Exercices de Intégrales à paramètres en maths Spé (prépa) (page 5)

153. $Logarithme sur cosinus, second cas$

154. $Équivalent et calcul de ln (x^{2} + t^{2}) bis$

mines

Existence et calcul de

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln ( x ^{2} + t ^{2} )}{1 + t ^{2}} d t .

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155. $Série n^{p} / (n 2 n) par intégrale$

mines

Pour

(m, n) \in N^{2}

, on pose

S_{p} = n = 1 \sum + \infty \frac{n ^{p}}{( n 2 n )} .

Q1-Pour

(m, n) \in N^{2}

, calculer

\int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} d x

. Pour

p \in Z

, montrer l'existence de

S_{p}

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156. $Dirichlet, continuité en 0 bis$

mines

Pour

x \in R_{+}

, soit

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} e^{- t x} d t .

Q1-Justifier la définition de

f (x)

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}^{*}

Q3-Calculer

f (x)

x \in R_{+}^{*}

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157. $Série hypergéométrique intégrale$

mines

Soit

(s, λ) \in R_{+}^{*} \times C

. On considère la série de terme général

\frac{λ ^{n}}{s ( s + 1 ) \dots ( s + n )}

pour

n \geq 0

. À

λ

fixé, on note

Δ_{λ}

l'ensemble des

s > 0

tels que la série converge, et on note

F_{λ} (s)

la somme de cette série.

Q1-Quelle est la nature de la série ? Déterminer

Δ_{λ}

Q2-Calculer

s \to s u p Δ_{λ} lim F_{λ} (s)

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158. $Égalité série-intégrale pour t^{- t}$

mines

Montrer

n = 1 \sum + \infty n^{- n} = \int_{0}^{1} t^{- t} d t .

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159. $CCP MP 2018$

Soit

f : R_{+} \to R

continue et

π

-périodique vérifiant

\int_{0}^{π} f (t) d t = 0

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{π} f (t) e^{- t / n} d t v_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- t / n} d t

Q1-Justifier que

u_{n}

v_{n}

sont bien définis pour tout

n \in N^{*}

Q2-Justifier qu'il existe une suite

(a_{n})

, que l'on précisera, telle que

v_{n} = a_{n} u_{n}

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160. $Coefficients de Fourier de ln (sin t)$

Soit

f_{n} : t \mapsto cos (2 n t) ln (sin t)

pour

n \in N^{*}

Q1-Justifier que

f_{n}

est intégrable sur

] 0, \frac{π}{2}]

Q2-On pose

I_{n} = \int_{0}^{π /2} f_{n} (t) d t

J_{n} = 2 n I_{n}

. Justifier que

J_{n} = - \int_{0}^{π /2} \frac{cos t}{sin t} \cdot sin (2 n t) d t

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161. $Mines-Télécom MP 2021$

Pour tout

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{1} (t ln (t))^{n} d t

. Montrer que cette intégrale converge. Donner sa valeur.

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162. $Récurrence sur \int_{0}^{1} ln^{n} (x) d x$

On pose

I_{n} = \int_{0}^{1} ln^{n} (x) d x

pour

n \in N

Q1-Justifier que

I_{n}

converge.

Q2-Déterminer une relation de récurrence suivie par la suite

(I_{n})

Q3-En déduire la valeur de

I_{n}

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163. $Fonction Γ$

On pose

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

Q1-Déterminer le domaine de définition de

Γ

Q2-Montrer que

\forall x \in R_{+}^{*}, Γ (x + 1) = x Γ (x)

Q3-Déterminer

Γ (n)

pour

n \in N^{*}

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164. $Fonction B d'Euler$

On pose

B : (x, y) \mapsto \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t

Q1-Montrer que

B

est définie sur

(R_{+}^{*})^{2}

Q2-Montrer que

\forall (x, y) \in (R_{+}^{*})^{2}, B (x, y) = B (y, x)

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165. $Limite dominée vers la gaussienne$

Montrer que

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} (1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} d t = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t .

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166. $Domaine et limite de \int t ln t / (1 + t^{2})^{x}$

On pose

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t ln t}{( 1 + t ^{2} ) ^{x}} d t .

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

Q2-Calculer

f (2)

Q3-Déterminer la limite de

f (x)

lorsque

x

tend vers

+ \infty

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167. $Majoration menant à la gaussienne$

Soit

n \in N

. Montrer que pour tout

x \in [0, n]

(1 - \frac{x ^{2}}{n})^{n} \leq e^{- x^{2}} .

Q1-En déduire que

n \to + \infty lim \int_{0}^{n} (1 - \frac{x ^{2}}{n})^{n} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x .

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168. $Limite de \int n f (t) e^{- n t} d t$

Soit

f : [0, 1] \to R

continue. Déterminer

n \to + \infty lim \int_{0}^{1} n f (t) e^{- n t} d t .

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169. $CCP MP$

On pose

f_{n} : x \mapsto n cos^{n} (x) sin (x)

pour

n \in N

Q1-Étudier la convergence simple de la suite

(f_{n})

sur

R

Q2-La suite

(f_{n})

converge-t-elle uniformément sur

[0, \frac{π}{2}]

, sur

[a, \frac{π}{2}]

où

a \in] 0, \frac{π}{2}]

Q3-Soit

g

continue sur

[0, \frac{π}{2}]

. Montrer que

n \to + \infty lim \int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{n} (t) g (t) d t = g (0) .

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170. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019$

Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{( 1 + t ^{3} ) ^{n}}

Q1-Pour quelles valeurs de

n

l'intégrale est-elle définie ?

Q2-Calculer la limite de la suite

(u_{n})

Q3-Déterminer la nature de la série

\sum u_{n}

Q4-Montrer que la série

\sum (- 1)^{n} u_{n}

converge et calculer sa somme

S

sous la forme d'une intégrale.

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171. $Mines-Télécom MP 2018$

Convergence et somme de la série

n \in N \sum u_{n}

, où

u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} sin (π x) d x

. On pourra travailler sur les sommes partielles de la série.

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172. $Limite de \int f (t^{n}) d t$

Soit

f

une application continue sur

[0, 1]

. On pose

I_{n} = \int_{0}^{1} f (t^{n}) d t

. Déterminer

n \to + \infty lim I_{n}

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173. $Limite de \int e^{- t^{n}} d t$

Déterminer

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t

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174. $Mines Télécom MP 2022$

On pose

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin ^{2} ( n x )}{sin ^{2} ( x )} d x

Q1-Montrer que

I_{n}

est bien définie.

Q2-Montrer que

I_{n} \sim_{n \to + \infty} n \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{2} u}{u ^{2}} d u

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175. $Limite de y \int x^{y} f (x) d x$

Soit

f

une application continue sur

[0, 1]

. Montrer que

y \to + \infty lim y \int_{0}^{1} x^{y} f (x) d x = f (1) .

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176. $Mines-Ponts MP$

On définit une fonction

f

par

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} sh (x t) d t

Q1-Donner l'ensemble de définition de

f

Q2-Montrer que

f

est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer ce développement en série entière.

Q3-Exprimer

f

à l'aide des fonctions usuelles.

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177. $ENSEA/ENSIIE MP 2015$

Q1-Montrer que

\forall x \in [- 1, 1], \int_{0}^{1} \frac{1 - t}{1 - x t ^{3}} d t = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )} .

Q2-Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )} .

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178. $CCINP (ou CCP) PSI 2019$

Soit

\sum a_{n}

une série complexe absolument convergente.

Q1-Calculer

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x} d x

pour

n \in N

Q2-Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} \frac{x ^{n}}{n !}

Q3-Pour

x

réel, on pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} \frac{x ^{n}}{n !}

. Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} f (x) d x = n = 0 \sum + \infty a_{n} .

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179. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Q1-Montrer que

I = \int_{0}^{1} ln (x) ln (1 - x) d x

est bien définie.

Q2-Donner la décomposition en série entière de

x \mapsto ln (1 - x)

et préciser son rayon de convergence.

Q3-Écrire

I

comme somme d'une série.

Q4-Donner la valeur exacte de

I

sachant que

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

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180. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soit

I = \int_{0}^{1} \frac{ln ( t ) ln ( 1 - t )}{t} d t

Q1-Montrer que

I

converge.

Q2-Montrer que

I = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{3}}

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181. $CCINP (ou CCP) MP 2018$

Pour

n \in N

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 + t} d t

Q1-Donner le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum a_{n} x^{n}

Q2-Rappeler le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions sur un segment.

Q3-En déduire la valeur de

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

pour

∣ x ∣ < R

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182. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

Q1-Montrer l'intégrabilité de

f : x \mapsto \frac{( ln x ) ^{2}}{1 + x ^{2}}

sur

] 0, 1]

Q2-Pour

n \in N

, on pose

u_{n} : x \in] 0, 1] \mapsto x^{2 n} (ln x)^{2}

. Montrer l'intégrabilité de

u_{n}

sur

] 0, 1]

et calculer

\int_{0}^{1} u_{n} (x) d x

Q3-Déterminer une expression de

I = \int_{0}^{1} \frac{( ln x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

sous forme de somme.

Q4-Soit

ε > 0

. Proposer une méthode de calcul de

I

ε

près.

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183. $Mines Télécom MP 2022$

Etablir l'égalité

\int_{0}^{+ \infty} \frac{t d t}{e ^{t} - 1} = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} .

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184. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{e ^{t} - 1} d t = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} + 1} .

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185. $CCINP (ou CCP) MP 2017$

Soit

n \in N

x \geq 0

. On pose :

f_{n} (x) = \frac{e ^{- x}}{( x + 1 ) ^{n}}

J_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (x) d x

Q1-Montrer que

J_{n}

est bien définie et étudier sa limite en

+ \infty

Q2-Calculer

f_{n}^{'} (x)

et en déduire un équivalent de

J_{n}

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186. $CCINP MP 2024$

Q1-Montrer que

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} cos (x) d x

converge.

Q2-Montrer que

I = n = 0 \sum + \infty (- 1)^{n} \frac{n !}{( 2 n )!}

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187. $Équivalents aux bornes de f et g$

On pose

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{x} ( 1 + t )} et g : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{x} ( 1 + t )} .

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

Q2-Montrer que

g

est continue sur

] - \infty, 1 [

Q3-Montrer que

f (x) x \to 0^{+} = \frac{1}{x} + o (1) et f (x) x \to 1^{-} = \frac{1}{1 - x} + o (1) .

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188. $Transformée de Fourier$

Soit

f : R \to C

intégrable sur

R

. On pose

\hat{f} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i x t} f (t) d t .

Q1-Justifier que

\hat{f}

est continue sur

R

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189. $Mines-Ponts MP 2018$

Montrer que pour tout

x \in R_{+}

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan ( x / t )}{1 + t ^{2}} d t = \int_{0}^{x} \frac{ln ( t )}{t ^{2} - 1} d t .

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190. $Mines-Ponts MP 2017$

A toute fonction

h \in C^{0} (R_{+}, R)

, on associe la fonction

R (h)

définie par

\forall x \in R_{+}, R (h) (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} h (x sin t) d t .

Q1-A toute fonction

g \in C^{1} (R_{+}, R)

, on associe fonction

S (g)

définie par

\forall x \in R_{+}, S (g) (x) = g (0) + x \int_{0}^{\frac{π}{2}} g^{'} (x sin t) d t .

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153.Logarithme sur cosinus, second cas

154.Équivalent et calcul de ln(x2+t2) bis

155.Série np/(n2n​) par intégrale

156.Dirichlet, continuité en 0 bis

157.Série hypergéométrique intégrale

158.Égalité série-intégrale pour t−t

159.CCP MP 2018

160.Coefficients de Fourier de ln(sint)

161.Mines-Télécom MP 2021

162.Récurrence sur ∫01​lnn(x)dx

163.Fonction Γ

164.Fonction B d'Euler

165.Limite dominée vers la gaussienne

166.Domaine et limite de ∫tlnt/(1+t2)x

167.Majoration menant à la gaussienne

168.Limite de ∫nf(t)e−ntdt

169.CCP MP

170.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019

171.Mines-Télécom MP 2018

172.Limite de ∫f(tn)dt

173.Limite de ∫e−tndt

174.Mines Télécom MP 2022

175.Limite de y∫xyf(x)dx

176.Mines-Ponts MP

177.ENSEA/ENSIIE MP 2015

178.CCINP (ou CCP) PSI 2019

179.CCINP (ou CCP) MP 2021

180.CCINP (ou CCP) MP 2021

181.CCINP (ou CCP) MP 2018

182.CCINP (ou CCP) MP 2019

183.Mines Télécom MP 2022

184.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022

185.CCINP (ou CCP) MP 2017

186.CCINP MP 2024

187.Équivalents aux bornes de f et g

188.Transformée de Fourier

189.Mines-Ponts MP 2018

190.Mines-Ponts MP 2017

153. $Logarithme sur cosinus, second cas$

154. $Équivalent et calcul de ln (x^{2} + t^{2}) bis$

155. $Série n^{p} / (n 2 n) par intégrale$

156. $Dirichlet, continuité en 0 bis$

157. $Série hypergéométrique intégrale$

158. $Égalité série-intégrale pour t^{- t}$

159. $CCP MP 2018$

160. $Coefficients de Fourier de ln (sin t)$

161. $Mines-Télécom MP 2021$

162. $Récurrence sur \int_{0}^{1} ln^{n} (x) d x$

163. $Fonction Γ$

164. $Fonction B d'Euler$

165. $Limite dominée vers la gaussienne$

166. $Domaine et limite de \int t ln t / (1 + t^{2})^{x}$

167. $Majoration menant à la gaussienne$

168. $Limite de \int n f (t) e^{- n t} d t$

169. $CCP MP$

170. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019$

171. $Mines-Télécom MP 2018$

172. $Limite de \int f (t^{n}) d t$

173. $Limite de \int e^{- t^{n}} d t$

174. $Mines Télécom MP 2022$

175. $Limite de y \int x^{y} f (x) d x$

176. $Mines-Ponts MP$

177. $ENSEA/ENSIIE MP 2015$

178. $CCINP (ou CCP) PSI 2019$

179. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

180. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

181. $CCINP (ou CCP) MP 2018$

182. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

183. $Mines Télécom MP 2022$

184. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2022$

185. $CCINP (ou CCP) MP 2017$

186. $CCINP MP 2024$

187. $Équivalents aux bornes de f et g$

188. $Transformée de Fourier$

189. $Mines-Ponts MP 2018$

190. $Mines-Ponts MP 2017$