Exercices de Intégrales à paramètres en maths Spé (prépa) (page 2)

39. $Permutation série-intégrale : \frac{t e ^{- a t}}{1 - e ^{- b t}}$

40. $Limite de \frac{1}{n} \int \frac{e ^{- x / n}}{1 + c o s ^{2} x} d x$

Déterminer la limite quand

n \to + \infty

\frac{1}{n} \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x / n}}{1 + cos ^{2} x} d x .

41. $Nature de la série u_{n} (α)$

Soient

α > 0

n \in N

. On pose

u_{n} (α) = \int_{0}^{π /2} (sin t)^{α} (cos t)^{n} d t

Q1-Nature de la série de terme général

u_{n} (1)

Q2-Plus généralement, nature de la série de terme général

u_{n} (α)

Q3-Calculer

n = 1 \sum + \infty u_{n} (α)

pour

α = 2, 3

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42. $Fonction bêta et série S_{p}$

Pour

(m, n) \in N^{2}

, on étudie

\int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} d x

et la série

S_{p} = n = 1 \sum + \infty \frac{n ^{p}}{( n 2 n )}

Q1-Calculer

\int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} d x

. Montrer l'existence de

S_{p}

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43. $Somme, intégrale et limite en a \to \infty$

n

désigne un entier naturel non nul.

Q1-Justifier que

\int_{0}^{+ \infty} \frac{n ^{2} - x ^{2}}{( n ^{2} + x ^{2} ) ^{2}} d x

est définie.

Q2-Calculer

\int_{0}^{a} \frac{n ^{2} - x ^{2}}{( n ^{2} + x ^{2} ) ^{2}} d x

, en déduire

\int_{0}^{+ \infty}

puis

n = 1 \sum + \infty \int_{0}^{+ \infty}

Q3-Montrer la convergence uniforme sur

[0; a]

et calculer

\int_{0}^{a} n = 1 \sum + \infty \frac{n ^{2} - x ^{2}}{( n ^{2} + x ^{2} ) ^{2}} d x

Q4-Déterminer

a \to + \infty lim n = 1 \sum + \infty \frac{a}{n ^{2} + a ^{2}}

Q5-En déduire la valeur de

\int_{0}^{+ \infty} n = 1 \sum + \infty \frac{n ^{2} - x ^{2}}{( n ^{2} + x ^{2} ) ^{2}} d x

. Comparer avec (b).

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44. $Série \frac{n !}{n ^{n}} et expression intégrale$

On étudie la série de terme général

a_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}

Q1-Démontrer la convergence de la série.

Q2-Comparer

a_{n}

n \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- n t} d t

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45. $Développement asymptotique de I_{n}$

On pose

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t ^{n}} d t

pour tout entier

n > 0

Q1-Trouver la limite

ℓ

(I_{n})

Q2-Donner un équivalent de

(ℓ - I_{n})

Q3-Justifier

\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + y )}{y} d y = k = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k + 1 ) ^{2}}

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46. $DA de I_{n} via une série logarithmique$

Pour

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t ^{n}} d t

Q1-Déterminer la limite

ℓ

quand

n \to + \infty

I_{n}

Q2-Donner un équivalent de

I_{n} - ℓ

Q3-Justifier

\int_{0}^{1} ln (1 + t^{n}) d t = k = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k ( nk + 1 )}

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47. $Série λ^{n} et expression intégrale$

Soit

(s, λ) \in R_{+}^{*} \times C

. On étudie la série de terme général

\frac{λ ^{n}}{s ( s + 1 ) \dots ( s + n )}

pour

n \geq 0

Q1-Nature de la série. Définition de

Δ_{λ}

F_{λ} (s)

Q2-Calculer

s \to s u p Δ_{λ} lim F_{λ} (s)

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48. $Limite d'une série-intégrale bornée$

Soit

(a_{n})_{n \geq 0}

une suite bornée. Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 t} (p = n \sum + \infty a_{p} \frac{t ^{p}}{p !}) d t .

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49. $Intégrale de ζ (x) - 1 et série$

x > 1

, on pose

ζ (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{x}}

. Montrer

\int_{2}^{+ \infty} (ζ (x) - 1) d x = n = 2 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ln n} .

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50. $Convergence et série de u_{n}$

Soit, pour

n \in N

u_{n} = \int_{0}^{π /2} (cos (\frac{π}{2} sin x))^{n} d x .

Q1-Étudier la convergence de la suite

(u_{n})_{n \geq 0}

Q2-Quelle est la nature de la série de terme général

u_{n}

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51. $Nature de la série \int e^{- t} cos^{2 n} t d t$

Donner la nature de la série de terme général

u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} cos^{2 n} t d t .

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52. $Domaine et série de I_{n} (x)$

Soit

n \in N^{*}

. On étudie

I_{n} (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{x} ) ^{n}}

Q1-Ensemble de définition de

I_{n} (x)

Q2-Montrer que si

x > 1

\sum I_{n} (x)

diverge.

Q3-Calculer

I_{n} (2)

pour

n \geq 1

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53. $Comparaison des séries U_{n} et V_{n}$

On étudie

U_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

V_{n} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

Q1-Donner les limites éventuelles en

+ \infty

des suites

(U_{n})

(V_{n})

Q2-Quelles sont les natures des séries

\sum U_{n}

\sum V_{n}

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54. $Intégrale-série d'une fonction en sh$

Pour

n \in N^{*}

, soit

f_{n}

l'application définie par

f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 sh ( x )}{e ^{n x} - 1} α si x \in] 0; + \infty [si x = 0.

Q1-Pour quelle valeur de

α

la fonction

f_{n}

est-elle continue ?

Q2-Montrer que

f_{n}

est bornée.

Q3-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} f_{n} (x) d x

existe pour

n \geq 2

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55. $Récurrence, équivalent et série de I_{n}$

Pour

n \geq 1

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

Q1-Déterminer la limite de la suite

(I_{n})

Q2-Établir que pour tout entier

n \geq 1

I_{n + 1} = \frac{3 n - 1}{3 n} I_{n}

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56. $Reste de série R_{n} comme intégrale$

Pour

k \in N^{*}

n \in N

Q1-Pour

k \in N^{*}

, calculer

I_{k} = \int_{0}^{1} t^{k - 1} ln (t) d t

Q2-Pour

n \in N

, on pose

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k ^{2}}

. Exprimer

R_{n}

à l'aide d'une intégrale.

Q3-Calculer

n = 0 \sum + \infty R_{n}

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57. $Permutation série-intégrale : \frac{1}{1 + t ^{a}}$

Montrer que, pour

a > 0

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{a}} = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{na + 1} .

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58. $Permutation série-intégrale : \frac{x ^{α - 1}}{1 + x}$

Pour tout

α > 0

, établir que

\int_{0}^{1} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + α} .

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59. $Permutation série-intégrale : \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}}$

Établir pour

a, b > 0

des égalités avec des sommes de séries.

Q1-Établir pour

a, b > 0

l'égalité

\int_{0}^{1} \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{a + nb}

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60. $Interversion somme-intégrale : \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2} + t ^{2}}$

Montrer

\int_{0}^{+ \infty} n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2} + t ^{2}} d t = \frac{π}{2} n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} .

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61. $Développement de S_{n} = \int \frac{t ^{p}}{e ^{t} - 1} e^{- n t} d t$

Soit

p \in N^{*}

. Pour tout

n \in N

, on pose

S_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{p}}{e ^{t} - 1} e^{- n t} d t

62. $Fonction f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t$

On étudie la fonction

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t

pour

x > 0

63. $Dérivées successives de F (x) = \int \frac{e ^{- t}}{1 + t x} d t$

On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + t x} d t

Q1-Montrer que

F (x)

est bien définie pour tout

x \geq 0

Q2-Montrer que

F

est de classe

C^{\infty}

sur

[0; + \infty [

Q3-Calculer

F^{(n)} (0)

pour tout

n \in N

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64. $Équation différentielle y^{''} + y = 1/ x$

Soit

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t}}{1 + t ^{2}} d t

.
Montrer que

F

est solution sur

R_{+}^{*}

de limite nulle en

+ \infty

de l'équation différentielle

y^{''} + y = \frac{1}{x}

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65. $Équation différentielle y - y^{'} = \frac{π}{2 x}$

Soit

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t^{2}}}{1 + t ^{2}} d t

66. $Calcul de g (0), changement de variable$

Soit

g (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t x^{2}}}{1 + t ^{3}} d t

Q1-Calculer

g (0)

en réalisant le changement de variable

t = 1/ u

Q2-Étudier les variations de

g

sur son domaine de définition.

Q3-Étudier la limite de

g

+ \infty

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67. $Étude de f (x) = \int \frac{d t}{1 + x ^{3} + t ^{3}}$

Soit

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + x ^{3} + t ^{3}}

Q1-Montrer que

f

est définie sur

R_{+}

Q2-À l'aide du changement de variable

u = 1/ t

, calculer

f (0)

Q3-Montrer que

f

est continue et décroissante.

Q4-Déterminer

+ \infty lim f

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68. $Variations de f (x) = \int_{0}^{π /2} \frac{c o s t}{t + x} d t$

Soit

f : x \mapsto \int_{0}^{π /2} \frac{cos t}{t + x} d t

69. $Fonction eulérienne f (x) = \int sin^{x} (t) d t$

Soit

f

la fonction donnée par

f (x) = \int_{0}^{π /2} sin^{x} (t) d t

Q1-Montrer que

f

est définie et positive sur

] - 1; + \infty [

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

et préciser sa monotonie.

Q3-Former une relation entre

f (x + 2)

f (x)

pour tout

x > - 1

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On pose

u (x, t) = sin^{x} (t) = e^{x l n s i n t}

pour

t \in] 0, π /2]

.

(a) Définition et positivité sur $] - 1, + \infty [$ .

Pour

t \in] 0, π /2]

sin t \in] 0, 1]

donc

u (x, t) > 0

est bien défini pour tout

x \in R

t \mapsto u (x, t)

est continue sur

] 0, π /2]

. Au voisinage de

0^{+}

sin t \sim t

donc

u (x, t) \sim t^{x}

, qui est intégrable en

0

si, et seulement si,

x > - 1

. Par positivité de l'intégrande et comparaison,

f (x)

converge (absolument) si et seulement si

x > - 1

; sur

] - 1, + \infty [

f (x) > 0

comme intégrale d'une fonction continue positive non identiquement nulle.

(b) Classe $C^{1}$ et décroissance.

La dérivée partielle en

x

est

\frac{\partial u}{\partial x} (x, t) = sin^{x} (t) ln (sin t)

, avec

ln (sin t) < 0

sur

] 0, π /2 [

(et

= 0

t = π /2

).

On applique le théorème de dérivation sous le signe intégral. Pour tout

t

x \mapsto u (x, t)

est

C^{1}

; pour tout

x

t \mapsto u (x, t)

est continue. Domination locale sur les segments : soit

[c, d] \subset] - 1, + \infty [

. Au voisinage de

t = 0

∣ sin^{x} (t) ln (sin t) ∣ \leq C t^{c} ∣ ln t ∣

pour

x \in [c, d]

(en majorant

sin^{x} t \leq C^{'} t^{c}

comme en (a) et

∣ ln sin t ∣ \leq C^{''} ∣ ln t ∣

au voisinage de

0

), et

t \mapsto t^{c} ∣ ln t ∣

est intégrable au voisinage de

0

car

c > - 1

(intégrabilité classique de

t^{α} ∣ ln t ∣

pour

α > - 1

). Sur

[ε, π /2]

pour tout

ε > 0

, la fonction est bornée par continuité et compacité. On obtient ainsi une domination locale intégrable, indépendante de

x \in [c, d]

.

Donc

f

est de classe

C^{1}

sur

] - 1, + \infty [

, avec

f^{'} (x) = \int_{0}^{π /2} sin^{x} (t) ln (sin t) d t .

Comme

sin^{x} (t) > 0

ln (sin t) \leq 0

sur

] 0, π /2]

(non identiquement nul),

f^{'} (x) < 0

f

est strictement décroissante sur

] - 1, + \infty [

.

(c) Relation $f (x + 2) = \frac{x + 1}{x + 2} f (x)$ .

Pour

x > - 1

, intégrons par parties :

f (x + 2) = \int_{0}^{π /2} sin^{x + 1} (t) sin (t) d t .

Avec

U = sin^{x + 1} (t)

d V = sin (t) d t

, donc

d U = (x + 1) sin^{x} (t) cos (t) d t

V = - cos t

f (x + 2) = [- sin^{x + 1} (t) cos (t)]_{0}^{π /2} + (x + 1) \int_{0}^{π /2} sin^{x} (t) cos^{2} (t) d t = 0 + (x + 1) \int_{0}^{π /2} sin^{x} (t) (1 - sin^{2} t) d t,

(le crochet est nul car

cos (π /2) = 0

sin (0) = 0

, en supposant

x + 1 > 0

, sinon on justifie par un argument de convergence dominée aux bornes). D'où

f (x + 2) = (x + 1) f (x) - (x + 1) f (x + 2) ⟹ (x + 2) f (x + 2) = (x + 1) f (x),

soit

f (x + 2) = \frac{x + 1}{x + 2} f (x) .

(d) $φ (x) = x f (x) f (x - 1)$ : périodicité et valeur aux entiers.

En décalant la relation de (c) d'un rang (appliquée en

x - 1

) :

f (x + 1) = \frac{x}{x + 1} f (x - 1)

. Ainsi, pour

x > 0

φ (x + 1) = (x + 1) f (x + 1) f (x) = (x + 1) \cdot \frac{x}{x + 1} f (x - 1) \cdot f (x) = x f (x - 1) f (x) = φ (x) .

La suite

(φ (n))_{n \geq 1}

est donc constante, égale à

φ (1) = 1 \cdot f (1) \cdot f (0)

. Or

f (0) = \int_{0}^{π /2} d t = \frac{π}{2}, f (1) = \int_{0}^{π /2} sin t d t = [- cos t]_{0}^{π /2} = 1.

Donc

φ (1) = \frac{π}{2}

, et par récurrence

φ (n) = \frac{π}{2}

pour tout

n \in N^{*}

(ce sont, à un facteur près, les intégrales de Wallis).

(e) Équivalent en $- 1^{+}$ .

Dans la relation (c), on fait tendre

x \to - 1^{+}

f

est continue en

1

(d'après (b),

1 \in] - 1, + \infty [

), donc

f (x + 2) \to f (1) = 1

, et

(x + 2) \to 1

. La relation

(x + 1) f (x) = (x + 2) f (x + 2)

donne alors

(x + 1) f (x) x \to - 1^{+} 1 \cdot 1 = 1, d’o \overset{u}{ˋ} f (x) x \to - 1^{+} \sim \frac{1}{x + 1} .

70. $Égalité \int \frac{a r c t a n ( x / t )}{1 + t ^{2}} d t = \int \frac{l n t}{t ^{2} - 1} d t$

Montrer que, pour tout

x

réel positif,

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x / t )}{1 + t ^{2}} d t = \int_{0}^{x} \frac{ln t}{t ^{2} - 1} d t .

71. $Fonction f (z) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{z}}{1 + t} d t complexe$

Soit

Ω = {z \in C ∣ Re z > - 1}

. Si

z \in Ω

, on pose

f (z) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{z}}{1 + t} d t

72. $Continuité de f (x) = \int \frac{s i n ( x t )}{e ^{t} - 1} d t$

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x t )}{e ^{t} - 1} d t

Q1-Définition de

f

Q2-Continuité et dérivabilité de

f

Q3-Écrire

f (1)

comme somme de série.

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73. $Classe C^{2} de f (x) = \frac{1}{x} \int \frac{1 - e ^{- t x}}{1 + t ^{2}} d t$

On pose, pour

x > 0

f (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - e ^{- t x}}{1 + t ^{2}} d t .

Montrer que

f

est de classe

C^{2}

sur

] 0; + \infty [

et trouver des équivalents simples de

f

0

et en

+ \infty

74. $Étude de f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ( x ^{2} - t ^{2} )}$

Pour

x > 0

, on pose

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2} x ^{2} - t ^{2}} .

75. $Équivalents de f (x) = \int_{x}^{1} \frac{c o s ^{2} t}{t} d t$

On étudie

f (x) = \int_{x}^{1} \frac{cos ^{2} t}{t} d t

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

76. $Intégrale elliptique f (x) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ( 1 - t ) ( 1 - x ^{2} t )}$

On étudie

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ( 1 - t ) ( 1 - x ^{2} t )}

39.Permutation série-intégrale : 1−e−btte−at​

40.Limite de n1​∫1+cos2xe−x/n​dx

41.Nature de la série un​(α)

42.Fonction bêta et série Sp​

43.Somme, intégrale et limite en a→∞

44.Série nnn!​ et expression intégrale

45.Développement asymptotique de In​

46.DA de In​ via une série logarithmique

47.Série λn et expression intégrale

48.Limite d'une série-intégrale bornée

49.Intégrale de ζ(x)−1 et série

50.Convergence et série de un​

51.Nature de la série ∫e−tcos2ntdt

52.Domaine et série de In​(x)

53.Comparaison des séries Un​ et Vn​

54.Intégrale-série d'une fonction en sh

55.Récurrence, équivalent et série de In​

56.Reste de série Rn​ comme intégrale

57.Permutation série-intégrale : 1+ta1​

58.Permutation série-intégrale : 1+xxα−1​

59.Permutation série-intégrale : 1+tbta−1​

60.Interversion somme-intégrale : n2+t2(−1)n−1​

61.Développement de Sn​=∫et−1tp​e−ntdt

62.Fonction f(x)=∫01​1+ttx−1​dt

63.Dérivées successives de F(x)=∫1+txe−t​dt

64.Équation différentielle y′′+y=1/x

65.Équation différentielle y−y′=2x​π​​

66.Calcul de g(0), changement de variable

67.Étude de f(x)=∫1+x3+t3dt​

68.Variations de f(x)=∫0π/2​t+xcost​dt

69.Fonction eulérienne f(x)=∫sinx(t)dt

70.Égalité ∫1+t2arctan(x/t)​dt=∫t2−1lnt​dt

71.Fonction f(z)=∫01​1+ttz​dt complexe

72.Continuité de f(x)=∫et−1sin(xt)​dt

73.Classe C2 de f(x)=x1​∫1+t21−e−tx​dt

74.Étude de f(x)=∫−xx​(1+t2)(x2−t2)​dt​

75.Équivalents de f(x)=∫x1​tcos2t​dt

76.Intégrale elliptique f(x)=∫01​t(1−t)(1−x2t)​dt​

39. $Permutation série-intégrale : \frac{t e ^{- a t}}{1 - e ^{- b t}}$

40. $Limite de \frac{1}{n} \int \frac{e ^{- x / n}}{1 + c o s ^{2} x} d x$

41. $Nature de la série u_{n} (α)$

42. $Fonction bêta et série S_{p}$

43. $Somme, intégrale et limite en a \to \infty$

44. $Série \frac{n !}{n ^{n}} et expression intégrale$

45. $Développement asymptotique de I_{n}$

46. $DA de I_{n} via une série logarithmique$

47. $Série λ^{n} et expression intégrale$

48. $Limite d'une série-intégrale bornée$

49. $Intégrale de ζ (x) - 1 et série$

50. $Convergence et série de u_{n}$

51. $Nature de la série \int e^{- t} cos^{2 n} t d t$

52. $Domaine et série de I_{n} (x)$

53. $Comparaison des séries U_{n} et V_{n}$

54. $Intégrale-série d'une fonction en sh$

55. $Récurrence, équivalent et série de I_{n}$

56. $Reste de série R_{n} comme intégrale$

57. $Permutation série-intégrale : \frac{1}{1 + t ^{a}}$

58. $Permutation série-intégrale : \frac{x ^{α - 1}}{1 + x}$

59. $Permutation série-intégrale : \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}}$

60. $Interversion somme-intégrale : \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2} + t ^{2}}$

61. $Développement de S_{n} = \int \frac{t ^{p}}{e ^{t} - 1} e^{- n t} d t$

62. $Fonction f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t$

63. $Dérivées successives de F (x) = \int \frac{e ^{- t}}{1 + t x} d t$

64. $Équation différentielle y^{''} + y = 1/ x$

65. $Équation différentielle y - y^{'} = \frac{π}{2 x}$

66. $Calcul de g (0), changement de variable$

67. $Étude de f (x) = \int \frac{d t}{1 + x ^{3} + t ^{3}}$

68. $Variations de f (x) = \int_{0}^{π /2} \frac{c o s t}{t + x} d t$

69. $Fonction eulérienne f (x) = \int sin^{x} (t) d t$

70. $Égalité \int \frac{a r c t a n ( x / t )}{1 + t ^{2}} d t = \int \frac{l n t}{t ^{2} - 1} d t$

71. $Fonction f (z) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{z}}{1 + t} d t complexe$

72. $Continuité de f (x) = \int \frac{s i n ( x t )}{e ^{t} - 1} d t$

73. $Classe C^{2} de f (x) = \frac{1}{x} \int \frac{1 - e ^{- t x}}{1 + t ^{2}} d t$

74. $Étude de f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ( x ^{2} - t ^{2} )}$

75. $Équivalents de f (x) = \int_{x}^{1} \frac{c o s ^{2} t}{t} d t$

76. $Intégrale elliptique f (x) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ( 1 - t ) ( 1 - x ^{2} t )}$