Exercices de Réduction algébrique, Spé (prépa)

1. Dans une base adaptée à l'écriture E = V $\oplus$W, la matrice de u est diagonale
par blocs avec des blocs diagonaux figurant les endomorphismes induits par u
sur V et W. En calculant les polynômes caractéristiques par cette
représentation matricielle, la relation χ = χ'χ'' est immédiate.
2. Commençons par un résultat préliminaire : Si P est un polynôme irréductible
unitaire et si P $\alpha$ annule u alors le polynôme caractéristique χ de u s'écrit P $\beta$.
Raisonnons matriciellement. Soit $A\in Mn$(R) $\subset$Mn(C). On suppose que P $\alpha$
annule A. Le polynôme minimal $\pi$ de A divise P $\alpha$, il est donc de la forme P $\gamma$
avec 1 $\le \gamma \le \alpha$. Les valeurs propres complexes de A sont exactement les
racines de $\pi$ donc les racines de P. Les valeurs propres complexes de A sont
aussi les racines de χ. Enfin, le polynôme χ est réel et donc, que le polynôme
P soit de la forme X -$\lambda$ ou de la forme X2 + pX + q avec des racines
conjuguées, on peut écrire χ = P $\beta$.
Revenons au sujet. Le polynôme caractéristique de u étant annulateur et les
polynômes P $\alpha$i
i
étant deux à deux premiers entre eux, on peut appliquer le
lemme de décomposition des noyaux pour écrire
E = $\oplus$
i $\ker (P)$ $\alpha$i
i (u).

On peut introduire les endomorphismes ui induits par u sur les espaces
Ei = $\ker (P)$ $\alpha$i
i (u).
En notant χi le polynôme caractéristique de ui, la question précédente donne
χ =
Y
i
χi.
Sachant P $\alpha$i
i (ui) = 0, l'étude liminaire permet d'écrire χi = P $\beta$i
i . On a donc
simultanémement
χ =
Y
i
P $\alpha$i
i
et χ =
Y
i
P $\beta$i
i .
Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, on a $\alpha$i = $\beta$i. On
peut alors conclure
dim $\ker (P)$ $\alpha$i
i (u) = dim Ei = deg χi = $\alpha$i deg Pi.
3. Supposons $\pi$ ̸= χ. Le polynôme $\pi$ s'écrit
$\pi$ =
Y
i
P $\gamma$i
i
avec $\gamma$i $\le \alpha$i et
X
i
$\gamma$i <
X
i
$\alpha$i.
Par le lemme de décomposition des noyaux
E = $\oplus$
i $\ker (P)$ $\gamma$i
i (u).
Il est alors impossible que dim $\ker (P)$ k
i (u) = k deg Pi pour tout k $\le \alpha$i car alors
dim E =
X
i
$\gamma$i deg Pi <
X
i
$\alpha$i deg Pi = deg χ = dim E.
Inversement, supposons $\pi$ = χ.
Commençons par établir que si P est un polynôme irreductible unitaire
dim $\ker (P)$ $\alpha$(u) = k deg P avec $k\in N$.
Considérons v l'endomorphisme induit par u sur F = $\ker (P)$ $\alpha$(u). On a
P $\alpha$(v) = 0 et le polynôme caractéristique de v est donc de la forme P k avec
$k\in N$. On en déduit dim F = k deg P.
Puisque $\pi$ = χ, on a pout tout i
$\ker (P)$ $\alpha$i-1
i
(u) ̸= $\ker (P)$ $\alpha$i
i
(sinon, on pourrait définir un polynôme annulateur " plus petit " que $\pi$).
Par l'étude classique des noyaux itérés, on sait, pour v endomorphisme,
$\ker (v^k)$ $\subset$Ker vk+1 et $\ker (v^k)$ = $\ker (v^k)$+1 =$⟹\forall \ell \in$N, $\ker (v^k)$+$\ell$= $\ker (v^k)$.
En considérant, v = Pi(u), on obtient la succession
0 < dim Ker Pi(u) < dim $\ker (P)$^2
i (u) < $\cdot \cdot \cdot$ < dim $\ker (P)$ $\alpha$
i (u) = $\alpha$ deg Pi
où chacune des $\alpha$ dimensions est multiple de deg Pi. On peut conclure
$\forall$k $\le \alpha$i, dim $\ker (P)$ k
i (u) = k deg Pi.

Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$.
1. Polynôme caractéristique :
Le polynôme caractéristique de $A$ est donné par ${\chi }_A(X)=\det (X{I}_2-A)$.
On a :$$X{I}_2-A=\left(\begin{array}{cc}X-a& -b\\ -c& X-d\end{array}\right).$$Le déterminant vaut :$${\chi }_A(X)=(X-a)(X-d)-(-b)(-c)=X^2-(a+d)X+(ad-bc).$$On reconnaît la trace $\mathrm{tr}(A)=a+d$ et le déterminant $\det (A)=ad-bc$.
D'où ${\chi }_A(X)=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det (A)$.
2. Polynôme annulateur :
D'après le théorème de Cayley-Hamilton, tout endomorphisme (ou matrice) annule son polynôme caractéristique. Ainsi, $P(X)=X^2-(a+d)X+(ad-bc)$ est un polynôme annulateur de $A$.
On a donc la relation matricielle : $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=0$.
3. Expression de l'inverse :
Supposons que $A$ est inversible, c'est-à-dire que $\det (A)=ad-bc\ne 0$.
L'équation précédente peut se réécrire :
$A\cdot (A-(a+d)I_2)=-(ad-bc)I_2$.
En divisant par $-(ad-bc)$, on obtient :
$A\cdot \left[\frac{-1}{ad-bc}(A-(a+d)I_2)\right]=I_2$.
Par définition de la matrice inverse, on en déduit que :$$A^{-1}=\frac{-1}{ad-bc}(A-(a+d)I_2)=\frac{1}{ad-bc}((a+d)I_2-A).$$On retrouve bien la formule usuelle avec la transposée de la comatrice.