Exercices de Réduction algébrique, Spé (prépa) (page 4)

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2=f$.
Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l'endomorphisme $u\mapsto fu-uf$ de $\mathcal{L}(E)$.

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^3=\mathrm{Id}$.
Décrire les sous-espaces stables de $u$.
Même question avec $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $a$ un élément non nul de $\mathbb{K}$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3-3a{f}^2+a^{2}f=0$. Est-il vrai que $\ker f$ et $\mathrm{Im}f$ sont supplémentaires ?

On note $E=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et on pose, pour toute $f\in E$ et tout $x\in \mathbb{R}$,$$Tf(x)=f(x)+{\int }_0^{x}f(t)dt.$$

Soient $A$ et $B$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{2n+1}(\mathbb{C})$ la matrice tridiagonale par blocs avec $a$ sur la diagonale, $b$ sur la sur-diagonale et sur la sous-diagonale (en alternance avec des $0$), et $a+b$ au centre. Quels sont les $P\in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(A)=0$ ?

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f\in \mathcal{L}(E)$. On définit $T\in \mathcal{L}(\mathcal{L}(E))$ par$$T(g)=f\circ g-g\circ f.$$Montrer que si $f$ est diagonalisable, alors $T$ est diagonalisable ; si $f$ est nilpotente, alors $T$ est nilpotente.

Soient $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in \mathcal{L}(E)$ de polynôme minimal ${\Pi }_f$.
Montrer l'existence de $x\in E$ tel que $\{P\in \mathbb{C}[X]\mid P(f)(x)=0\}$ soit l'ensemble des multiples de ${\Pi }_f$.

Soient $A$ et $B$ des matrices complexes carrées d'ordre $n$. On suppose les matrices $A+2^{k}B$ nilpotentes pour tout entier $k$ tel que $0\le k\le n$. Montrer que les matrices $A$ et $B$ sont nilpotentes.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^{2n+1})$. On suppose $u^3=u$, $\mathrm{tr}u=0$ et $\mathrm{tr}{u}^2=2n$. On note $C(u)=\{v\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^{2n+1})\mid uv=vu\}$.

Pour $n\ge 2$, on note $H$ un hyperplan de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ ne contenant aucune matrice inversible.

Soit $(A,B,C)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}{)}^3$ tel que$$C=A+B,C^2=2A+3B\text{et}{C}^3=5A+6B.$$Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables ?

On caractérise le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire complexe, avant d'en tirer une application matricielle.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ telle que $A^4=I_n$. Déterminer $\exp (A)$.

Soit $A$ une matrice antisymétrique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
Que peut-on dire de $\exp A$ ?

Résoudre le système différentiel suivant$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y+z\\ y^{\prime }=x\\ z^{\prime }=x+y+z.\end{array}$$

On pose$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$Sans diagonaliser la matrice $A$, déterminer son polynôme caractéristique, son polynôme minimal et calculer $A^k$ pour $k\in \mathbb{N}$.
Évaluer $\exp (A)$.

Résoudre le système différentiel linéaire$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-z\\ y^{\prime }=x+y+z\\ z^{\prime }=-x-y+z.\end{array}$$

Soient $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ et$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& a^2\\ 1/a& 0& a\\ 1/a^2& 1/a& 0\end{array}\right).$$

Soit$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$$dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $A$. Calculer $\exp A$ et $\exp (A)\exp ({}^{t}A)$.

Soit$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& j& j^2\\ j& j^2& 1\\ j^2& 1& j\end{array}\right).$$Étudier la diagonalisabilité de $A$, déterminer les polynômes minimal et caractéristique de $A$, calculer $\exp A$. Proposer une généralisation en dimension $n$.

Soit l'endomorphisme $u:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ défini par $M⟼M+\mathrm{tr}(M)I_n$. Déterminer les valeurs propres de $u$, ainsi que les espaces propres associés.

1. Déterminer toutes les matrices $A$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telles que $A^2-3A+2I_2=0$.
2. Déterminer toutes les matrices $A$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telles que $A^3-8A^2+21A-18I_2=0$.

Déterminer les $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pour lesquels il existe $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ telle que $M^3-M^2-M-2I_n=0$ et $\mathrm{tr}(M)=0$.

Déterminer les matrices $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ vérifiant $M^5=M^2$ et $\mathrm{tr}(M)=n$.

Soient $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $P\in \mathbb{K}[X]$ un polynôme unitaire annulateur de $u$. La décomposition de $P$ en facteurs irréductibles unitaires s'écrit $P=\prod _{i=1}^r{P}_i^{{\alpha }_i}$. Pour $i\in [[1,r]]$, on pose $N_i=\mathrm{Ker}{P}_i^{{\alpha }_i}(u)$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$. Montrer que $F=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}(F\cap N_i)$.

Soient $A,B,C$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $C=A+B$, $C^2=2A+3B$, $C^3=5A+6B$. $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables ?

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $f\in \mathcal{L}(E)$ et $P\in \mathbb{K}[X]$ tel que $P(f)=0$, $P(0)=0$ et $P^{\prime }(0)\ne 0$. Montrer que $E=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que $\mathrm{rg}(A)$ est pair.

Montrer que pour tout $P\in {\mathbb{C}}_{n-1}[X]$, $\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})P(X+k)=0$.

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $E_n={\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. La matrice identité de $E_n$ sera notée $I_n$.
Pour $A\in E_n$ et $j\in [[1,n]]$, on note $A_j$ la $j$-ème colonne de la matrice $A$.
Soit $u$ l'application qui à toute matrice $A$ de $E_n$ associe la matrice $B$ dont les colonnes $B_j$ sont $\forall j\in [[1,n]],B_j=S-A_j=\sum _{k=1,k\ne j}^n{A}_k$ où $S=\sum _{k=1}^n{A}_k$.

1. Dans cette question, $n=2$ et $E_2$ est muni de la base $\mathcal{B}=(K_1,K_2,K_3,K_4)$ où $K_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $K_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$, $K_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $K_4=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
a. Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E_2$.
b. Déterminer la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. Démontrer que $u$ est un automorphisme de $E_2$.
c. Reconnaître la nature géométrique de l'automorphisme $u$ en précisant ses éléments caractéristiques.
2. Exprimer $\det (u(A))$ en fonction de $\det (A)$ dans les cas $n=2$ et $n=3$.
On revient au cas général et on admettra que $u$ est un endomorphisme de $E_n$.
3. Montrer à l'aide d'opérations sur les colonnes et en utilisant $S$ que l'on a $\det (u(A))=(-1{)}^{n-1}(n-1)\det (A)$.
4. a. Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 de l'endomorphisme $u$.
b. En déduire les éléments propres de l'endomorphisme $u$. Est-il diagonalisable ?
5. Soit $J_n$ la matrice de $E_n$ dont tous les coefficients sont égaux à 1 et $U_n=J_n-I_n$.
a. Déterminer les colonnes du produit matriciel $A{U}_n$ à l'aide de celles de $A$.
b. Retrouver alors le résultat de la question 4.a.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$.
1. $A$ est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres complexes et déterminer une matrice $D$ diagonale semblable à $A$.
2. Soit $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ non nulle telle que $M^3+M=0$. Montrer que $M$ est semblable à $D$.
3. $A$ et $M$ sont-elles semblables dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ ? ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ?

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3-3A-5I_n=0$. Montrer que $\det (A)>0$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ la matrice dont tous les coefficients valent 1. Déterminer le polynôme minimal de $A$.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Soit $P\in \mathbb{K}[X]$. Montrer que $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et ${\pi }_u$ sont premiers entre eux.

Soit $u\in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $u$ est un automorphisme si et seulement si ${\pi }_u(0)\ne 0$.

Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel de dimension finie. Quel est le polynôme minimal de $p$ ?

Soit $A=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$. Quel est le polynôme minimal de $A$ ?

Montrer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.