β + γ} + \frac{β}{γ + α} + \frac{γ}{α + β}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

72. $Système x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0, x^{5} + y^{5} + z^{5}$

Résoudre dans

C^{3}

le système

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0 x^{4} + y^{4} + z^{4} = 0 x^{5} + y^{5} + z^{5} = 0.

73. $Formules de Newton$

On considère le polynôme

P (X) = a_{0} X^{n} + a_{1} X^{n - 1} + \dots + a_{n} \in C [X]

de racines

x_{1}, \dots, x_{n}

comptées avec multiplicité. Pour tout

p \in N

, on pose

S_{p} = x_{1}^{p} + \dots + x_{n}^{p}

. Établir les formules de Newton.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

74. $Sommes a^{k} + b^{k} + c^{k} réelles pour k = 1, 2, 3$

Étant donnés trois complexes

a

b

c

, on étudie les conditions sous lesquelles les sommes de Newton

a + b + c

a^{2} + b^{2} + c^{2}

a^{3} + b^{3} + c^{3}

sont réelles, et on en tire des conclusions sur la nature de

a

b

c

75. $Polynômes de Tchebychev (I)$

(Polynômes de Tchebychev) Soit

n \in N

. On pose

f_{n} : [- 1; 1] \to R

définie par

f_{n} (x) = cos (n arccos x)

Q1-Calculer

f_{0}, f_{1}, f_{2}

f_{3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

76. $Interpolation de Lagrange$

(Polynômes d'interpolation de Lagrange) Soit

(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})

une famille d'éléments de

K

deux à deux distincts. Pour tout

i \in {0, 1, \dots, n}

on pose

L_{i} = \frac{\prod _{0 \leq j \leq n, j \neq = i} ( X - a _{j} )}{\prod _{0 \leq j \leq n, j \neq = i} ( a _{i} - a _{j} )}

Q1-Observer que, pour tout

j \in {0, 1, \dots, n}

, on a

L_{i} (a_{j}) = δ_{i, j}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

77. $Suite (P_{n}) : P_{n + 2} = X P_{n + 1} - P_{n}$

Soit

(P_{n})_{n \geq 0}

la suite de

K [X]

définie par

P_{0} = 0

P_{1} = 1

\forall n \in N, P_{n + 2} = X P_{n + 1} - P_{n}

78. $Polynômes de Laguerre$

(Polynômes de Laguerre) Pour

n \in N

, on définit

L_{n} : R \to R

par

L_{n} (x) = e^{x} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (e^{- x} x^{n})

. Observer que

L_{n}

est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

79. $Polynômes de Tchebychev (II)$

Soit

n \in N

. Montrer qu'il existe un unique polynôme

P \in C [X]

tel que

P (cos θ) = cos n θ

pour tout

θ

réel. On le note

T_{n}

Q1-Lier

T_{n - 1}, T_{n}

T_{n + 1}

Q2-Donner une équation différentielle vérifiée par

T_{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

80. $Couples (P, Q) : P^{2} + (1 - X^{2}) Q^{2} = 1$

Quels sont les couples

(P, Q) \in R [X]^{2}

vérifiant

P^{2} + (1 - X^{2}) Q^{2} = 1

41.Interpolation de Lagrange, 3 points

42.Racines en cot2βk​ d'un polynôme binomial

43.cos(π/9) irrationnel, via un polynôme de degré 3

44.Interpolation sur a1​,…,an​

45.(Xp−1)(Xq−1)∣(X−1)(Xpq−1)

46.Divisibilités dans K[X] (I)

47.1+X+X2∣X3n+X3p+1+X3q+2

48.X2+X+1∣X2n+Xn+1

49.Poly (X+4)P(X)=XP(X+1)

50.Poly à 6 conditions d'Hermite

51.Analogue polynomial de Fermat : Pn+Qn=Rn

52.Irréductibilité dans Z[X]

53.Poly P(X2)+P(X)P(X+1)=0

54.P(X2)=P(X)P(X+1), racines 0,1,−j

55.Polynômes P(X2)=P(X)P(X+1)

56.Poly P(X2)=P(X−1)P(X) (non nul)

57.Poly réels P(X2)=P(X−1)P(X)

58.Factorisations dans C[X]

59.Factorisation dans R[X]

60.Factoriser (X+i)n−(X−i)n

61.Décomposition primaire X2n+1−1

62.Factoriser X2n−2cos(na)Xn+1

63.X4+12X−5, somme de deux racines =2

64.X3−7X+λ, racine égale au double d'une autre

65.Somme de deux racines = troisième

66.Racines de x3−(2+2​)x2+…

67.Triplets (x,y,z) symétriques

68.1/x2+1/y2+1/z2=(1/x+1/y+1/z)2

69.Polynôme Pn​=∑k=0n​Xk

70.Sommes des zéros de P,P′,…

71.α/(β+γ)+… via Viète

72.Système x2+y2+z2=0, x5+y5+z5

73.Formules de Newton

74.Sommes ak+bk+ck réelles pour k=1,2,3

75.Polynômes de Tchebychev (I)

76.Interpolation de Lagrange

77.Suite (Pn​) : Pn+2​=XPn+1​−Pn​

78.Polynômes de Laguerre

79.Polynômes de Tchebychev (II)

80.Couples (P,Q) : P2+(1−X2)Q2=1

41. $Interpolation de Lagrange, 3 points$

42. $Racines en cot^{2} β_{k} d'un polynôme binomial$

43. $cos (π /9) irrationnel, via un polynôme de degré 3$

44. $Interpolation sur a_{1}, \dots, a_{n}$

45. $(X^{p} - 1) (X^{q} - 1) ∣ (X - 1) (X^{pq} - 1)$

46. $Divisibilités dans K [X] (I)$

47. $1 + X + X^{2} ∣ X^{3 n} + X^{3 p + 1} + X^{3 q + 2}$

48. $X^{2} + X + 1 ∣ X^{2 n} + X^{n} + 1$

49. $Poly (X + 4) P (X) = X P (X + 1)$

50. $Poly à 6 conditions d'Hermite$

51. $Analogue polynomial de Fermat : P^{n} + Q^{n} = R^{n}$

52. $Irréductibilité dans Z [X]$

53. $Poly P (X^{2}) + P (X) P (X + 1) = 0$

54. $P (X^{2}) = P (X) P (X + 1), racines 0, 1, - j$

55. $Polynômes P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)$

56. $Poly P (X^{2}) = P (X - 1) P (X) (non nul)$

57. $Poly réels P (X^{2}) = P (X - 1) P (X)$

58. $Factorisations dans C [X]$

59. $Factorisation dans R [X]$

60. $Factoriser (X + i)^{n} - (X - i)^{n}$

61. $Décomposition primaire X^{2 n + 1} - 1$

62. $Factoriser X^{2 n} - 2 cos (na) X^{n} + 1$

63. $X^{4} + 12 X - 5, somme de deux racines = 2$

64. $X^{3} - 7 X + λ, racine égale au double d'une autre$

65. $Somme de deux racines = troisième$

66. $Racines de x^{3} - (2 + 2) x^{2} + \dots$

67. $Triplets (x, y, z) symétriques$

68. $1/ x^{2} + 1/ y^{2} + 1/ z^{2} = (1/ x + 1/ y + 1/ z)^{2}$

69. $Polynôme P_{n} = \sum_{k = 0}^{n} X^{k}$

70. $Sommes des zéros de P, P^{'}, \dots$

71. $α / (β + γ) + \dots via Viète$

72. $Système x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0, x^{5} + y^{5} + z^{5}$

73. $Formules de Newton$

74. $Sommes a^{k} + b^{k} + c^{k} réelles pour k = 1, 2, 3$

75. $Polynômes de Tchebychev (I)$

76. $Interpolation de Lagrange$

77. $Suite (P_{n}) : P_{n + 2} = X P_{n + 1} - P_{n}$

78. $Polynômes de Laguerre$

79. $Polynômes de Tchebychev (II)$

80. $Couples (P, Q) : P^{2} + (1 - X^{2}) Q^{2} = 1$