Exercices de Séries numériques en maths Spé (prépa)

1. $Sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{2})^{α}$

2. $Décomposition binaire d'un entier$

Convergence et calcul, pour

z

complexe tel que

∣ z ∣ < 1

, de

n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}} .

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3. $Convolution dans ℓ^{1} (Z)$

On note

ℓ^{1} (Z)

l'ensemble des suites complexes

u = (u_{n})_{n \in Z}

sommables.

Q1-Soit

u, v \in ℓ^{1} (Z)

. Montrer que pour tout

n \in Z

, la famille

(u_{k} v_{n - k})_{k \in Z}

est sommable.

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4. $Sommabilité de (q^{∣ n ∣})_{n \in Z}$

Soit

q \in C

avec

∣ q ∣ < 1

.
Montrer que la famille

(q^{∣ n ∣})_{n \in Z}

est sommable et calculer sa somme.

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5. $Série géométrique bilatère$

Soit

r \in [0; 1 [

θ \in R

.
Justifier l'existence et calculer

n \in Z \sum r^{∣ n ∣} e^{in θ} .

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6. $Réarrangement d'une série absolue$

Soient

n \geq 0 \sum u_{n}

une série absolument convergente et

v_{n} = u_{σ (n)}

avec

σ \in S_{N}

.
Montrer que la série

n \geq 0 \sum v_{n}

est absolument convergente de même somme que

\sum u_{n}

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7. $Séries de terme 1/ σ (n)$

Soit

σ : N^{*} \to N^{*}

une application bijective.

Q1-Déterminer la nature de

n \geq 1 \sum \frac{1}{σ ( n ) ^{2}}

Q2-Même question pour

n \geq 1 \sum \frac{1}{σ ( n )}

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8. $Divergence de \sum σ (n) / n^{2}$

σ

est une bijection de

N^{*}

sur

N^{*}

, montrer la divergence de la série

\sum \frac{σ ( n )}{n ^{2}}

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9. $Nature de \sum σ (n) / (n^{2} ln n)$

Soit

σ

une permutation de

N^{*}

.
Quelle est la nature de

\sum \frac{σ ( n )}{n ^{2} ln n}

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10. $Extrema de \sum ∣ u_{n} u_{σ (n)} ∣$

Soit

(u_{n})

une suite réelle telle qu'il y ait convergence de la série

\sum u_{n}^{2}

.
Soient

σ

une bijection de

N

(v_{n})

la suite déterminée par

v_{n} = u_{σ (n)}

pour tout

n \in N

Q1-Montrer la convergence et calculer la somme de la série

\sum v_{n}^{2}

Q2-Quelle est la nature de la série

\sum ∣ u_{n} v_{n} ∣

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11. $Convergence de \sum 1/ z_{n}^{3}$

Soit

(z_{n})

une suite de complexes non nuls telles que

n \neq = m ⟹ ∣ z_{n} - z_{m} ∣ \geq 1.

Montrer la convergence de la série de terme général

1/ z_{n}^{3}

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12. $Équivalent et somme du reste R_{n}$

On étudie le reste d'une série de Riemann convergente, puis on s'intéresse à la convergence et au calcul d'une somme double formée à partir de ces restes.

Q1-Soit

α > 1

. Déterminer un équivalent à

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}}

Q2-Pour quels

α \in R

, la somme

n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}}

a-t-elle un sens ?

Q3-Montrer qu'alors

n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}} = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{α - 1}}

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13. $Identité \sum a^{p} / (1 - a^{2 p})$

Soit

a

un complexe de module strictement inférieur à

1

. En introduisant la famille des nombres

u_{p, q} = a^{p (2 q - 1)}

(pour

p, q \geq 1

), établir l'identité

p = 1 \sum + \infty \frac{a ^{p}}{1 - a ^{2 p}} = p = 1 \sum + \infty \frac{a ^{2 p - 1}}{1 - a ^{2 p - 1}} .

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14. $Ordre de sommation et a_{p, q}$

On pose

a_{p, q} = \frac{2 p + 1}{p + q + 2} - \frac{p}{p + q + 1} - \frac{p + 1}{p + q + 3} .

Calculer

q = 0 \sum + \infty p = 0 \sum + \infty a_{p, q} et p = 0 \sum + \infty q = 0 \sum + \infty a_{p, q} .

Qu'en déduire ?

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15. $Famille sommable en p + q^{2}$

Existence et valeur de

(p, q) \in N \times N^{*} \sum \frac{1}{( p + q ^{2} ) ( p + q ^{2} + 1 )} .

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16. $Sommes doubles de 1/ (n^{2} - p^{2})$

Justifier

n = 1 n \neq = p \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} - p ^{2}} = \frac{3}{4 p ^{2}} .

En déduire

p = 1 \sum + \infty n = 1 n \neq = p \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} - p ^{2}} \neq = n = 1 \sum + \infty p = 1 p \neq = n \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} - p ^{2}} .

Qu'en déduire ?

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17. $Inégalité de Hardy discrète$

Soient

(u_{n})_{n \geq 1}

une suite réelle et

(v_{n})_{n \geq 1}

la suite de ses moyennes de Cesàro :

v_{n} = \frac{1}{n} (u_{1} + \dots + u_{n})

pour tout

n \geq 1

.

On suppose désormais que la série de terme général

u_{n}^{2}

converge.

Q1-Montrer que

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} \leq 2 u_{n} v_{n}

pour tout

n \geq 2

Voir le corrigé

(a)

On peut exprimer

u_{n}

en fonction de

v_{n}

v_{n - 1}

. Puisque

n v_{n}

correspond à la somme

u_{1} + \dots + u_{n}

, on remarque

u_{n} = n v_{n} - (n - 1) v_{n - 1}

pour

n \geq 2

.

La différence des membres de l'inégalité étudiée s'écrit alors

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} - 2 u_{n} v_{n} = (n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} - 2 n v_{n}^{2} + 2 (n - 1) v_{n} v_{n - 1}

= (1 - n) v_{n}^{2} + 2 (n - 1) v_{n} v_{n - 1} + (1 - n) v_{n - 1}^{2} = (1 - n) (v_{n} - v_{n - 1})^{2} \leq 0.

On en déduit l'inégalité voulue.

(b)

Soit

n \geq 2

. On peut écrire

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} = v_{n}^{2} + n v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2}

ce qui fait apparaître

v_{n}^{2}

et un terme télescopique. En sommant ces termes pour

n

allant de

2

jusqu'à un entier

N

, on obtient

n = 2 \sum N v_{n}^{2} + N v_{N}^{2} - v_{1}^{2} \leq 2 n = 2 \sum N u_{n} v_{n} .

En ajoutant

2 v_{1}^{2}

dans chaque membre et en remarquant

u_{1} = v_{1}

, on obtient

n = 1 \sum N v_{n}^{2} + N v_{N}^{2} \leq 2 n = 1 \sum N u_{n} v_{n}

puis

n = 1 \sum N v_{n}^{2} \leq 2 n = 1 \sum N u_{n} v_{n}

.

On majore la somme en second membre en séparant les facteurs

u_{n}

v_{n}

grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

n = 1 \sum N v_{n}^{2} \leq 2 (n = 1 \sum N u_{n}^{2})^{1/2} (n = 1 \sum N v_{n}^{2})^{1/2}

Que la somme en premier membre soit nulle ou non, on obtient

(n = 1 \sum N v_{n}^{2})^{1/2} \leq 2 (n = 1 \sum N u_{n}^{2})^{1/2} .

Enfin, on élève au carré pour écrire

n = 1 \sum N v_{n}^{2} \leq 4 n = 1 \sum N u_{n}^{2} \leq 4 n = 1 \sum + \infty u_{n}^{2} .

On en déduit que la série de terme général

v_{n}^{2}

converge car il s'agit d'une série à termes positifs aux sommes partielles majorées. Au surplus,

n = 1 \sum + \infty v_{n}^{2} = N \to + \infty lim n = 1 \sum N v_{n}^{2} \leq 4 n = 1 \sum + \infty u_{n}^{2} .

(c)

Sans perte de généralité, on peut supposer les termes

u_{n}

positifs (ou simplement mener l'étude avec

∣ u_{n} ∣

au lieu de

u_{n}

). Soit

N \geq 2

n = 1 \sum N m = 1 \sum N \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} = n = 1 \sum N m = 1 \sum n \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} + n = 1 \sum N m = n + 1 \sum N \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} .

On échange les deux sommes du deuxième terme

n = 1 \sum N m = 1 \sum N \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} = n = 1 \sum N m = 1 \sum n \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} + m = 2 \sum N n = 1 \sum m - 1 \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} .

On exploite l'inégalité

m + n \geq n

pour majorer le premier terme et faire apparaître

v_{n}

et l'inégalité

m + n \geq m

pour le second terme en faisant apparaître

v_{m}

quitte à adjoindre un terme positif à la somme :

n = 1 \sum N m = 1 \sum N \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} \leq n = 1 \sum N m = 1 \sum n \frac{u _{m} u _{n}}{n} + m = 2 \sum N n = 1 \sum m - 1 \frac{u _{m} u _{n}}{m} \leq n = 1 \sum N u_{n} v_{n} + m = 2 \sum N u_{m} v_{m} \leq 2 n = 1 \sum N u_{n} v_{n} .

L'inégalité

2 ab \leq a^{2} + b^{2}

complète l'étude

n = 1 \sum N m = 1 \sum N \frac{u _{m} u _{n}}{m + n} \leq n = 1 \sum N (u_{n}^{2} + v_{n}^{2}) \leq n = 1 \sum + \infty u_{n}^{2} + n = 1 \sum + \infty v_{n}^{2} .

Finalement, la famille étudiée est sommable car les sommes partielles sur les parties finies sont majorées.

18. $Série arithmético-géométrique$

Existence et calcul de

n = 0 \sum + \infty (n + 1) 3^{- n}

Voir le corrigé

Pour tout

n \in N

, posons

u_{n} = 3^{- n}

v_{n} = 3^{- n}

.
Les deux séries

n \geq 0 \sum u_{n}

n \geq 0 \sum v_{n}

sont des séries géométriques de raison

\frac{1}{3} \in] - 1, 1 [

. Elles sont donc absolument convergentes, et leur somme vaut :

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} .

Considérons le produit de Cauchy de ces deux séries géométriques. Le terme général du produit de Cauchy

(w_{n})_{n \in N}

est donné par :

w_{n} = k = 0 \sum n u_{k} v_{n - k} = k = 0 \sum n \frac{1}{3 ^{k}} \cdot \frac{1}{3 ^{n - k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{3 ^{n}} = (n + 1) 3^{- n} .

D'après le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, la série

n = 0 \sum + \infty w_{n} = n = 0 \sum + \infty (n + 1) 3^{- n}

converge (absolument), et sa somme est égale au produit des sommes :

n = 0 \sum + \infty (n + 1) 3^{- n} = (n = 0 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{n}}) (m = 0 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{m}}) = (\frac{3}{2}) \times (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} .

19. $Moyenne pondérée 2^{k} u_{k}$

Soit

(u_{n})

une suite numérique. Pour tout

n \in N

, on pose

v_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} k = 0 \sum n 2^{k} u_{k} .

Q1-On suppose dans cette question la série

\sum u_{n}

absolument convergente. En observant un produit de Cauchy, montrer que la série

\sum v_{n}

converge et exprimer sa somme en fonction de celle de

\sum u_{n}

Q2-

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20. $Identité série et nombres H_{n}$

Établir

e n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n \cdot n !} = n = 1 \sum + \infty \frac{H _{n}}{n !}

avec

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

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21. $Sommabilité de la moyenne v_{n}$

Soit

(u_{n})_{n \in N}

une famille sommable. Pour tout

n \in N

, on pose

v_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} k = 0 \sum n 2^{k} u_{k} .

Montrer que la famille

(v_{n})_{n \in N}

est sommable et exprimer sa somme en fonction de celle de la famille

(u_{n})_{n \in N}

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22. $Convergence de \sum 1/ (k^{α} (n - k)^{α})$

Pour

α \in R

n \in N

, on pose

u_{n} = k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{k ^{α} ( n - k ) ^{α}} .

Pour quels

α

la série de terme général

u_{n}

converge ?

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23. $Équation fonctionnelle de exp$

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} x^{n} .

Q1-Montrer que la fonction

f

est bien définie sur

R

Q2-Établir

f (x) f (y) = f (x + y)

pour tout

x, y \in R

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24. $Intégrales 1/ (1 + x + \dots + x^{n})$

(a)

Étudier

\sum u_{n}

où

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x + \dots + x ^{n}}

(b)

Étudier

\sum v_{n}

où

v_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} d x}{1 + x + \dots + x ^{n}}

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25. $Nature de \sum a^{H_{n}}$

Pour

a > 0

, étudier la convergence de

n \geq 1 \sum a^{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}} .

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26. $Série j^{n} / n$

Donner la nature de la série des

\frac{j ^{n}}{n}

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27. $Série 1/ \sum (ln k)^{2}$

Montrer la convergence de la série de terme général

u_{n} = \frac{1}{( ln 1 ) ^{2} + ( ln 2 ) ^{2} + \dots + ( ln n ) ^{2}} .

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28. $Nature de \sum R_{n} / S_{n}$

Pour

α > 1

, on pose

S_{N} = n = 1 \sum N \frac{1}{n ^{α}} et R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} .

Étudier la nature de la série

n \geq 1 \sum \frac{R _{n}}{S _{n}}

selon la valeur du réel

α

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29. $Récurrence sur \int tan^{n} t d t$

On note

u_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t

(a)

Déterminer la limite de

u_{n}

(b)

Trouver une relation de récurrence entre

u_{n}

u_{n + 2}

(c)

Donner la nature de la série de terme général

(- 1)^{n} u_{n}

(d)

Discuter suivant

α \in R

, la nature de la série de terme général

u_{n} / n^{α}

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30. $Nature de cos (π n^{2} + n + 1)$

Déterminer la nature de

\sum u_{n}

pour :

(a)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2} + 1}

(b)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

(c)

u_{n} = ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1})

(d)

u_{n} = cos (π n^{2} + n + 1)

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31. $Série (- 1)^{n} / n n!$

Déterminer la nature de

n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n n !} .

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32. $Série sin (nπ + π / n)$

Déterminer la nature de

n \geq 1 \sum sin (nπ + \frac{π}{n}) .

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33. $Série cos (n^{2} π ln (1 + 1/ n))$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = cos (n^{2} π ln (1 + \frac{1}{n})) .

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34. $Série alternée et \sum 1/ k$

Déterminer la nature de la série de terme général :

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{k = 1 \sum n \frac{1}{k} + ( - 1 ) ^{n - 1}} .

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35. $Séries logarithmiques perturbées$

Déterminer la nature de

\sum u_{n}

pour :

(a)

u_{n} = n + (- 1)^{n} - n

(b)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{ln ( n + ( - 1 ) ^{n} )}

(c)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{ln ( n ) + ( - 1 ) ^{n}}

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36. $Série sin (π / n^{2} + 1)$

Convergence de la série de terme général

u_{n} = sin (\frac{π}{n ^{2} + 1})

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37. $Série (- 1)^{n} sin (ln n) / n$

Étudier la série de terme général

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} sin ( ln n )}{n} .

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38. $Série oscillante e^{i n}$

Quelle est la nature de la série de terme général

\frac{e ^{i n}}{n}

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39. $Intégrale à borne (- 1)^{n} / n^{α}$

α

désigne un réel strictement positif. Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \int_{0}^{(- 1)^{n} / n^{α}} \frac{∣ x ∣}{1 + x} d x .

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40. $Série n^{n} / (e^{n} n!)$

Déterminer la nature des séries qui suivent :

(a)

\sum \frac{n ^{n}}{e ^{n} \cdot n !}

(b)

\sum ln (cos (\frac{1}{n}))

(c)

\sum \frac{1}{2 ^{n}}

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1.Sommabilité de 1/(p2+q2)α

2.Décomposition binaire d'un entier

3.Convolution dans ℓ1(Z)

4.Sommabilité de (q∣n∣)n∈Z​

5.Série géométrique bilatère

6.Réarrangement d'une série absolue

7.Séries de terme 1/σ(n)

8.Divergence de ∑σ(n)/n2

9.Nature de ∑σ(n)/(n2lnn)

10.Extrema de ∑∣un​uσ(n)​∣

11.Convergence de ∑1/zn3​

12.Équivalent et somme du reste Rn​

13.Identité ∑ap/(1−a2p)

14.Ordre de sommation et ap,q​

15.Famille sommable en p+q2

16.Sommes doubles de 1/(n2−p2)

17.Inégalité de Hardy discrète

18.Série arithmético-géométrique

19.Moyenne pondérée 2kuk​

20.Identité série et nombres Hn​

21.Sommabilité de la moyenne vn​

22.Convergence de ∑1/(kα(n−k)α)

23.Équation fonctionnelle de exp

24.Intégrales 1/(1+x+⋯+xn)

25.Nature de ∑aHn​

26.Série jn/n​

27.Série 1/∑(lnk)2

28.Nature de ∑Rn​/Sn​

29.Récurrence sur ∫tanntdt

30.Nature de cos(πn2+n+1​)

31.Série (−1)n/nn!​

32.Série sin(nπ+π/n)

33.Série cos(n2πln(1+1/n))

34.Série alternée et ∑1/k​

35.Séries logarithmiques perturbées

36.Série sin(π/n2+1​)

37.Série (−1)nsin(lnn)/n

38.Série oscillante ein​

39.Intégrale à borne (−1)n/nα

40.Série nn/(enn!)

1. $Sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{2})^{α}$

2. $Décomposition binaire d'un entier$

3. $Convolution dans ℓ^{1} (Z)$

4. $Sommabilité de (q^{∣ n ∣})_{n \in Z}$

5. $Série géométrique bilatère$

6. $Réarrangement d'une série absolue$

7. $Séries de terme 1/ σ (n)$

8. $Divergence de \sum σ (n) / n^{2}$

9. $Nature de \sum σ (n) / (n^{2} ln n)$

10. $Extrema de \sum ∣ u_{n} u_{σ (n)} ∣$

11. $Convergence de \sum 1/ z_{n}^{3}$

12. $Équivalent et somme du reste R_{n}$

13. $Identité \sum a^{p} / (1 - a^{2 p})$

14. $Ordre de sommation et a_{p, q}$

15. $Famille sommable en p + q^{2}$

16. $Sommes doubles de 1/ (n^{2} - p^{2})$

17. $Inégalité de Hardy discrète$

18. $Série arithmético-géométrique$

19. $Moyenne pondérée 2^{k} u_{k}$

20. $Identité série et nombres H_{n}$

21. $Sommabilité de la moyenne v_{n}$

22. $Convergence de \sum 1/ (k^{α} (n - k)^{α})$

23. $Équation fonctionnelle de exp$

24. $Intégrales 1/ (1 + x + \dots + x^{n})$

25. $Nature de \sum a^{H_{n}}$

26. $Série j^{n} / n$

27. $Série 1/ \sum (ln k)^{2}$

28. $Nature de \sum R_{n} / S_{n}$

29. $Récurrence sur \int tan^{n} t d t$

30. $Nature de cos (π n^{2} + n + 1)$

31. $Série (- 1)^{n} / n n!$

32. $Série sin (nπ + π / n)$

33. $Série cos (n^{2} π ln (1 + 1/ n))$

34. $Série alternée et \sum 1/ k$

35. $Séries logarithmiques perturbées$

36. $Série sin (π / n^{2} + 1)$

37. $Série (- 1)^{n} sin (ln n) / n$

38. $Série oscillante e^{i n}$

39. $Intégrale à borne (- 1)^{n} / n^{α}$

40. $Série n^{n} / (e^{n} n!)$