Exercices de Intégrales à paramètres en maths Spé (prépa) (page 3)

77. $Fonction bêta f (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} ( 1 + x )}$

78. $Relation entre F (x) et F (1/ x)$

Pour

x > 0

, on pose

F (x) = \int_{0}^{1} \frac{ln t}{t + x} d t

Q1-Montrer que

F

est de classe

C^{1}

sur

] 0; + \infty [

Q2-Calculer

F^{'} (x)

et en déduire l'expression de

G (x) = F (x) + F (1/ x)

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79. $Équation différentielle - y^{'} + y = 1/ x$

Soit

g : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t}}{1 + t} d t

.
Montrer que

g

est solution sur

R_{+}^{*}

de l'équation différentielle

- y^{'} + y = \frac{1}{x}

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80. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{l n t} t^{x} d t$

Étudier

f : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{ln t} t^{x} d t

81. $Calcul de g (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x} - 1}{l n t} d t$

On étudie

g : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{t ^{x} - 1}{ln t} d t

82. $Dérivation sous l'intégrale de F (x)$

Soit

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x t )}{t} e^{- t} d t

Q1-Justifier que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

R

Q2-Calculer

F^{'} (x)

Q3-En déduire une expression simplifiée de

F (x)

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83. $Calcul d'intégrales de type Fresnel$

Pour tout

x

réel, on pose

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{cos ( x t )}{t} e^{- t} d t et g (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x t )}{t} e^{- t} d t .

Existence et calcul de ces deux intégrales.

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84. $Formule de Frullani F (x, y)$

Soit

F (x, y) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t} - e ^{- y t}}{t} d t

avec

x, y > 0

.
Pour

y > 0

, montrer que

x \mapsto F (x, y)

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

et calculer

\frac{\partial F}{\partial x} (x, y)

. En déduire la valeur de

F (x, y)

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85. $Calcul de F (x) = \int \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} cos (x t) d t$

On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} cos (x t) d t

86. $EDO pour intégrale cosinus amorti$

Soit

a, b

deux réels strictement positifs. On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- a t} - e ^{- b t}}{t} cos (x t) d t .

Q1-Justifier l'existence pour tout

x \in R

F (x)

Q2-Justifier que

F

est de classe

C^{1}

sur

R

et calculer

F^{'} (x)

Q3-

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87. $Fonction z complexe, EDO d'ordre 1$

On pose

z : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{(- 1 + i x) t}}{t} d t

et on donne

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π /2

Q1-Justifier et calculer

z (0)

Q2-Montrer que

z

est définie, de classe

C^{1}

sur

R

z^{'} (x) = \frac{- 1}{2 ( x + i )} z (x)

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88. $Gaussienne décalée par translation$

En dérivant la fonction, déterminer l'expression de

g (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} e^{t x} d t

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89. $Cosinus hyperbolique et gaussienne$

On étudie

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cosh (2 x t) d t

Q1-Existence de

F (x)

Q2-Calculer

F (x)

en introduisant une équation différentielle vérifiée par

F

Q3-Calculer

F (x)

directement par une intégration terme à terme.

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90. $Dérivée d'un logarithme paramétré$

Ensemble de définition, dérivée et valeur de

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln ( 1 + x ^{2} t ^{2} )}{1 + t ^{2}} d t

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91. $Intégrale de ln (cos^{2} t + x^{2} sin^{2} t)$

Pour

x > 0

, on pose

F (x) = \int_{0}^{π /2} ln (cos^{2} (t) + x^{2} sin^{2} (t)) d t

Q1-Justifier que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

] 0; + \infty [

Q2-Calculer

F^{'} (x)

et en déduire une expression de

F (x)

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92. $Logarithme sur cosinus, paramètre x$

Existence et calcul de

\int_{0}^{2 π} \frac{ln ( 1 + x cos t )}{cos t} d t

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93. $Dérivabilité et ln (1 + x sin^{2} t)$

Soit

F (x) = \int_{0}^{π /2} ln (1 + x sin^{2} t) d t

sur

[0; + \infty [

Q1-Justifier que

F

est bien définie et continue.

Q2-Étudier la dérivabilité sur

[0; + \infty [

et donner l'expression de sa dérivée.

Q3-Établir que

F (x) = π (ln (1 + 1 + x) - ln 2)

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94. $Équivalent et calcul de ln (x^{2} + t^{2})$

Existence et calcul de

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln ( x ^{2} + t ^{2} )}{1 + t ^{2}} d t

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95. $Logarithme et cosinus, F (0) puis F (x)$

Soit

F (x) = \int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + 2 t cos x + t ^{2} )}{t} d t

Q1-Justifier que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

[0; π /2]

Q2-Calculer

F^{'} (x)

sur

[0; π /2]

Q3-Donner la valeur de

F (0)

puis celle de

F (x)

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96. $Récurrence sur I_{n} (x) par dérivation$

Pour

n \in N^{*}

x > 0

, on pose

I_{n} (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( x ^{2} + t ^{2} ) ^{n}}

Q1-Justifier l'existence de

I_{n} (x)

Q2-Calculer

I_{1} (x)

Q3-Justifier que

I_{n} (x)

est de classe

C^{1}

et exprimer

I_{n}^{'} (x)

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97. $Arctangente sur t (1 + t^{2})$

Soit

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x t )}{t ( 1 + t ^{2} )} d t

Q1-Montrer que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}

Q2-Déterminer l'expression de

F (x)

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98. $Sinus amorti, dérivée logarithmique$

Soit

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t} sin t}{t} d t

Q1-Justifier que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

et calculer

F^{'} (x)

Q2-En déduire une expression simplifiée de

F (x)

pour tout

x > 0

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99. $Continuité uniforme sur un segment$

Soit

f

une application continue de

R \times [a; b]

dans

R

.
Expliquer pourquoi

f

est uniformément continue sur

S \times [a; b]

pour tout segment

S

R

.
En déduire que

F : x \mapsto \int_{a}^{b} f (x, t) d t

est continue sur

R

.
Pour

x \in R

, on pose

g (x) = \int_{0}^{1} e^{x t} d t

. Étudier la continuité de

g

. Retrouver le résultat en calculant

g (x)

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100. $Continuité à bornes variables$

Soient

f : I \times R \to R

u, v : I \to R

continues.
Montrer la continuité de la fonction

x \mapsto \int_{u (x)}^{v (x)} f (x, t) d t

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101. $Prolongement C^{\infty} en 0$

Soit

f : R \to R

de classe

C^{\infty}

vérifiant

f (0) = 0

.
Montrer que la fonction

g : x \mapsto \frac{f ( x )}{x}

se prolonge en une fonction de classe

C^{\infty}

sur

R

et exprimer ses dérivées successives en

0

en fonction de celles de

f

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102. $Formule de Taylor, reste intégral$

Soient

f : I \to R

de classe

C^{\infty}

a \in R

tels que

f (a) = f^{'} (a) = \dots = f^{(α - 1)} (a) = 0

Q1-Montrer que

f (x) = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{α - 1}}{( α - 1 )!} f^{(α)} (t) d t

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103. $Prolongement de sin (x) / x en 0$

Soit

f : R \to R

définie par

f (x) = \frac{sin x}{x}

x \neq = 0

f (0) = 1

.
Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

sur

R

et vérifier

t \in R sup ∣ f^{(n)} (t) ∣ \leq \frac{1}{n + 1}

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104. $Fonction z gaussienne complexe$

On pose

z : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{(- 1 + i x) t^{2}} d t

Q1-Montrer que

z

est définie, de classe

C^{1}

sur

R

et vérifie

z^{'} (x) = \frac{- 1}{2 ( x + i )} z (x)

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105. $Dérivabilité en 0 de φ$

On considère

φ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{i t x}}{1 + t ^{2}} d t

Q1-Montrer la définition et la continuité de

φ

sur

R

Q2-Montrer que

φ

est de classe

C^{1}

sur

R^{*}

φ^{'} (x) = i \int_{0}^{+ \infty} \frac{t e ^{i t x}}{1 + t ^{2}} d t

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106. $Gaussienne cosinus, deux méthodes$

On étudie

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cos (x t) d t

Q1-Donner le domaine de définition de

f

Q2-Calculer

f

en formant une équation différentielle.

Q3-Calculer

f

en exploitant le développement en série entière de cosinus.

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107. $Calcul direct, gaussienne cosinus$

Existence et calcul de

g (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cos (x t) d t

sachant

g (0) = π /2

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108. $Régularité C^{\infty} de Γ$

Démontrer que la fonction

Γ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

est définie et de classe

C^{\infty}

sur

] 0; + \infty [

Voir le corrigé

On pose

u (x, t) = t^{x - 1} e^{- t}

pour

x > 0

t > 0

, et

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} u (x, t) d t

.

Définition sur $] 0, + \infty [$ . Pour

x > 0

fixé,

t \mapsto u (x, t)

est continue sur

] 0, + \infty [

. Au voisinage de

0^{+}

u (x, t) \sim t^{x - 1}

, intégrable ssi

x - 1 > - 1

i.e.

x > 0

. Au voisinage de

+ \infty

t^{x - 1} e^{- t} = o (1/ t^{2})

(croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance), donc intégrable en

+ \infty

pour tout

x

. Ainsi

Γ (x)

est bien définie pour tout

x > 0

.

Classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ .

Pour tout

n \in N

u

admet une dérivée partielle en

x

à l'ordre

n

\frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}} (x, t) = (ln t)^{n} t^{x - 1} e^{- t} .

On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral, à tout ordre

n

:

- pour tout

x > 0

t \mapsto \frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}} (x, t)

est continue sur

] 0, + \infty [

;
- pour tout

t > 0

x \mapsto \frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}} (x, t)

est continue (même

C^{\infty}

) sur

] 0, + \infty [

;
- domination locale sur les segments : soit

[a, b] \subset] 0, + \infty [

avec

0 < a \leq b

. On sépare

] 0, + \infty [

] 0, 1]

[1, + \infty [

.
- Sur

] 0, 1]

: pour

x \in [a, b]

t^{x - 1} \leq t^{a - 1}

(car

t \leq 1

x \mapsto t^{x - 1}

y est décroissante), donc

\frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}} (x, t) \leq ∣ ln t ∣^{n} t^{a - 1} e^{- t} =: φ_{1} (t),

φ_{1}

est intégrable sur

] 0, 1]

car

t^{a - 1} ∣ ln t ∣^{n}

est intégrable au voisinage de

0

dès que

a - 1 > - 1

, c'est-à-dire

a > 0

(intégrabilité classique de

t^{β} ∣ ln t ∣^{n}

pour

β > - 1

).
- Sur

[1, + \infty [

: pour

x \in [a, b]

t^{x - 1} \leq t^{b - 1}

(car

t \geq 1

x \mapsto t^{x - 1}

y est croissante), donc

\frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}} (x, t) \leq (ln t)^{n} t^{b - 1} e^{- t} =: φ_{2} (t),

intégrable sur

[1, + \infty [

par croissances comparées (l'exponentielle

e^{- t}

domine tout produit de puissances et de logarithmes).

La fonction

φ := φ_{1} 1_{] 0, 1]} + φ_{2} 1_{[1, + \infty [}

est intégrable sur

] 0, + \infty [

et domine

\frac{\partial ^{n} u}{\partial x ^{n}}

uniformément pour

x \in [a, b]

, indépendamment de

x

.

Par application (à tout ordre

n

) du théorème de dérivation sous le signe intégral, avec domination locale uniforme sur tout segment

[a, b] \subset] 0, + \infty [

Γ

est de classe

C^{\infty}

sur

] 0, + \infty [

, avec

Γ^{(n)} (x) = \int_{0}^{+ \infty} (ln t)^{n} t^{x - 1} e^{- t} d t .

109. $Convexité de ln Γ par Cauchy-Schwarz$

On étudie la fonction Gamma :

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

Q1-Démontrer que

Γ

est définie et continue sur

] 0; + \infty [

Q2-Démontrer que

Γ

est de classe

C^{2}

sur

] 0; + \infty [

Q3-En exploitant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, établir que

x \mapsto ln Γ (x)

est convexe.

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110. $Constante d'Euler via ln (t) e^{- t}$

L'objectif est de calculer

\int_{0}^{+ \infty} ln (t) e^{- t} d t

Q1-Montrer que pour tout

t \in [0; n]

0 \leq (1 - t / n)^{n - 1} \leq e \cdot e^{- t}

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111. $Formule de Stirling par Γ$

On rappelle

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}

. Pour

x > 0

, on pose

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} t^{x - 1} d t

Q1-Montrer que

Γ

est définie et indéfiniment dérivable sur

] 0; + \infty [

Q2-Calculer

Γ (n + 1)

pour

n \in N

Q3-Transformer

Γ (n + 1)

par le changement de variable

t = n + y n

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112. $Limite produit de Γ (Gauss)$

On étudie

Γ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

Q1-Donner le domaine de définition de

Γ

Q2-Calculer l'intégrale

I_{n} (x) = \int_{0}^{n} t^{x - 1} (1 - t / n)^{n} d t

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113. $Développement en série de Γ sur] 0, 1]$

Établir que pour tout

x > 0

\int_{0}^{1} t^{x - 1} e^{- t} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ! ( x + n )} .

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114. $Calcul de \int e^{- t} / t d t par EDO$

L'objectif est de calculer

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t} d t

.
Pour

x \geq 0

, on pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t}}{t ( 1 + t )} d t

Q1-Justifier que

F

est bien définie.

Q2-Déterminer une équation linéaire d'ordre 1 dont

F

est solution sur

] 0; + \infty [

Q3-Calculer

F (0)

et la limite de

F

+ \infty

Q4-En déduire la valeur de

I

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77.Fonction bêta f(α)=∫0+∞​xα(1+x)dx​

78.Relation entre F(x) et F(1/x)

79.Équation différentielle −y′+y=1/x

80.Étude de f(x)=∫01​lntt−1​txdt

81.Calcul de g(x)=∫01​lnttx−1​dt

82.Dérivation sous l'intégrale de F(x)

83.Calcul d'intégrales de type Fresnel

84.Formule de Frullani F(x,y)

85.Calcul de F(x)=∫te−t−e−2t​cos(xt)dt

86.EDO pour intégrale cosinus amorti

87.Fonction z complexe, EDO d'ordre 1

88.Gaussienne décalée par translation

89.Cosinus hyperbolique et gaussienne

90.Dérivée d'un logarithme paramétré

91.Intégrale de ln(cos2t+x2sin2t)

92.Logarithme sur cosinus, paramètre x

93.Dérivabilité et ln(1+xsin2t)

94.Équivalent et calcul de ln(x2+t2)

95.Logarithme et cosinus, F(0) puis F(x)

96.Récurrence sur In​(x) par dérivation

97.Arctangente sur t(1+t2)

98.Sinus amorti, dérivée logarithmique

99.Continuité uniforme sur un segment

100.Continuité à bornes variables

101.Prolongement C∞ en 0

102.Formule de Taylor, reste intégral

103.Prolongement de sin(x)/x en 0

104.Fonction z gaussienne complexe

105.Dérivabilité en 0 de φ

106.Gaussienne cosinus, deux méthodes

107.Calcul direct, gaussienne cosinus

108.Régularité C∞ de Γ

109.Convexité de lnΓ par Cauchy-Schwarz

110.Constante d'Euler via ln(t)e−t

111.Formule de Stirling par Γ

112.Limite produit de Γ (Gauss)

113.Développement en série de Γ sur ]0,1]

114.Calcul de ∫e−t/t​dt par EDO

77. $Fonction bêta f (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} ( 1 + x )}$

78. $Relation entre F (x) et F (1/ x)$

79. $Équation différentielle - y^{'} + y = 1/ x$

80. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{l n t} t^{x} d t$

81. $Calcul de g (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x} - 1}{l n t} d t$

82. $Dérivation sous l'intégrale de F (x)$

83. $Calcul d'intégrales de type Fresnel$

84. $Formule de Frullani F (x, y)$

85. $Calcul de F (x) = \int \frac{e ^{- t} - e ^{- 2 t}}{t} cos (x t) d t$

86. $EDO pour intégrale cosinus amorti$

87. $Fonction z complexe, EDO d'ordre 1$

88. $Gaussienne décalée par translation$

89. $Cosinus hyperbolique et gaussienne$

90. $Dérivée d'un logarithme paramétré$

91. $Intégrale de ln (cos^{2} t + x^{2} sin^{2} t)$

92. $Logarithme sur cosinus, paramètre x$

93. $Dérivabilité et ln (1 + x sin^{2} t)$

94. $Équivalent et calcul de ln (x^{2} + t^{2})$

95. $Logarithme et cosinus, F (0) puis F (x)$

96. $Récurrence sur I_{n} (x) par dérivation$

97. $Arctangente sur t (1 + t^{2})$

98. $Sinus amorti, dérivée logarithmique$

99. $Continuité uniforme sur un segment$

100. $Continuité à bornes variables$

101. $Prolongement C^{\infty} en 0$

102. $Formule de Taylor, reste intégral$

103. $Prolongement de sin (x) / x en 0$

104. $Fonction z gaussienne complexe$

105. $Dérivabilité en 0 de φ$

106. $Gaussienne cosinus, deux méthodes$

107. $Calcul direct, gaussienne cosinus$

108. $Régularité C^{\infty} de Γ$

109. $Convexité de ln Γ par Cauchy-Schwarz$

110. $Constante d'Euler via ln (t) e^{- t}$

111. $Formule de Stirling par Γ$

112. $Limite produit de Γ (Gauss)$

113. $Développement en série de Γ sur] 0, 1]$

114. $Calcul de \int e^{- t} / t d t par EDO$