Exercices de Réduction algébrique en maths Spé (prépa) (page 3)

82. $Matrices A + tCom(A) = αIn$

centrale

Soit

A \in M_{n} (C)

. On dit que

A

vérifie la propriété

(P)

s'il existe

α \in C

tel que

A +^{t} Com (A) = α I_{n} .

Q1-Traiter le cas

n = 2

Q2-Rappeler le lien entre comatrice et inverse pour

A \in G L_{n} (C)

Q3-Montrer

Com (A B) = Com (B) Com (A)

pour

A, B \in G L_{n} (C)

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83. $Multiplicativité de χ par blocs$

centrale

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n

u

un endomorphisme de

E

. On note

χ

le polynôme caractéristique de

u

Q1-Si

E = V \oplus W

avec

V

W

stables par

u

, montrer que

χ = χ^{'} χ^{''}

où

χ^{'}

χ^{''}

sont les polynômes caractéristiques des restrictions.

Q2-Si

χ = i \prod P_{i}^{α_{i}}

est la décomposition en facteurs irréductibles, montrer que

dim ker P_{i}^{α_{i}} (u) = α_{i} de g P_{i}

Q3-Montrer que le polynôme minimal de

u

est

χ

si et seulement si

\forall i, \forall k \leq α_{i}, dim ker P_{i}^{k} (u) = k de g P_{i}

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84. $Diagonalisabilité de la matrice J$

centrale

Soit

J

la matrice de

M_{n} (K)

dont tous les coefficients valent

1

. Montrer que

J

est diagonalisable.

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85. $Vecteur propre commun, uv-vu=au+bv$

centrale

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie,

u, v \in L (E)

a, b \in C

tels que

u \circ v - v \circ u = a u + b v

Q1-Cas

a = b = 0

: montrer qu'il existe un vecteur propre commun à

u

v

Q2-Cas

a \neq = 0

b = 0

: montrer que

u

est non inversible, puis nilpotent, puis qu'il existe un vecteur propre commun.

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86. $Similitude d'une matrice par blocs$

centrale

Soient

A, B, C \in M_{n} (K)

Q1-Déterminer l'inverse de

(I_{n} O_{n} D I_{n})

Q2-On suppose

A

B

diagonales avec

Sp (A) \cap Sp (B) = \emptyset

. Montrer que

(A O C B)

est semblable à

(A O O B)

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87. $Structure de groupe sur Γ$

centrale

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension finie,

E = E_{1} \oplus E_{2}

Γ = {u \in L (E) ∣ ker u = E_{1}, Im u = E_{2}}

Q1-Montrer que

\tilde{u} = u ∣_{E_{2}}

est un automorphisme de

E_{2}

Q2-

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88. $Diagonalisabilité de S\mapstoAS+SAᵀ$

centrale

Soit

A = (a c b d) \in M_{2} (R)

Φ : S_{2} (R) \to S_{2} (R)

définie par

Φ (S) = A S + S^{t} A

Q1-Écrire la matrice de

Φ

dans une base de

S_{2} (R)

Q2-Établir une relation entre

χ_{Φ}

χ_{A}

Q3-Si

Φ

est diagonalisable,

A

l'est-elle ?

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89. $Im, Ker supplémentaires pour fᵏ$

centrale

Soit

E

K

-espace vectoriel et

f \in L (E)

Q1-Donner un exemple d'endomorphisme où

Im f

ker f

ne sont pas supplémentaires.

Q2-Montrer que si

f

est diagonalisable, alors

Im f \oplus ker f = E

Q3-Montrer qu'il existe

k

tel que

Im (f^{k}) \oplus ker (f^{k}) = E

. L'endomorphisme

f^{k}

est-il nécessairement diagonalisable ?

Q4-Le résultat subsiste-t-il en dimension infinie ?

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90. $Valeurs de n pour minimal X²+1$

centrale

Pour quelles valeurs de

n

existe-t-il une matrice

A \in M_{n} (R)

de polynôme minimal

X^{2} + 1

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91. $u⁻¹ polynôme en u : exemple P(2X)$

centrale

Soit

E

K

-espace vectoriel et

u \in L (E)

Q1-Montrer que si

E

est de dimension finie et

u

est inversible, alors il existe

Q \in K [X]

tel que

u^{- 1} = Q (u)

Q2-Soit

u : K [X] \to K [X]

défini par

u (P) (X) = P (2 X)

. Montrer que

u

est un automorphisme, déterminer ses éléments propres. Existe-t-il

Q \in K [X]

tel que

u^{- 1} = Q (u)

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92. $Commutation, polynômes en A ou B$

centrale

Soient

A, B \in M_{n} (K)

telles que

A B = B A

Q1-Montrer que dans

M_{2} (K)

A B = B A

implique

B \in K [A]

A \in K [B]

Q2-Le résultat subsiste-t-il dans

M_{3} (K)

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93. $Co-trigonalisation via [u,v]$

centrale

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

u, v \in L (E)

. On note

[u, v] = u \circ v - v \circ u

Q1-Si

[u, v] = 0

, montrer que

u

v

sont co-trigonalisables.

Q2-Si

[u, v] = λ u

avec

λ \neq = 0

, montrer que

u

est nilpotent et que

u, v

sont co-trigonalisables.

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94. $Diagonalisabilité de M²+ᵗM=I$

centrale

Soit

M \in M_{n} (R)

telle que

M^{2} +^{t} M = I_{n}

Q1-Montrer que

M

est inversible si et seulement si

1 \in / Sp (M)

Q2-Montrer que

M

est diagonalisable.

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95. $Commutant et similitude à diag(n)$

centrale

Soit

D = diag (1, 2, \dots, n) \in M_{n} (K)

. Déterminer les matrices de

M_{n} (K)

qui commutent avec

D

, puis parmi celles-ci, celles qui sont semblables à

D

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96. $Aᵖ=0 : déterminant de A+M$

centrale

Soit

A \in M_{n} (K)

telle que

A^{p} = 0

pour un certain

p \geq 1

Q1-Montrer que

A^{n} = 0

Q2-Calculer

det (A + I_{n})

Q3-Si

A M = M A

, calculer

det (A + M)

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97. $Sev stables et diviseurs de χ$

centrale

Soit

E

C

-espace vectoriel de dimension

n

u \in L (E)

dont le polynôme caractéristique s'écrit

χ_{u} = i = 1 \prod q (X - λ_{i})^{n_{i}}

avec

λ_{1}, \dots, λ_{q}

distincts et tel que

dim ker (u - λ_{i} Id) = 1

pour tout

i

Q1-Montrer que

dim ker (u - λ_{i} Id)^{m} = m

pour

0 \leq m \leq n_{i}

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98. $Diagonalisabilité selon z$

mines

Déterminer les

z

complexes pour lesquels la matrice suivante est diagonalisable

M = 011001 z 00 .

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99. $Polynômes P(A) nilpotente$

mines

Soit

A \in M_{n} (C)

. Déterminer les polynômes

P

pour lesquels la matrice

P (A)

est nilpotente.

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100. $Trace rationnelle et A³=A+I$

mines

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice vérifiant

A^{3} = A + I_{n}

tr (A) \in Q .

Montrer que

n

est un multiple de

3

et calculer

det (A)

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101. $Diagonalisabilité matrice à a,b,c$

mines

Soient

a, b, c

trois réels non nuls. Étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M = 0 1/ a 1/ c a 0 1/ b c b 0 .

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102. $Équation de Sylvester AX-XB=M$

mines

Soient

A

B

deux matrices de

M_{n} (C)

n'ayant aucune valeur propre en commun.

Q1-Montrer que

χ_{A} (B)

est une matrice inversible.

Q2-Soit

M \in M_{n} (C)

. Montrer qu'il existe une unique matrice

X \in M_{n} (C)

telle que

A X - X B = M

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103. $Diagonalisable: rang 2, trace nulle$

mines

Soient

A \in M_{n} (C)

(n \geq 3)

vérifiant

rg A = 2, tr A = 0 et A^{n} \neq = O_{n} .

Montrer que

A

est diagonalisable.

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104. $Valeurs propres 0 et 2, trace 8$

mines

Trouver les

A

M_{n} (C)

telles que

A^{3} - 4 A^{2} + 4 A = 0 et tr A = 8.

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105. $Diagonalisation de deux matrices$

mines

Diagonaliser les matrices de

M_{n} (R)

A = 0 ⋮ 01 \dots \dots \dots 0 ⋮ 01 1011 et B = 10 ⋮ 01 \dots \dots \dots \dots \dots 0 ⋮ 0 \dots 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 .

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106. $Matrice de rang 1 diagonalisable$

mines

Soit

(a_{1}, \dots, a_{n}) \in C^{n}

. La matrice

(a_{i} a_{j})_{1 \leq i, j \leq n}

est-elle diagonalisable ?

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107. $Trace nulle et annulateur X(X-2)²$

mines

Trouver les matrices

M

M_{n} (R)

vérifiant

tr M = 0 et M^{3} - 4 M^{2} + 4 M = O_{n} .

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108. $Nilpotence de f via fg-gf=f$

mines

Soient

f

g

deux endomorphismes d'un

C

-espace vectoriel

E

de dimension finie

n \geq 1

tels que

f \circ g - g \circ f = f .

Q1-Montrer que

f

est nilpotent.

Q2-On suppose

f^{n - 1} \neq = 0

. Montrer qu'il existe une base

e

E

λ \in C

tels que

Mat_{e} f = N

(matrice de Jordan nilpotente) et

Mat_{e} g = diag (λ, λ + 1, \dots, λ + n - 1)

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109. $Réduction d'une matrice a,b$

mines

Soient

a, b \in R

b \neq = 0

A \in M_{n} (R)

la matrice dont les éléments diagonaux valent

a

et les autres valent

b

A

est-elle diagonalisable ? Quelles sont les valeurs propres de

A

? Quel est le polynôme minimal de

A

? Sous quelles conditions sur

a

b

A

est-elle inversible ? Lorsque c'est le cas trouver l'inverse de

A

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110. $Spectre commun de AB et BA$

mines

Soient

A, B \in M_{n} (R)

. Montrer que

A B

B A

ont même valeurs propres.

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111. $Réduction de deux matrices a,b$

mines

Soient

a, b

deux réels et les matrices

A

B

M_{n} (R)

où

A

a

sur la diagonale et

b

ailleurs, et

B

b

sur la diagonale et

a

ailleurs. Réduire ces deux matrices.

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112. $Similitude de matrices circulantes$

mines

Les matrices

132213321 et 123312231

sont-elles semblables ?

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113. $Convergence de M(a,b)^n vers 0$

mines

On pose

M (a, b) = a^{2} ab ab b^{2} ab a^{2} b^{2} ab ab b^{2} a^{2} ab b^{2} ab ab a^{2}

pour tous

a, b

réels.

Q1-Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?

Q2-Étudier et représenter graphiquement l'ensemble des

(a, b) \in R^{2}

tel que

M (a, b)^{n}

tend vers

0

quand

n

tend vers

\infty

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114. $Opérateur intégral à noyau min(x,t)$

mines

Soit

E = C ([0; 1], R)

. Si

f \in E

on pose

T (f) : x \in [0; 1] \mapsto \int_{0}^{1} min (x, t) f (t) d t .

Q1-Vérifier que

T

est un endomorphisme de

E

Q2-Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de

T

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115. $Matrice (min(i,j)) : LU et inverse$

mines

Soit la matrice

A \in M_{n} (R)

donnée par

A = (min (i, j))_{1 \leq i, j \leq n}

Q1-Trouver une matrice triangulaire inférieure unité

L

et une matrice triangulaire supérieure

U

telle que

A = LU

Q2-Exprimer

A^{- 1}

à l'aide de la matrice de Jordan nilpotente

N

Q3-Montrer que

Sp A^{- 1} \subset [0; 4]

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116. $Reste de la division de AP par B$

mines

Soient

A \in R [X]

B \in R [X]

scindé à racines simples de degré

n + 1

. Soit

Φ

l'endomorphisme de

R_{n} [X]

qui à

P \in R [X]

associe le reste de la division euclidienne de

A P

par

B

. Déterminer les éléments propres de

Φ

. L'endomorphisme

Φ

est-il diagonalisable ?

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117. $Opérateur intégral f(t)/t$

mines

Soit

E

l'espace des fonctions

f

de classe

C^{1}

[0; + \infty [

vers

R

vérifiant

f (0) = 0

. Pour un élément

f

E

on pose

T (f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t} d t .

Montrer que

T

est un endomorphisme de

E

et déterminer ses valeurs propres.

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118. $Liens entre les polynômes de AB, BA$

mines

Soit

(A, B) \in M_{p, q} (R) \times M_{q, p} (R)

. Montrer que

X^{q} χ_{A B} (X) = X^{p} χ_{B A} (X) .

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119. $A³+A²+A=0 implique un rang pair$

mines

Soit

A \in M_{n} (R)

vérifiant

A^{3} + A^{2} + A = 0.

Montrer que la matrice

A

est de rang pair.

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120. $A triangulaire ssi A^k l'est aussi$

mines

Soit

A \in M_{n} (K)

une matrice inversible.
Montrer que

A

est triangulaire supérieure si, et seulement si,

A^{k}

l'est pour tout

k \geq 2

.
Donner un contre-exemple dans le cas où l'on ne suppose plus la matrice

A

inversible.

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81.

82.Matrices A + tCom(A) = αIn

83.Multiplicativité de χ par blocs

84.Diagonalisabilité de la matrice J

85.Vecteur propre commun, uv-vu=au+bv

86.Similitude d'une matrice par blocs

87.Structure de groupe sur Γ

88.Diagonalisabilité de S↦AS+SAᵀ

89.Im, Ker supplémentaires pour fᵏ

90.Valeurs de n pour minimal X²+1

91.u⁻¹ polynôme en u : exemple P(2X)

92.Commutation, polynômes en A ou B

93.Co-trigonalisation via [u,v]

94.Diagonalisabilité de M²+ᵗM=I

95.Commutant et similitude à diag(n)

96.Aᵖ=0 : déterminant de A+M

97.Sev stables et diviseurs de χ

98.Diagonalisabilité selon z

99.Polynômes P(A) nilpotente

100.Trace rationnelle et A³=A+I

101.Diagonalisabilité matrice à a,b,c

102.Équation de Sylvester AX-XB=M

103.Diagonalisable: rang 2, trace nulle

104.Valeurs propres 0 et 2, trace 8

105.Diagonalisation de deux matrices

106.Matrice de rang 1 diagonalisable

107.Trace nulle et annulateur X(X-2)²

108.Nilpotence de f via fg-gf=f

109.Réduction d'une matrice a,b

110.Spectre commun de AB et BA

111.Réduction de deux matrices a,b

112.Similitude de matrices circulantes

113.Convergence de M(a,b)^n vers 0

114.Opérateur intégral à noyau min(x,t)

115.Matrice (min(i,j)) : LU et inverse

116.Reste de la division de AP par B

117.Opérateur intégral f(t)/t

118.Liens entre les polynômes de AB, BA

119.A³+A²+A=0 implique un rang pair

120.A triangulaire ssi A^k l'est aussi

82. $Matrices A + tCom(A) = αIn$

83. $Multiplicativité de χ par blocs$

84. $Diagonalisabilité de la matrice J$

85. $Vecteur propre commun, uv-vu=au+bv$

86. $Similitude d'une matrice par blocs$

87. $Structure de groupe sur Γ$

88. $Diagonalisabilité de S\mapstoAS+SAᵀ$

89. $Im, Ker supplémentaires pour fᵏ$

90. $Valeurs de n pour minimal X²+1$

91. $u⁻¹ polynôme en u : exemple P(2X)$

92. $Commutation, polynômes en A ou B$

93. $Co-trigonalisation via [u,v]$

94. $Diagonalisabilité de M²+ᵗM=I$

95. $Commutant et similitude à diag(n)$

96. $Aᵖ=0 : déterminant de A+M$

97. $Sev stables et diviseurs de χ$

98. $Diagonalisabilité selon z$

99. $Polynômes P(A) nilpotente$

100. $Trace rationnelle et A³=A+I$

101. $Diagonalisabilité matrice à a,b,c$

102. $Équation de Sylvester AX-XB=M$

103. $Diagonalisable: rang 2, trace nulle$

104. $Valeurs propres 0 et 2, trace 8$

105. $Diagonalisation de deux matrices$

106. $Matrice de rang 1 diagonalisable$

107. $Trace nulle et annulateur X(X-2)²$

108. $Nilpotence de f via fg-gf=f$

109. $Réduction d'une matrice a,b$

110. $Spectre commun de AB et BA$

111. $Réduction de deux matrices a,b$

112. $Similitude de matrices circulantes$

113. $Convergence de M(a,b)^n vers 0$

114. $Opérateur intégral à noyau min(x,t)$

115. $Matrice (min(i,j)) : LU et inverse$

116. $Reste de la division de AP par B$

117. $Opérateur intégral f(t)/t$

118. $Liens entre les polynômes de AB, BA$

119. $A³+A²+A=0 implique un rang pair$

120. $A triangulaire ssi A^k l'est aussi$