Exercices de Réduction algébrique en maths Spé (prépa) (page 2)

55. $Éléments propres de φ(f) = p\circf\circs$

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F, G deux sous-espaces
vectoriels supplémentaires non triviaux. On note p la projection sur F
parallèlement à G et s la symétrie par rapport à F et parallèlement à G. Enfin on
pose pour f endomorphisme de F

φ

(f) =

p \circ f

\circ

s
ce qui définit un endomorphisme

φ

sur L(E).

Q1-Montrer que

φ

annule un polynôme " simple ". L'endomorphisme

φ

est-il
diagonalisable ?

Q2-Déterminer les éléments propres de

φ

.
On pourra considérer les matrices de p et s dans une base adaptée à la
décomposition E = F

\oplus

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41.

42.Équation de Sylvester AX - XB = M

43.Valeurs propres de M ↦ AM - MB

44.Minimal d'une matrice de Jordan

45.Base cyclique, commutant et minimal

46.Réduction d'une matrice aI + bJ

47.Éléments propres de L(M)=aM+tr(M)I

48.Diagonalisabilité si p² projecteur

49.Diagonalisabilité de M ↦ PM + MP

50.Commutant de u vérifiant u³=u

51.Diagonalisabilité de M↦AM, cas réel

52.Multiplication par A sur Mn(C)

53.Diagonalisabilité de f = αu + βv

54.f, f² et f³ combinaisons de u et v

55.Éléments propres de φ(f) = p∘f∘s

56.Diagonalisabilité de f(M)=M+tr(AM)B

57.Réduction de f(M) = tr(A)M - tr(M)A

58.Projecteurs de (u-aId)(u-bId)=0

59.Trace paire pour f³ = 4f

60.Déterminant 1 pour A³-A²+A=I

61.Trace entière pour A³+I=0

62.Rang pair pour A³+A²+A=0

63.Ordres finis des matrices de Mn(Z)

64.A³=A+I : n multiple de 3

65.u diagonalisable ⇒ P(u) aussi

66.u diagonalisable ssi u² l'est

67.Diagonalisabilité de u via P(u), P'

68.Diagonalisabilité de A, B=A^p

69.Nilpotence et déterminant de A + M

70.Forme réduite avec f² = f³

71.Diagonalisable si rang 2, tr=0

72.Trace nulle et M³-4M²+4M=0

73.A³-4A²+4A=0 avec trace 8

74.A inversible et commute avec B

75.f bijectif si f³+2f²-f-2Id=0

76.E = Ker u ⊕ Im u, racine simple

77.CCP : M inversible, projecteurs

78.CCP : projecteurs de (u-aId)(u-bId)

79.Sous-espaces de R[X] stables par D

80.Nilpotence via Δ(M) = AM - MA

42. $Équation de Sylvester AX - XB = M$

43. $Valeurs propres de M \mapsto AM - MB$

44. $Minimal d'une matrice de Jordan$

45. $Base cyclique, commutant et minimal$

46. $Réduction d'une matrice aI + bJ$

47. $Éléments propres de L(M)=aM+tr(M)I$

48. $Diagonalisabilité si p² projecteur$

49. $Diagonalisabilité de M \mapsto PM + MP$

50. $Commutant de u vérifiant u³=u$

51. $Diagonalisabilité de M\mapstoAM, cas réel$

52. $Multiplication par A sur Mn(C)$

53. $Diagonalisabilité de f = αu + βv$

54. $f, f² et f³ combinaisons de u et v$

55. $Éléments propres de φ(f) = p\circf\circs$

56. $Diagonalisabilité de f(M)=M+tr(AM)B$

57. $Réduction de f(M) = tr(A)M - tr(M)A$

58. $Projecteurs de (u-aId)(u-bId)=0$

59. $Trace paire pour f³ = 4f$

60. $Déterminant 1 pour A³-A²+A=I$

61. $Trace entière pour A³+I=0$

62. $Rang pair pour A³+A²+A=0$

63. $Ordres finis des matrices de Mn(Z)$

64. $A³=A+I : n multiple de 3$

65. $u diagonalisable \Rightarrow P(u) aussi$

66. $u diagonalisable ssi u² l'est$

67. $Diagonalisabilité de u via P(u), P'$

68. $Diagonalisabilité de A, B=A^p$

69. $Nilpotence et déterminant de A + M$

70. $Forme réduite avec f² = f³$

71. $Diagonalisable si rang 2, tr=0$

72. $Trace nulle et M³-4M²+4M=0$

73. $A³-4A²+4A=0 avec trace 8$

74. $A inversible et commute avec B$

75. $f bijectif si f³+2f²-f-2Id=0$

76. $E = Ker u \oplus Im u, racine simple$

77. $CCP : M inversible, projecteurs$

78. $CCP : projecteurs de (u-aId)(u-bId)$

79. $Sous-espaces de R[X] stables par D$

80. $Nilpotence via Δ(M) = AM - MA$