Exercices de Intégrales à paramètres en maths Spé (prépa) (page 4)

115. $Dirichlet par dérivée seconde$

116. $Dirichlet, méthode de la fonction F$

On étudie

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t

via

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t} sin t}{t} d t

pour

x \geq 0

Q1-Justifier la convergence de

I

Q2-Déterminer la limite de

F

+ \infty

Q3-Justifier que

F

est dérivable sur

] 0; + \infty [

et calculer

F^{'}

Q4-En admettant la continuité de

F

0

, déterminer la valeur de

I

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117. $Dirichlet par convergence uniforme$

Pour

x \in R_{+}

t \geq 0

, on pose

f (x, t) = e^{- x t} sinc t

. Pour

n \in N

u_{n} (x) = \int_{nπ}^{(n + 1) π} f (x, t) d t

Q1-Montrer que

u_{n} (x) = (- 1)^{n} \int_{0}^{π} g_{n} (x, u) d u

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118. $Dirichlet, continuité en 0$

Pour

x \in R_{+}

, soit

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} e^{- t x} d t

Q1-Justifier la définition de

f (x)

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q3-Calculer

f (x)

x \in R_{+}^{*}

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119. $Arctangente et \int arctan^{2} t / t^{2}$

Soit

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x t )}{t ( 1 + t ^{2} )} d t

Q1-Montrer que

F

est définie et de classe

C^{1}

sur

R_{+}

Q2-Déterminer l'expression de

F (x)

Q3-Calculer

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ^{2} t}{t ^{2}} d t

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120. $Récurrence sur ln (1 + t) / (1 + t^{2})$

Calcul de

\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + t )}{1 + t ^{2}} d t

Q1-Montrer que pour tout

x > - 1

\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + x t )}{1 + t ^{2}} d t = \frac{ln 2}{2} arctan x + \frac{π}{8} ln (1 + x^{2}) - \int_{0}^{x} \frac{ln ( 1 + t )}{1 + t ^{2}} d t

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121. $Arctangente en tan θ, valeurs notables$

On étudie

F (x) = \int_{0}^{π /2} \frac{arctan ( x tan θ )}{tan θ} d θ

Q1-Déterminer le domaine de définition réel de

F

Q2-Calculer

F (x)

Q3-En déduire les valeurs de

\int_{0}^{π /2} \frac{θ}{tan θ} d θ

et de

\int_{0}^{π /2} ln (sin θ) d θ

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122. $Série entière, intégrale de h = g e^{- t}$

ccp

Montrer que

g : t \mapsto n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n}}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}}

est

C^{\infty}

sur

R

. En déduire que

h : t \mapsto g (t) e^{- t}

est

C^{\infty}

. Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} h (t) d t

existe et la calculer.

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123. $Séries de Riemann via t^{p} / (e^{t} - 1)$

ccp

Soit

p \in N^{*}

. Pour tout

n \in N

, on pose

S_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{p}}{e ^{t} - 1} e^{- n t} d t

Q1-Montrer l'existence de

S_{n}

Q2-Simplifier

T (a, b) = \int_{0}^{+ \infty} t^{a} e^{- b t} d t

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124. $Sinus amorti, variante de dérivée$

ccp

Soit

F : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x t} sin t}{t} d t

Q1-Justifier que

F

est définie et

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

et calculer

F^{'} (x)

Q2-En déduire une expression de

F (x)

pour

x > 0

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125. $Série alternée de I_{n} = \int d x / (1 + x^{3})^{n}$

ccp

On pose

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{n}}

pour

n \in N^{*}

Q1-Justifier l'existence de

I_{n}

Q2-Montrer que

(I_{n})

converge vers

0

Q3-Étudier la convergence de

\sum (- 1)^{n - 1} I_{n}

et calculer sa somme.

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126. $Cosinus amorti, cas a, b généraux$

ccp

Soit

a, b > 0

. On considère

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- a t} - e ^{- b t}}{t} cos (x t) d t

Q1-Justifier l'existence de

F (x)

Q2-Justifier que

F

est

C^{1}

et calculer

F^{'} (x)

Q3-Exprimer

F (x)

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127. $Série alternée pour \int_{0}^{1} x^{x} d x$

ccp

Établir

\int_{0}^{1} x^{x} d x = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{n}}

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128. $Fonction Gamma et formule de Gauss$

ccp

Fonction Gamma et formule de Gauss.

Q1-Donner le domaine de définition de

Γ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

Q2-Calculer

I_{n} (x) = \int_{0}^{n} t^{x - 1} (1 - \frac{t}{n})^{n} d t

Q3-Montrer que

Γ (x) = n \to + \infty lim \frac{n ^{x} n !}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )}

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129. $Limite de \int x^{n} / (1 + x^{n + 2}) d x$

ccp

Étudier la limite de

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n + 2}} d x

quand

n \to + \infty

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130. $Équivalent de n \int ln (1 + x / n) / (x (1 + x^{2}))$

ccp

Montrer que

f_{n} (x) = \frac{ln ( 1 + x / n )}{x ( 1 + x ^{2} )}

est intégrable sur

R_{+}^{*}

. Montrer que

u_{n} = n \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (x) d x

converge vers une limite à préciser.

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131. $Convergence dominée de f (x) / (1 + x^{n})$

ccp

Soit

f

de classe

C^{1}

sur

[a; b]

avec

0 < a < 1 < b

f (1) \neq = 0

. On pose

f_{n} (x) = \frac{f ( x )}{1 + x ^{n}}

Q1-Déterminer la limite simple de

(f_{n})

Q2-Établir

n \to + \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t = \int_{a}^{1} f (t) d t

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132. $Convergence de \int sin (n t) / (n t + t^{2})$

ccp

Vérifier que

u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( n t )}{n t + t ^{2}} d t

est bien définie et étudier sa convergence.

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133. $Logarithme sur t + x, relation en 1/ x$

ccp

Pour

x > 0

, on pose

F (x) = \int_{0}^{1} \frac{ln t}{t + x} d t

Q1-Montrer que

F

est

C^{1}

sur

] 0; + \infty [

Q2-Calculer

F^{'} (x)

et en déduire

G (x) = F (x) + F (1/ x)

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134. $Suite de gaussiennes concentrées$

ccp

Pour

n \in N^{*}

x \in R

, on pose

f_{n} (x) = \frac{n}{π} (1 - \frac{x ^{2}}{2 n ^{4}})^{2 n^{4}}

. Soit

g

continue sur

R

et nulle en dehors d'un segment

[a; b]

. Montrer que

n \to + \infty lim \int_{R} f_{n} (x) g (x) d x = g (0)

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135. $Arctangente sur t (1 + t^{2}), variante$

ccp

Soit

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x t )}{t ( 1 + t ^{2} )} d t

Q1-Montrer que

F

est définie et

C^{1}

sur

R_{+}

Q2-Déterminer

F (x)

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136. $Convergence de \sum I_{n} (x) selon x$

ccp

Soit

n \in N^{*}

. On pose

I_{n} (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{x} ) ^{n}}

Q1-Ensemble de définition de

I_{n} (x)

Q2-Montrer que si

x > 1

\sum I_{n} (x)

diverge.

Q3-Calculer

I_{n} (2)

pour

n \geq 1

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137. $Intégrale de x^{p} (ln x)^{k} en 0$

ccp

Soient

p, k

deux entiers naturels non nuls. On pose

f_{p, k} (x) = x^{p} (ln x)^{k}

Q1-Montrer que

f_{p, k}

est intégrable sur

] 0; 1]

Q2-Exprimer

K_{p, k}

en fonction de

K_{p, k - 1}

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138. $Convergence de \sum U_{n} et \sum V_{n}$

ccp

On pose

U_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

V_{n} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

Q1-Donner les limites de

U_{n}

V_{n}

Q2-Natures des séries

\sum U_{n}

\sum V_{n}

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139. $Série pour \int f_{n}, sinus hyperbolique$

ccp

Pour

n \in N^{*}

, on définit

f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 sinh ( x )}{e ^{n x} - 1} α si x > 0 si x = 0.

Q1-Pour quelle valeur de

α

la fonction

f_{n}

est-elle continue ?

Q2-Montrer que

f_{n}

est bornée.

Q3-Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} f_{n} (x) d x

existe pour

n \geq 2

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140. $Subdivision équirépartie de [a, b]$

centrale

[(a)] Rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable sur un intervalle soit strictement croissante.
[(b)] Soit $f : [a; b] \to R^{+}$ continue dont l'ensemble des zéros est d'intérieur vide et $n \in N^{*}$ . Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_{0}, \dots, x_{n})$ de $[a; b]$ vérifiant : $\forall i \in [[1; n]], \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} f (x) d x = \frac{1}{n} \int_{a}^{b} f (x) d x .$
[(c)] Soit $g : [a; b] \to R^{+}$ continue. Calculer $n \to + \infty lim \frac{1}{n} i = 1 \sum n g (x_{i}) .$

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141. $Moyenne arithmético-géométrique, T (a, b)$

centrale

Soit

a

b

strictement positifs. On définit deux suites

(a_{n})

(b_{n})

par

a_{0} = a, b_{0} = b et \forall n \in N, a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}, b_{n + 1} = a_{n} b_{n} .

[(a)] Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers une même limite, notée $M (a, b)$ .
[(b)] On pose $T (a, b) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d u}{( a ^{2} + u ^{2} ) ( b ^{2} + u ^{2} )} .$ Montrer $T (\frac{a + b}{2}, ab) = T (a, b) .$ On pourra utiliser le changement de variable $u = \frac{1}{2} (t - \frac{ab}{t})$ .
[(c)] Montrer $T (a, b) = \frac{π}{M ( a , b )} .$

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142. $Arctangente en tan θ, calcul complet$

centrale

[(a)] Déterminer le domaine de définition réel de $F (x) = \int_{0}^{π /2} \frac{arctan ( x tan θ )}{tan θ} d θ .$
[(b)] Calculer $F (x)$ .
[(c)] En déduire les valeurs de $\int_{0}^{π /2} \frac{θ}{tan θ} d θ et de \int_{0}^{π /2} ln (sin θ) d θ .$

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143. $Séries de \int (sin t)^{α} (cos t)^{n} d t$

centrale

Soient

α > 0

n \in N

. On pose

u_{n} (α) = \int_{0}^{π /2} (sin t)^{α} (cos t)^{n} d t .

[(a)] Nature de la série de terme général $u_{n} (1)$ .
[(b)] Plus généralement, nature de la série de terme général $u_{n} (α)$ .
[(c)] Calculer $n = 1 \sum + \infty u_{n} (α)$ pour $α = 2, 3$ .

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144. $Gaussienne cosinus, valeur en 0$

centrale

Existence et calcul de

g (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cos (x t) d t

sachant

g (0) = π /2

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145. $Série n! / n^{n} via une intégrale$

centrale

[(a)] Démontrer la convergence de la série de terme général $a_{n} = \frac{n !}{n ^{n}} .$
[(b)] Comparer $a_{n} et n \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- n t} d t .$
[(c)] En déduire : $n = 1 \sum + \infty a_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t e ^{- t}}{( 1 - t e ^{- t} ) ^{2}} d t .$

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146. $Asymptotique de l'intégrale I_{n}$

centrale

On pose

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t ^{n}} d t

pour tout entier

n > 0

[(a)] Trouver la limite $ℓ$ de $(I_{n})$ .
[(b)] Donner un équivalent de $(ℓ - I_{n})$ .
[(c)] Justifier $\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + y )}{y} d y = k = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( k + 1 ) ^{2}} .$
[(d)] Donner un développement asymptotique à trois termes de $(I_{n})$ .

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147. $Fonction φ, équivalent en 0^{+}$

centrale

On considère

φ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{i t x}}{1 + t ^{2}} d t .

[(a)] Montrer la définie et la continuité de $φ$ sur $R$ .
[(b)] Montrer que $φ$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{*}$ et montrer que $φ^{'} (x) = i \int_{0}^{+ \infty} \frac{t e ^{i t x}}{1 + t ^{2}} d t .$
[(c)] Montrer que pour $x > 0$ , $φ^{'} (x) = i \int_{0}^{+ \infty} \frac{u e ^{i u}}{x ^{2} + u ^{2}} d u$ et déterminer un équivalent de $φ^{'} (x)$ quand $x \to 0^{+}$ .
[(d)] La fonction $φ$ est-elle dérivable en $0$ ?

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148. $Symétrie et minimum de f (α)$

centrale

On pose

f (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} ( 1 + x )} .

Étudier l'ensemble de définition de $f$ .
Donner un équivalent de $f$ en $0$ .
Montrer que le graphe de $f$ admet une symétrie par rapport à la droite d'équation $x = 1/2$ .
Montrer que $f$ est continue sur son ensemble de définition.
Calculer la borne inférieure de $f$ .

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149. $Série alternée, t^{a - 1} / (1 + t^{b})$

mines

Q1-Établir pour

a, b > 0

l'égalité

\int_{0}^{1} \frac{t ^{a - 1}}{1 + t ^{b}} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{a + nb}

Q2-Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 n + 1}

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150. $Limite d'un produit télescopique$

mines

Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{n !}{k = 1 \prod n ( k + x )} d x .

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151. $Série pour sin (x t) / (e^{t} - 1)$

mines

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( x t )}{e ^{t} - 1} d t .

(a) Définition de

f

.
(b) Continuité et dérivabilité de

f

.
(c) Écrire

f (1)

comme somme de série.

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152. $Équivalents de f (z) aux bornes$

mines

Soit

Ω = {z \in C ∣ Re z > - 1}

. Si

z \in Ω

, on pose

f (z) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{z}}{1 + t} d t .

Q1-Montrer que

f

est définie et continue sur

Ω

Q2-Donner un équivalent de

f (x)

quand

x

tend vers

- 1

Q3-Donner un équivalent de

f (z)

quand

Re (z) \to + \infty

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115.Dirichlet par dérivée seconde

116.Dirichlet, méthode de la fonction F

117.Dirichlet par convergence uniforme

118.Dirichlet, continuité en 0

119.Arctangente et ∫arctan2t/t2

120.Récurrence sur ln(1+t)/(1+t2)

121.Arctangente en tanθ, valeurs notables

122.Série entière, intégrale de h=ge−t

123.Séries de Riemann via tp/(et−1)

124.Sinus amorti, variante de dérivée

125.Série alternée de In​=∫dx/(1+x3)n

126.Cosinus amorti, cas a,b généraux

127.Série alternée pour ∫01​xxdx

128.Fonction Gamma et formule de Gauss

129.Limite de ∫xn/(1+xn+2)dx

130.Équivalent de n∫ln(1+x/n)/(x(1+x2))

131.Convergence dominée de f(x)/(1+xn)

132.Convergence de ∫sin(nt)/(nt+t2)

133.Logarithme sur t+x, relation en 1/x

134.Suite de gaussiennes concentrées

135.Arctangente sur t(1+t2), variante

136.Convergence de ∑In​(x) selon x

137.Intégrale de xp(lnx)k en 0

138.Convergence de ∑Un​ et ∑Vn​

139.Série pour ∫fn​, sinus hyperbolique

140.Subdivision équirépartie de [a,b]

141.Moyenne arithmético-géométrique, T(a,b)

142.Arctangente en tanθ, calcul complet

143.Séries de ∫(sint)α(cost)ndt

144.Gaussienne cosinus, valeur en 0

145.Série n!/nn via une intégrale

146.Asymptotique de l'intégrale In​

147.Fonction φ, équivalent en 0+

148.Symétrie et minimum de f(α)

149.Série alternée, ta−1/(1+tb)

150.Limite d'un produit télescopique

151.Série pour sin(xt)/(et−1)

152.Équivalents de f(z) aux bornes

115. $Dirichlet par dérivée seconde$

116. $Dirichlet, méthode de la fonction F$

117. $Dirichlet par convergence uniforme$

118. $Dirichlet, continuité en 0$

119. $Arctangente et \int arctan^{2} t / t^{2}$

120. $Récurrence sur ln (1 + t) / (1 + t^{2})$

121. $Arctangente en tan θ, valeurs notables$

122. $Série entière, intégrale de h = g e^{- t}$

123. $Séries de Riemann via t^{p} / (e^{t} - 1)$

124. $Sinus amorti, variante de dérivée$

125. $Série alternée de I_{n} = \int d x / (1 + x^{3})^{n}$

126. $Cosinus amorti, cas a, b généraux$

127. $Série alternée pour \int_{0}^{1} x^{x} d x$

128. $Fonction Gamma et formule de Gauss$

129. $Limite de \int x^{n} / (1 + x^{n + 2}) d x$

130. $Équivalent de n \int ln (1 + x / n) / (x (1 + x^{2}))$

131. $Convergence dominée de f (x) / (1 + x^{n})$

132. $Convergence de \int sin (n t) / (n t + t^{2})$

133. $Logarithme sur t + x, relation en 1/ x$

134. $Suite de gaussiennes concentrées$

135. $Arctangente sur t (1 + t^{2}), variante$

136. $Convergence de \sum I_{n} (x) selon x$

137. $Intégrale de x^{p} (ln x)^{k} en 0$

138. $Convergence de \sum U_{n} et \sum V_{n}$

139. $Série pour \int f_{n}, sinus hyperbolique$

140. $Subdivision équirépartie de [a, b]$

141. $Moyenne arithmético-géométrique, T (a, b)$

142. $Arctangente en tan θ, calcul complet$

143. $Séries de \int (sin t)^{α} (cos t)^{n} d t$

144. $Gaussienne cosinus, valeur en 0$

145. $Série n! / n^{n} via une intégrale$

146. $Asymptotique de l'intégrale I_{n}$

147. $Fonction φ, équivalent en 0^{+}$

148. $Symétrie et minimum de f (α)$

149. $Série alternée, t^{a - 1} / (1 + t^{b})$

150. $Limite d'un produit télescopique$

151. $Série pour sin (x t) / (e^{t} - 1)$

152. $Équivalents de f (z) aux bornes$