Exercices de Intégrales à paramètres en maths Spé (prépa) (page 6)

191. $Dérivation sous \int, log de cosinus$

192. $CCP MP$

On pose

g (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t x}}{t + 1} d t

Q1-Montrer que

g

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q2-Donner une équation différentielle vérifiée par

g

sur

R_{+}^{*}

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193. $Mines Télécom MP 2016$

Soit

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - cos ( x t )}{t ^{2}} e^{- t} d t

Q1-Montrer que

F

est définie sur

R

et paire.

Q2-Montrer que

∣ sin u ∣ \leq ∣ u ∣

pour tout

u \in R

Q3-Montrer que

F

est de classe

C^{2}

sur

R

et déterminer

F^{''}

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194. $Centrale MP 2011$

Soit

f : x \mapsto \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

g : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{e ^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t ^{2}} d t

Q1-Montrer que

f^{2} + g

est constante. Quelle est sa valeur ?

Q2-En déduire la valeur de

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

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195. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

On pose

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t^{2}}}{1 + t ^{2}} d t

.
On rappelle que

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}

Q1-a. Montrer que

f

est définie et continue sur

R_{+}

.
b. Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q2-

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196. $Mines-Ponts MP$

On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - e ^{t x}}{t} e^{- t} d t

. Déterminer le domaine de définition de

F

et expliciter

F (x)

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197. $Intégrale de Poisson$

On pose pour

f (x) = \int_{0}^{π} ln (x^{2} - 2 x cos θ + 1) d θ

Q1-Justifier que

f

est définie sur

D = R ∖ {- 1, 1}

Q2-Montrer que pour tout

x \in D ∖ {0}

f (x) = f (1/ x) + 2 π ln ∣ x ∣

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198. $CCINP (ou CCP) MP 2022$

Q1-Montrer que pour tout

u \in R

∣ arctan (u) ∣ \leq ∣ u ∣

Q2-On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x t )}{t ( 1 + t ^{2} )} d t

Q3-a. Domaine de définition de

F

?
b. Domaine de continuité de

F

?
c. Domaine de dérivabilité de

F

?
d. Déterminer

F^{'}

.
e. En déduire

F

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199. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

On pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} ln (t) e^{- x t} d t

Q1-Déterminer le domaine de définition de

F

Q2-Montrer que

F

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q3-Déterminer une équation différentielle dont

F

est solution sur

R_{+}^{*}

, puis résoudre cette équation différentielle.

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200. $Théorème de Fubini$

Soit

φ : [a, b] \times [c, d] \to R

continue. On souhaite démontrer le théorème de Fubini, à savoir que :

\int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} φ (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} φ (x, y) d x) d y

Q1-Considérons pour cela les applications :

F : t \in [a, b] \mapsto \int_{a}^{t} (\int_{c}^{d} φ (x, y) d y) d x

G : t \in [a, b] \mapsto \int_{c}^{d} (\int_{a}^{t} φ (x, y) d x) d y

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201. $Mines-Ponts MP 2024$

On pose pour

n \in N^{*}

h_{n} : x \in R_{+}^{*} \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( t ^{2} + x ^{4} ) ^{n}}

Q1-Montrer que

h_{n}

est dérivable sur

R_{+}^{*}

et que

\forall x \in R_{+}^{*}, h_{n}^{'} (x) = - 4 n x^{3} h_{n + 1} (x)

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202. $Navale MP 2024$

Q1-Exprimer

g (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t ^{2}} d t

en fonction de

f (x) = \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

Q2-En déduire la valeur de

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t

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203. $Banque Mines-Ponts MP 2014$

On pose

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{x} ( 1 + t )}

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

Q2-Déterminer des équivalents simples de

f

aux bornes de son domaine de définition.

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204. $Équivalents en 0 et + \infty de f$

On pose

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x - 1}}{1 + t} d t

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

Q2-Déterminer un équivalent de

f

+ \infty

Q3-Déterminer un équivalent de

f

0^{+}

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205. $Transformée de Laplace$

Soit

f

continue par morceaux sur

R_{+}^{*}

. On suppose qu'il existe

p \in R

tel que

t \mapsto f (t) e^{- pt}

soit intégrable sur

R_{+}^{*}

et on pose

α = in f {p \in R, t \mapsto f (t) e^{- pt} int \overset{e}{ˊ} grable sur R_{+}} \in R \cup {- \infty}

Pour

p \in R

, on pose

F (p) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- pt} d t

lorsque cela est possible.

Q1-Justifier que

F

est définie sur

] α, + \infty [

Q2-Théorème de la valeur initiale. On suppose que

0^{+} lim f = ℓ \in R

. Montrer que

p \to + \infty lim pF (p) = ℓ .

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206. $Banque Mines-Ponts PC 2023$

Soit

f

une fonction continue et bornée sur

[0, + \infty [

telle que

f (0) \neq = 0

. Pour tout

n

dans

N^{*}

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{f ( t ) e ^{- n t}}{t} d t

.
Trouver un équivalent de

a_{n}

quand

n

tend vers

+ \infty

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207. $Mines-Ponts MP 2017$

À toute fonction

h \in C^{0} (R_{+}, R)

, on associe la fonction

R (h)

définie par

\forall x \in R_{+}, R (h) (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} h (x sin t) d t .

À toute fonction

g \in C^{1} (R_{+}, R)

, on associe la fonction

S (g)

définie par

\forall x \in R_{+}, S (g) (x) = g (0) + x \int_{0}^{\frac{π}{2}} g^{'} (x sin t) d t .

Q1-Montrer que

R

S

sont des applications linéaires à valeurs dans

C^{0} (R_{+}, R)

Q2-On pose

W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} (t) d t

pour

n \in N

. Déterminer une relation entre

W_{n}

W_{n + 2}

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208. $Mines-Ponts MP$

On définit une fonction

f

par

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} sh (x t) d t

Q1-Donner l'ensemble de définition de

f

Q2-Montrer que

f

est développable en série entière au voisinage de

0

et déterminer ce développement en série entière.

Q3-Exprimer

f

à l'aide des fonctions usuelles.

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209. $ENSEA/ENSIIE MP 2015$

Q1-Montrer que

\forall x \in [- 1, 1], \int_{0}^{1} \frac{1 - t}{1 - x t ^{3}} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )} .

Q2-Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )}

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210. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Q1-Montrer que

I = \int_{0}^{1} ln (x) ln (1 - x) d x

est bien définie.

Q2-Donner la décomposition en série entière de

x \mapsto ln (1 - x)

et préciser son rayon de convergence.

Q3-Écrire

I

comme somme d'une série.

Q4-Donner la valeur exacte de

I

sachant que

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

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211. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

Q1-Montrer l'intégrabilité de

f : x \mapsto \frac{( ln x ) ^{2}}{1 + x ^{2}}

sur

] 0, 1]

Q2-Pour

n \in N

, on pose

u_{n} : x \in] 0, 1] \mapsto x^{2 n} (ln x)^{2}

. Montrer l'intégrabilité de

u_{n}

sur

] 0, 1]

et calculer

\int_{0}^{1} u_{n} (x) d x

Q3-Déterminer une expression de

I = \int_{0}^{1} \frac{( ln x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

sous forme de somme.

Q4-Soit

ε > 0

. Proposer une méthode de calcul de

I

ε

près.

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191.Dérivation sous ∫, log de cosinus

192.CCP MP

193.Mines Télécom MP 2016

194.Centrale MP 2011

195.CCINP (ou CCP) MP 2021

196.Mines-Ponts MP

197.Intégrale de Poisson

198.CCINP (ou CCP) MP 2022

199.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023

200.Théorème de Fubini

201.Mines-Ponts MP 2024

202.Navale MP 2024

203.Banque Mines-Ponts MP 2014

204.Équivalents en 0 et +∞ de f

205.Transformée de Laplace

206.Banque Mines-Ponts PC 2023

207.Mines-Ponts MP 2017

208.Mines-Ponts MP

209.ENSEA/ENSIIE MP 2015

210.CCINP (ou CCP) MP 2021

211.CCINP (ou CCP) MP 2019

191. $Dérivation sous \int, log de cosinus$

192. $CCP MP$

193. $Mines Télécom MP 2016$

194. $Centrale MP 2011$

195. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

196. $Mines-Ponts MP$

197. $Intégrale de Poisson$

198. $CCINP (ou CCP) MP 2022$

199. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

200. $Théorème de Fubini$

201. $Mines-Ponts MP 2024$

202. $Navale MP 2024$

203. $Banque Mines-Ponts MP 2014$

204. $Équivalents en 0 et + \infty de f$

205. $Transformée de Laplace$

206. $Banque Mines-Ponts PC 2023$

207. $Mines-Ponts MP 2017$

208. $Mines-Ponts MP$

209. $ENSEA/ENSIIE MP 2015$

210. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

211. $CCINP (ou CCP) MP 2019$