Exercices de Réduction algébrique en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $Idéaux de K[u]$

Soit

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que les idéaux de l'algèbre

K [u]

sont principaux. Sont-ils tous engendrés par un polynôme en

u

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163. $Polynôme minimal de A² et de A$

Soit

A \in M_{n} (C)

. A-t-on

π_{A^{2}} = π_{A} (X^{2})

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164. $Minimal de A_m selon m$

Quel est le polynôme minimal de la matrice

A_{m} = m 0 - m 000 00 m

selon les valeurs de

m

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165. $Minimal réel contre complexe$

Notons

π_{C} \in C [X]

le polynôme minimal de

A

considérée comme matrice de

M_{n} (C)

π_{R} \in R [X]

le polynôme minimal de

A

considérée comme matrice de

M_{n} (R)

. Comparer

π_{C}

π_{R}

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166. $A^n=I_n et trace n impliquent A=I_n$

Soit

A \in M_{n} (C)

telle que

A^{n} = I_{n}

tr (A) = n

. Montrer que

A = I_{n}

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167. $Trace entière en dimension 4$

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 4 tel que

f^{3} + f^{2} + 4 f + 4 Id = 0

. Montrer que la trace de

f

est un entier négatif.

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168. $Diagonalisable via chi_f = P(X-2)$

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension

n

. On suppose que

χ_{f} = P (X - 2)

. Montrer que

f

est diagonalisable. (Probablement une erreur dans ma retranscription, voir correction).

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169. $Diagonalisabilité de AB et de BA$

Soient

A, B \in M_{n} (C)

telles que

A B

soit diagonalisable.

B A

est-elle diagonalisable ? (On pourra supposer

A B

inversible).

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170. $Diagonalisabilité de u et de u²$

Soit

u \in L (E)

.
1. Montrer que si

u

est diagonalisable, alors

u^{2}

est diagonalisable.
2. La réciproque est-elle vraie ?
3. Montrer que si

u^{2}

est diagonalisable et

u

inversible, alors

u

est diagonalisable.

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171. $Minimal de A et de sa transposée$

Montrer que

π_{A} = π_{A^{T}}

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172. $Diagonalisable ssi bloc A nul$

Soit

M = (A 0 A A)

avec

A \in M_{n} (C)

. Montrer que

M

est diagonalisable si et seulement si

A = 0

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173. $Décomposition noyau-image via X^p Q$

Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que son polynôme minimal est de la forme

X^{p} Q

avec

Q (0) \neq = 0

.
1. Montrer que

u

n'est pas bijectif.
2. Montrer que

Im (u^{p}) = Ker Q (u)

.
3. Soit

k \in N

tel que

E = Ker u^{k} \oplus Im u^{k}

. Montrer que

p \leq k

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174. $Endomorphismes de L(E)$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie et

u \in L (E)

. On définit

G_{u}

D_{u}

dans

L (L (E))

par

G_{u} (v) = u \circ v

D_{u} (v) = v \circ u

. Exprimer les propriétés de réduction de

G_{u}

D_{u}

en fonction de celles de

u

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175. $Spectre de u: M -> AM - MB$

Soient

A \in M_{n} (C)

B \in M_{n} (C)

. Soit

ϕ : M \mapsto A M - M B

. Déterminer le spectre de

ϕ

en fonction de ceux de

A

B

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176. $Polynôme liant A et B$

Soient

A, B \in M_{n} (K)

. On suppose que pour tout

X \in M_{n} (K)

A X = 0 ⟹ B X = 0

. Montrer qu'il existe

P \in K [X]

tel que

B = P (A)

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177. $Exponentielle d'une symétrique$

Soit

A \in S_{n} (R)

. Montrer que

exp (A) \in S_{n}^{++} (R)

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178. $Exponentielle d'une matrice 2x2$

Calculer

exp (A)

pour

A = (56 - 2 - 2)

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179. $Exponentielle d'une matrice 3x3$

Calculer

exp (A)

pour

A = 46 - 10 14 - 4 12 - 2

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180. $exp(u) polynomial en u nilpotent$

Soit

u

un endomorphisme nilpotent. Montrer que

exp (u)

est un polynôme en

u

. Calculer

det (exp (u))

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181. $CCP MP$

Pour

p \in N

α \in R ∖ {0, 1}

, on note

S_{p}

l'ensemble des suites réelles

u

vérifiant :

\exists P \in R_{p} [X], \forall n \in N, u_{n + 1} = α u_{n} + P (n)

Q1-Montrer que si

u \in S_{p}

P

est unique. On notera

P_{u}

ce polynôme.

Q2-Montrer que

S_{p}

est un

R

-espace vectoriel.

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182. $Mines P' 1995$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie et

f

un endomorphisme de

E

nilpotent d'indice

n

. On pose

Φ : L (E) \to L (E), g \mapsto f \circ g - g \circ f

Q1-Montrer que

Φ^{p} (g) = k = 0 \sum p (- 1)^{k} (k p) f^{p - k} \circ g \circ f^{k}

. En déduire que

Φ

est nilpotent.

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183. $Centrale MP$

Soient

H_{1}

H_{2}

deux sous-espaces supplémentaires de

L (R^{n})

vérifiant la propriété suivante :

\forall (f, g) \in H_{1} \times H_{2}, f \circ g + g \circ f = 0

Q1-Justifier qu'il existe

(p_{1}, p_{2}) \in H_{1} \times H_{2}

tel que

p_{1} + p_{2} = Id

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184. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soit

(u, v) \in L (E, F)^{2}

avec

E

F

deux

K

-espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que

dim ker (u + v) \leq dim (ker (u) \cap ker (v)) + dim (Im (u) \cap Im (v))

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185. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Résoudre le système

(S) : ⎩ ⎨ ⎧ a^{2} x + a^{3} y + a z = m a^{2} x + y + a z = m x + a y + a^{2} z = m

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186. $CCP 2010$

Soit

f

l'application qui à tout polynôme

P

R [X]

associe le polynôme

\tilde{P}

tel que

\forall x \in R, \tilde{P} (x) = \int_{x}^{x + 1} P (t) d t

Q1-Soit

n \in N

. Montrer que

f

induit un endomorphisme

f_{n}

R_{n} [X]

Q2-Calculer

det (f_{n})

en fonction de

n

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187. $ENS 2010$

On considère l'ensemble des matrices de taille

n \in N^{*}

à coefficients dans

{- 1, 1}

Q1-Combien de coefficients faut-il changer au plus pour rendre une telle matrice inversible ?

Q2-Combien y a-t-il de telles matrices ? Calculer la moyenne des déterminants au carré de ces matrices.

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188. $Centrale MP 2017$

On considère une fonction continue

f

R

dans

R

telle que pour toute matrice carrée d'ordre

n > 0

réelle inversible

A = (a_{i, j})

, la matrice

A^{'} = (f (a_{i, j}))

soit également inversible.

Q1-Montrer que pour tous réels distincts

x

y

, la matrice

(1 x 1 y)

est inversible. En déduire que

f

est injective.

Q2-On suppose

f

surjective. En considérant les matrices

10 x 01 y 11 z

pour

x, y, z

réels avec

z \neq = x + y

, montrer que

f (x + y) = f (x) + f (y)

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189. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Soit

(x, y) \in C^{2}

. On pose

D = 1 x x^{2} x^{3} x^{4} 01 2 x 3 x^{2} 4 x^{3} 1 y y^{2} y^{3} y^{4} 01 2 y 3 y^{2} 4 y^{3} 002 6 y 12 y^{2}

Montrer que

D = 0 ⟺ x = y

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190. $Centrale PSI$

Soient

n

un entier supérieur ou égal à

2

a_{1}, \dots, a_{n}

des complexes et

P = i = 1 \prod n (X - a_{i})

.

Calculer

D (x) = \frac{P ( x )}{x - a _{1}} 1 a_{1} ⋮ a_{1}^{n - 2} \frac{P ( x )}{x - a _{2}} 1 a_{2} ⋮ a_{2}^{n - 2} \dots \dots \dots \dots \frac{P ( x )}{x - a _{n}} 1 a_{n} ⋮ a_{n}^{n - 2}

pour

x \in C

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191. $Sous-groupes denses, approximation$

On étudie la densité de certains sous-groupes additifs de

R

, avec des applications à l'approximation diophantienne et à l'étude d'une suite trigonométrique.

Q1-Montrer que tout sous-groupe additif de

R

qui n'est pas monogène est dense dans

R

Q2-Soit

x \in R ∖ Q

. Montrer qu'il existe une infinité de

(p, q) \in Z \times N^{*}

tels que

x - \frac{p}{q} < \frac{1}{q ^{2}}

Q3-Montrer la divergence de la suite de terme général

u_{n} = \frac{1}{n sin n}

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192. $Somme de nilpotentes en dimension 2$

À quelle condition une matrice de

M_{2} (R)

peut-elle s'écrire comme somme de matrices nilpotentes ?

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193. $A semblable à -A en dimension 3$

Soit

A \in M_{3} (C)

. Montrer que

A

est semblable à

- A

si, et seulement si,

tr (A) = det (A) = 0

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194. $Inversion formelle A=BQ(B)$

Soient

A

B

dans

M_{n} (R)

. On suppose que

A

est nilpotente et qu'il existe

P \in R [X]

tel que

P (0) = 1

B = A P (A)

. Montrer qu'il existe

Q \in R [X]

tel que

Q (0) = 1

A = B Q (B)

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195. $Diagonalisable sous p\circq=q, q\circp=p$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension finie,

p

q

dans

L (E)

tels que

p \circ q = q

q \circ p = p

. Les endomorphismes

p

q

sont-ils diagonalisables ? codiagonalisables ?

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196. $Vecteur propre commun à f et g$

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie non nulle,

(a, b) \in C^{2}

f

g

dans

L (E)

tels que

f \circ g - g \circ f = a f + b g

. Montrer que

f

g

ont un vecteur propre commun.

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197. $Nilpotence de A, B, n+1 valeurs$

Soient

n \in N^{*}

A

B

dans

M_{n} (C)

λ_{1}, \dots, λ_{n}, λ_{n + 1}

deux à deux distincts dans

C

. On suppose, pour

1 \leq i \leq n + 1

, que

A + λ_{i} B

est nilpotente. Montrer que

A

B

sont nilpotentes.

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198. $Caractérisation du déterminant$

Soit

φ

une application de

M_{2} (C)

vers

C

vérifiant :

\forall A, B \in M_{2} (C), φ (A B) = φ (A) φ (B) et φ (λ 0 01) = λ .

Montrer que

φ = det

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199. $Stabilité à supplémentaire stable$

Soit

E

C

-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les

f \in L (E)

tels que tout sous-espace vectoriel de

E

stable par

f

possède un supplémentaire stable.

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200. $Décomposition de Dunford$

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L (E)

.
On note

I_{1} = {P \in C [X] ∣ P (u) = 0}

I_{2} = {P \in C [X] ∣ P (u) est nilpotent}

Q1-Montrer que

I_{1}

I_{2}

sont des idéaux non nuls de

C [X]

. On note

P_{1}

P_{2}

leurs générateurs unitaires respectifs.

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161.

162.Idéaux de K[u]

163.Polynôme minimal de A² et de A

164.Minimal de A_m selon m

165.Minimal réel contre complexe

166.A^n=I_n et trace n impliquent A=I_n

167.Trace entière en dimension 4

168.Diagonalisable via chi_f = P(X-2)

169.Diagonalisabilité de AB et de BA

170.Diagonalisabilité de u et de u²

171.Minimal de A et de sa transposée

172.Diagonalisable ssi bloc A nul

173.Décomposition noyau-image via X^p Q

174.Endomorphismes de L(E)

175.Spectre de u: M -> AM - MB

176.Polynôme liant A et B

177.Exponentielle d'une symétrique

178.Exponentielle d'une matrice 2x2

179.Exponentielle d'une matrice 3x3

180.exp(u) polynomial en u nilpotent

181.CCP MP

182.Mines P' 1995

183.Centrale MP

184.CCINP (ou CCP) MP 2021

185.CCINP (ou CCP) MP 2021

186.CCP 2010

187.ENS 2010

188.Centrale MP 2017

189.Banque Mines-Ponts MP 2021

190.Centrale PSI

191.Sous-groupes denses, approximation

192.Somme de nilpotentes en dimension 2

193.A semblable à -A en dimension 3

194.Inversion formelle A=BQ(B)

195.Diagonalisable sous p∘q=q, q∘p=p

196.Vecteur propre commun à f et g

197.Nilpotence de A, B, n+1 valeurs

198.Caractérisation du déterminant

199.Stabilité à supplémentaire stable

200.Décomposition de Dunford

162. $Idéaux de K[u]$

163. $Polynôme minimal de A² et de A$

164. $Minimal de A_m selon m$

165. $Minimal réel contre complexe$

166. $A^n=I_n et trace n impliquent A=I_n$

167. $Trace entière en dimension 4$

168. $Diagonalisable via chi_f = P(X-2)$

169. $Diagonalisabilité de AB et de BA$

170. $Diagonalisabilité de u et de u²$

171. $Minimal de A et de sa transposée$

172. $Diagonalisable ssi bloc A nul$

173. $Décomposition noyau-image via X^p Q$

174. $Endomorphismes de L(E)$

175. $Spectre de u: M -> AM - MB$

176. $Polynôme liant A et B$

177. $Exponentielle d'une symétrique$

178. $Exponentielle d'une matrice 2x2$

179. $Exponentielle d'une matrice 3x3$

180. $exp(u) polynomial en u nilpotent$

181. $CCP MP$

182. $Mines P' 1995$

183. $Centrale MP$

184. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

185. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

186. $CCP 2010$

187. $ENS 2010$

188. $Centrale MP 2017$

189. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

190. $Centrale PSI$

191. $Sous-groupes denses, approximation$

192. $Somme de nilpotentes en dimension 2$

193. $A semblable à -A en dimension 3$

194. $Inversion formelle A=BQ(B)$

195. $Diagonalisable sous p\circq=q, q\circp=p$

196. $Vecteur propre commun à f et g$

197. $Nilpotence de A, B, n+1 valeurs$

198. $Caractérisation du déterminant$

199. $Stabilité à supplémentaire stable$

200. $Décomposition de Dunford$