Exercices de Réduction algébrique en maths Spé (prépa) (page 6)

202. $Valeurs propres, matrice compagnon$

Déterminer les valeurs propres de la matrice

0 ⋮ 01 \dots \dots \dots 0 ⋮ 01 1011 \in M_{n} (R) .

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203. $Réduction matrice antidiagonale$

Soit

M_{n} = a b ⋱ b 0 \in M_{n} (C) .

À quelle condition la matrice

M_{n}

est-elle diagonalisable ? Déterminer alors une base de vecteurs propres.

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204. $Racines de l'unité et récurrences$

On détermine pour quels entiers

k

une équation trigonométrique complexe admet une solution, avant d'exploiter ce résultat pour l'étude de suites récurrentes périodiques.

Q1-Déterminer les entiers

k

pour lesquels l'équation

e^{i θ} + e^{ik θ} = 1

admet au moins une solution

θ \in R

Q2-Soit

S_{k}

l'ensemble des suites réelles

u

telles que

\forall n \in N, u_{n + k} = u_{n} + u_{n + k - 1}

. À quelle condition sur

k

S_{k}

contient-il une suite périodique non nulle ?

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205. $Rayon spectral via tr(A^m)\to0$

Soit

A \in M_{n} (C)

telle que

tr (A^{m}) \to 0

quand

m \to + \infty

. Montrer que les valeurs propres de

A

sont de module

< 1

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206. $f multiplicative et inversibilité$

Soit

f : M_{n} (C) \to C

non constante telle que :

\forall (A, B) \in M_{n} (C)^{2}, f (A B) = f (A) f (B) .

Pour

A \in M_{n} (C)

, prouver l'équivalence :

A

inversible

⟺

f (A) \neq = 0

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207. $Produit nul, nilpotentes commutent$

Soient

K

un corps et

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

des matrices de

M_{n} (K)

nilpotentes commutant deux à deux. Montrer

A_{1} A_{2} \dots A_{n} = O_{n}

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208. $Décomposition sous A^(k+1)=A^k$

Soit

A \in M_{n} (R)

Q1-On suppose

A^{3} = A^{2}

. Montrer que

A^{2}

est diagonalisable et que

A^{2} - A

est nilpotente.

Q2-Plus généralement on suppose

A^{k + 1} = A^{k}

pour un certain entier

k > 0

. Établir l'existence d'un entier

p > 0

tel que

A^{p}

est diagonalisable et

A^{p} - A

nilpotente.

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209. $Ordres bornés des matrices entières$

On fixe

n \in N^{*}

et on note

E_{n} = {A \in M_{n} (Z) ∣ \exists m \in N^{*}, A^{m} = I_{n}}

. Pour

A \in E_{n}

, on pose

ω (A) = min {m \in N^{*} ∣ A^{m} = I_{n}}

. Montrer que

ω (E_{n})

est fini.

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210. $Évaluation en 0, produit scalaire$

On définit sur

R [X]

le produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t

. Existe-t-il

A \in R [X]

tel que

\forall P \in R [X], P (0) = ⟨ A, P ⟩

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211. $Étude des polynômes de Legendre$

On définit

Q_{n} (X) = \frac{1}{2 ^{n} n !} (X^{2} - 1)^{n (n)}

Q1-Soit

n \geq 1

. Montrer que

Q_{n}

possède

n

racines simples dans

] - 1; 1 [

Q2-Montrer que

Q_{n} = X^{n} + (X^{2} - 1) R_{n} (X)

avec

R_{n} \in R [X]

. En déduire

Q_{n} (1)

Q_{n} (- 1)

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212. $Réflexions et groupe orthogonal$

Soit

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

un espace euclidien. Pour

φ \in O (E)

, on note

M (φ) = Im (φ - Id_{E})

F (φ) = ker (φ - Id_{E})

. Si

u \in E ∖ {0}

s_{u}

désigne la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan

u^{⊥}

Q1-Soit

φ \in O (E)

. Montrer que

M (φ) \oplus^{⊥} F (φ) = E

Q2-Si

(u_{1}, \dots, u_{k})

est libre, montrer :

M (s_{u_{1}} \circ \dots \circ s_{u_{k}}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k})

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213. $Réduction orthogonale rectangulaire$

Soient

m, n \in N^{*}

M \in M_{m, n} (R)

. Établir l'existence de

U \in O_{m} (R)

V \in O_{n} (R)

telle que la matrice

N = U M V

vérifie :

\forall (i, j) \in {1, \dots, m} \times {1, \dots, n}, i \neq = j ⟹ N_{i, j} = 0

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Exercices de Réduction algébrique, Spé (prépa) (page 6)

201.

202. $Valeurs propres, matrice compagnon$

203. $Réduction matrice antidiagonale$

204. $Racines de l'unité et récurrences$

205. $Rayon spectral via tr(A^m)\to0$

206. $f multiplicative et inversibilité$

207. $Produit nul, nilpotentes commutent$

208. $Décomposition sous A^(k+1)=A^k$

209. $Ordres bornés des matrices entières$

210. $Évaluation en 0, produit scalaire$

211. $Étude des polynômes de Legendre$

212. $Réflexions et groupe orthogonal$

213. $Réduction orthogonale rectangulaire$

201.

202.Valeurs propres, matrice compagnon

203.Réduction matrice antidiagonale

204.Racines de l'unité et récurrences

205.Rayon spectral via tr(A^m)→0

206.f multiplicative et inversibilité

207.Produit nul, nilpotentes commutent

208.Décomposition sous A^(k+1)=A^k

209.Ordres bornés des matrices entières

210.Évaluation en 0, produit scalaire

211.Étude des polynômes de Legendre

212.Réflexions et groupe orthogonal

213.Réduction orthogonale rectangulaire

202. $Valeurs propres, matrice compagnon$

203. $Réduction matrice antidiagonale$

204. $Racines de l'unité et récurrences$

205. $Rayon spectral via tr(A^m)\to0$

206. $f multiplicative et inversibilité$

207. $Produit nul, nilpotentes commutent$

208. $Décomposition sous A^(k+1)=A^k$

209. $Ordres bornés des matrices entières$

210. $Évaluation en 0, produit scalaire$

211. $Étude des polynômes de Legendre$

212. $Réflexions et groupe orthogonal$

213. $Réduction orthogonale rectangulaire$