Exercices de Séries numériques en maths Spé (prépa) (page 4)

122. $Asymptotique de \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{n}}$

ccp

On pose

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{n}}

pour

n \in N

n \geq 2

Q1-Déterminer une suite de fonctions

(f_{n})

telle que

I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t

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123. $Intégrale de t - ⌊ t ⌋$

ccp

On considère

G (x, y) = \int_{0}^{y} \frac{t - ⌊ t ⌋}{t ( t + x )} d t

où

⌊ t ⌋

représente la partie entière de

t

, définie sur

(R_{+}^{*})^{2}

Q1-Montrer que

G (x, y)

est définie sur

(R_{+}^{*})^{2}

Q2-Montrer que

G (x, y)

tend vers une limite

G (x)

quand

y \to + \infty

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124. $Comparaison série-intégrale, f^{''}$

ccp

Soit

f

de classe

C^{2}

sur

[0; + \infty [

telle que

f^{''}

est intégrable sur

[0; + \infty [

et telle que l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t

soit convergente.

Q1-Montrer que

x \to + \infty lim f^{'} (x) = 0

x \to + \infty lim f (x) = 0

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125. $Preuve du critère spécial alterné$

centrale

On pose

s_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k} et u_{n} = ln (e^{s_{n}} - 1) .

Q1-Énoncer le théorème des séries spéciales alternées, en faire la preuve.

Q2-Prouver que les suites

(s_{n})_{n \geq 1}

(u_{n})_{n \geq 1}

convergent.

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126. $Série (- 1)^{n} ⌊ ln n / ln 2 ⌋ / n$

centrale

Soit

(u_{n})

une suite telle que

u_{n} = O (1/ n^{2})

Q1-Que dire de

k = n \sum + \infty u_{k}

Q2-Montrer que

k = 1 \sum n \frac{1}{k} = ln n + γ + O (\frac{1}{n})

avec

γ

une constante réelle.

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127. $Somme \sum (- 1)^{n} ln n / n$

centrale

On pourra introduire la fonction

f : t \mapsto \frac{ln t}{t}

Q1-Donner un développement asymptotique à deux termes de

u_{n} = p = 2 \sum n \frac{ln p}{p}

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128. $Série alternée (- 1)^{n} \int tan^{n} t d t$

centrale

On note

u_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t

Q1-Déterminer la limite de

u_{n}

Q2-Trouver une relation de récurrence entre

u_{n}

u_{n + 2}

Q3-Donner la nature de la série de terme général

(- 1)^{n} u_{n}

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129. $Existence et limite de Φ_{j}$

centrale

Soit

j \in N

. On note

Φ_{j}

le plus petit entier

p \in N^{*}

vérifiant

n = 1 \sum p \frac{1}{n} \geq j

Q1-Justifier la définition de

Φ_{j}

Q2-Démontrer que

Φ_{j} j \to + \infty + \infty

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130. $Croissance de u_{n} selon α$

centrale

Soit

α > 0

(u_{n})_{n \geq 1}

la suite définie par :

u_{1} > 0 et \forall n \geq 1, u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{n ^{α} u _{n}} .

Q1-Condition nécessaire et suffisante sur

α

pour que

(u_{n})

converge.

Q2-Équivalent de

u_{n}

dans le cas où

(u_{n})

diverge.

Q3-

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131. $Nature de \sum (- 1)^{p} / (p + 1)^{α}$

centrale

On pose

u_{n} = p = n \sum + \infty \frac{1}{( p + 1 ) ^{α}} et v_{n} = p = n \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{p}}{( p + 1 ) ^{α}} .

Q1-Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n}

selon

α

Q2-Déterminer la nature de la série de terme général

v_{n}

selon

α

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132. $Défaut de limite de sin (n^{1/3})$

centrale

Soit, pour

x \in R

f (x) = \frac{cos ( x ^{1/3} )}{x ^{2/3}} .

Q1-Nature de la série de terme général

u_{n} = \int_{n}^{n + 1} f (x) d x - f (n)

Q2-Nature de la série de terme général

f (n)

. On pourra montrer que

sin (n^{1/3})

n'admet pas de limite quand

n \to + \infty

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133. $Séries \int_{0}^{1} x^{n} / (1 + \dots + x^{n})$

centrale

On pose

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x + \dots + x ^{n}}

v_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} d x}{1 + x + \dots + x ^{n}}

Q1-Étudier

\sum u_{n}

Q2-Étudier

\sum v_{n}

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134. $Suite u_{n + 1} = ((n + u_{n}^{- 1}) / n)^{1/ n}$

centrale

Former un développement asymptotique à trois termes de la suite

(u_{n})

définie par

u_{1} = 1 et \forall n \in N^{*}, u_{n + 1} = (\frac{n + u _{n}^{- 1}}{n})^{1/ n} .

135. $Comparaison e_{n} et le reste r_{n}$

centrale

Soit

e = (e_{n})_{n \in N}

une suite décroissante à termes strictement positifs telle que la série

\sum e_{n}

converge. On pose

s = n = 0 \sum + \infty e_{n}

r_{n} = k = n + 1 \sum + \infty e_{k}

pour

n \in N

. On introduit

G = {n = 0 \sum + \infty d_{n} e_{n} ∣ (d_{n}) \in {- 1, 1}^{N}} .

On dit que la suite

e

est une base discrète lorsque

G

est un intervalle.

Q1-Montrer que

G

est bien défini. Déterminer son maximum et son minimum.

Q2-On suppose que

(e_{n})

est une base discrète. Montrer que

e_{n} \leq r_{n}

pour tout

n \in N

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136. $Transformée de Legendre-Fenchel$

centrale

Soit

I

un intervalle de

R

f : I \to R

. On pose :

I^{*} = {λ \in R ∣ x \in I sup (λ x - f (x)) < + \infty}

et, pour

λ \in I^{*}

f^{*} (λ) = x \in I sup (λ x - f (x)) .

Q1-Montrer que

I^{*}

est un intervalle et que

f^{*}

y est convexe.

Q2-On suppose

f

de classe

C^{1}

f^{'}

strictement croissante. Montrer

\forall x \in I, f^{*} (f^{'} (x)) = x f^{'} (x) - f (x)

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137. $Équation fonctionnelle par séries$

centrale

Soit

(u_{n})

une suite de réels de

[0, 1]

de limite

1

.
Déterminer les fonctions

f \in C ([0, 1], R)

vérifiant

\forall x \in [0, 1], f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{f ( u _{n} x + 1 - x )}{2 ^{n}} .

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138. $Interversion de sommes, (- 1)^{k} / k^{2}$

mines

Nature et calcul de la somme de la série de terme général

u_{n} = k = n \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ^{2}} .

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139. $Écart à la limite de a^{\sum 1/ k^{α}}$

mines

Soient

(a, α) \in R_{+} \times R

et, pour

n \in N^{*}

u_{n} = a^{\sum_{k = 1}^{n} 1/ k^{α}} .

Q1-Pour quels couples

(a, α)

la suite

(u_{n})

est-elle convergente ? Dans la suite, on suppose que tel est le cas, on note

ℓ = lim u_{n}

et on pose, si

n \in N^{*}

v_{n} = u_{n} - ℓ

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140. $Inverses de sommes de carrés$

mines

Convergence puis calcul de

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}} .

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141. $Série alternée en 4 n + 1$

mines

Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{4 n + 1} .

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142. $Comparaison série-intégrale, ln x$

mines

On pose

f (x) = \frac{sin ( ln x )}{x}

pour tout

x \geq 1

u_{n} = \int_{n - 1}^{n} f (t) d t - f (n)

pour tout entier

n \geq 2

Q1-Montrer que

f^{'}

est intégrable sur

[1; + \infty [

Q2-Montrer que la série de terme général

u_{n}

est absolument convergente.

Q3-Montrer que la suite

(cos (ln n))

diverge.

Q4-

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143. $Mines-Télécom MP 2018$

Convergence et somme de la série

n \in N \sum u_{n}

, où

u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} sin (π x) d x

. On pourra travailler sur les sommes partielles de la série.

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144. $X (non PC/PSI) MP 2021$

On pose

u_{n} = k = 1 \sum n k^{2}

pour tout

n \in N^{*}

. Calculer

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{n}}

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145. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Questions sur la convergence des séries et les suites décroissantes.

Q1-Donner la définition de la convergence d'une série puis montrer que si

\sum u_{n}

converge alors la suite

(u_{n})

tend vers

0

Q2-Soit

(u_{n})

une suite décroissante telle que

\sum u_{n}

converge.
a. On suppose que

n \to \infty lim n u_{n} = λ \in R \cup {- \infty; + \infty}

. Montrer que

λ = 0

.
b. Montrer que

n \to \infty lim n u_{n} = 0

.
c. Montrer que la série

\sum n (u_{n} - u_{n + 1})

converge puis montrer que

n = 1 \sum + \infty u_{n} = n = 0 \sum + \infty n (u_{n} - u_{n + 1})

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146. $CCINP (ou CCP) PSI 2019$

Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan (x))^{n} d x

Q1-Calculer la limite de

I_{n}

lorsque

n

tend vers

+ \infty

Q2-Pour

n \in N

, calculer

I_{n} + I_{n + 2}

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147. $CCINP (ou CCP) PC 2021$

On pose pour tout entier

n \geq 2

u_{n} = k = 2 \prod n (2 - e^{\frac{1}{k}})

et pour tout entier

n \geq 3

v_{n} = ln (\frac{n u _{n}}{( n - 1 ) u _{n - 1}})

Montrer que la série

n \geq 2 \sum v_{n}

converge, puis que la série

n \geq 3 \sum u_{n}

diverge.

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148. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Étude d'une suite

(u_{n})

définie par une intégrale.

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, il existe un unique

u_{n} \in] 0, 1]

tel que

\int_{u_{n}}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t = n

. On pourra considérer la fonction

x \mapsto \int_{x}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t

Q2-Étudier la monotonie de

(u_{n})

et sa limite.

Q3-On pose

v_{n} = n + ln u_{n}

. Montrer que

(v_{n})

converge et exprimer sa limite sous forme d'une intégrale.

Q4-Quelle est la nature de la série

\sum u_{n}

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149. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Soit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

une suite réelle telle que :

a_{1} = 1 et \forall n \geq 2, a_{n} = 2 a_{⌊ n /2 ⌋}

Montrer que

(a_{n})

est définie, puis que la série

n \in N^{*} \sum \frac{1}{a _{n}^{2}}

converge et calculer sa somme.

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150. $Centrale-Supélec MP 2019$

Soit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

une suite de réels strictement positifs telle que

n \to \infty lim a_{n} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) = 1

Q1-Montrer que la suite

(a_{n})

converge vers

0

et que

n \in N^{*} \sum a_{n}^{2}

diverge.

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151. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Théorème de Cesàro et applications aux suites récurrentes.

Q1-Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite numérique. Montrer que :

n \to + \infty lim u_{n} = ℓ ⟹ n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 u_{k} = ℓ

Q2-Soient

a > 0

λ > 0

α > 1

f : [0, a] \to [0, a]

continue admettant un développement asymptotique en

0

de la forme :

f (x) x \to 0 = x - λ x^{α} + o (x^{α})

a. Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que

0

soit le seul point fixe de

f

dans

[0, ε]

.
b. On définit

(u_{n})_{n \in N}

telle que

u_{0} \in [0, ε]

\forall n \in N, u_{n + 1} = f (u_{n})

. Montrer que

(u_{n})

converge vers

0

.
c. Trouver un équivalent de

f (x)^{1 - α} - x^{1 - α}

quand

x

tend vers

0

.
d. En déduire un équivalent de

u_{n}

quand

n

tend vers

+ \infty

.
e. Appliquer aux fonctions

x \mapsto sin x

x \mapsto ln (1 + x)

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152. $Série (- 1)^{n} / (n + (- 1)^{n})$

Déterminer la nature de la série

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + ( - 1 ) ^{n}}

153. $Constante γ d'Euler$

Étude de la constante d'Euler.

Q1-Montrer que

ln (n) - ln (n - 1) n \to + \infty = \frac{1}{n} + O (\frac{1}{n ^{2}})

Q2-En déduire qu'il existe

γ \in R

tel que

k = 1 \sum n \frac{1}{k} n \to + \infty = ln (n) + γ + o (1)

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154. $Navale PSI 2019$

Trouver un équivalent de

k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{3}}

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155. $CCINP (ou CCP) MP 2022$

On pose :

\forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{1}{3 ^{n} n !} k = 1 \prod n (3 k - 2) et v_{n} = \frac{1}{n ^{2/3}}

Q1-Montrer que :

\forall n \in N^{*}, \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \geq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

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156. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

Inégalité de Hilbert pour les familles sommables.

Q1-Pour

n \in Z

, calculer

\int_{0}^{2 π} t e^{- in t} d t

Q2-Soient

I

une partie finie de

N^{*}

(a_{n})_{n \in I}

(b_{n})_{n \in I}

deux suites finies de réels positifs. Montrer que

(n, m) \in I^{2} \sum \frac{a _{n} b _{m}}{n + m} \leq π n \in I \sum a_{n}^{2} n \in I \sum b_{n}^{2}

Q3-Soient

(a_{n})_{n \in N^{*}}

(b_{n})_{n \in N^{*}}

deux suites réelles telles que les familles

(a_{n}^{2})_{n \in N^{*}}

(b_{n}^{2})_{n \in N^{*}}

soient sommables. Montrer que

(\frac{a _{n} b _{m}}{n + m})_{(n, m) \in (N^{*})^{2}}

est sommable et que

(n, m) \in (N^{*})^{2} \sum \frac{a _{n} b _{m}}{n + m} \leq π n \in N^{*} \sum a_{n}^{2} n \in N^{*} \sum b_{n}^{2}

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157. $Série a^{n^{2}} n 2 / (n 2 + b^{n})$

Étudier la nature de la série de terme général

u_{n} = \frac{a ^{n^{2}} \cdot n 2}{n 2 + b ^{n}}

où

a, b > 0

158. $Comparaison \sum u_{n} et \sum u_{n} / S_{n}$

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive. On pose

S_{n} = p = 0 \sum n u_{p}

. Comparer la nature des séries

n \in N \sum u_{n}

n \in N \sum \frac{u _{n}}{S _{n}}

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159. $Critère de Raabe-Duhamel$

Soit

(u_{n})

(v_{n})

des suites de réels strictement positifs.

Q1-Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites de réels strictement positifs vérifiant

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \leq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

à partir d'un certain rang. Montrer que

u_{n} = O (v_{n})

Q2-Soit

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs telle que

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1 - \frac{α}{n} + o (\frac{1}{n})

. On suppose

α > 1

. À l'aide d'une comparaison avec une série de Riemann, montrer que

\sum u_{n}

converge.

Q3-Avec les mêmes notations, on suppose

α < 1

. Montrer que

\sum u_{n}

diverge.

Q4-Avec les mêmes notations, on suppose

α = 1

. Montrer à l'aide d'exemples qu'on ne peut rien conclure en général.

Q5-Application. Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \frac{2 \times 4 \times \dots \times ( 2 n )}{3 \times 5 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}

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160. $Séries et développements limités$

Déterminer la nature des séries suivantes.

Q1-

n \in N^{*} \sum (tan (\frac{1}{n}) - \frac{1}{n})

Q2-

n \in N^{*} \sum (n 3 - n 2)

Q3-

n \in N^{*} \sum ln (cos (\frac{1}{n}))

Q4-

n \in N^{*} \sum (cosh (\frac{1}{3 n}) - sinh (\frac{1}{n}) n)

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121.

122.Asymptotique de ∫0∞​1+xndx​

123.Intégrale de t−⌊t⌋

124.Comparaison série-intégrale, f′′

125.Preuve du critère spécial alterné

126.Série (−1)n⌊lnn/ln2⌋/n

127.Somme ∑(−1)nlnn/n

128.Série alternée (−1)n∫tanntdt

129.Existence et limite de Φj​

130.Croissance de un​ selon α

131.Nature de ∑(−1)p/(p+1)α

132.Défaut de limite de sin(n1/3)

133.Séries ∫01​xn/(1+⋯+xn)

134.Suite un+1​=((n+un−1​)/n)1/n

135.Comparaison en​ et le reste rn​

136.Transformée de Legendre-Fenchel

137.Équation fonctionnelle par séries

138.Interversion de sommes, (−1)k/k2

139.Écart à la limite de a∑1/kα

140.Inverses de sommes de carrés

141.Série alternée en 4n+1

142.Comparaison série-intégrale, lnx

143.Mines-Télécom MP 2018

144.X (non PC/PSI) MP 2021

145.CCINP (ou CCP) MP 2021

146.CCINP (ou CCP) PSI 2019

147.CCINP (ou CCP) PC 2021

148.CCINP (ou CCP) MP 2021

149.Banque Mines-Ponts MP 2021

150.Centrale-Supélec MP 2019

151.Banque Mines-Ponts MP 2021

152.Série (−1)n/(n​+(−1)n)

153.Constante γ d'Euler

154.Navale PSI 2019

155.CCINP (ou CCP) MP 2022

156.Banque Mines-Ponts MP 2018

157.Série an2n2​/(n2​+bn)

158.Comparaison ∑un​ et ∑un​/Sn​

159.Critère de Raabe-Duhamel

160.Séries et développements limités

122. $Asymptotique de \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{n}}$

123. $Intégrale de t - ⌊ t ⌋$

124. $Comparaison série-intégrale, f^{''}$

125. $Preuve du critère spécial alterné$

126. $Série (- 1)^{n} ⌊ ln n / ln 2 ⌋ / n$

127. $Somme \sum (- 1)^{n} ln n / n$

128. $Série alternée (- 1)^{n} \int tan^{n} t d t$

129. $Existence et limite de Φ_{j}$

130. $Croissance de u_{n} selon α$

131. $Nature de \sum (- 1)^{p} / (p + 1)^{α}$

132. $Défaut de limite de sin (n^{1/3})$

133. $Séries \int_{0}^{1} x^{n} / (1 + \dots + x^{n})$

134. $Suite u_{n + 1} = ((n + u_{n}^{- 1}) / n)^{1/ n}$

135. $Comparaison e_{n} et le reste r_{n}$

136. $Transformée de Legendre-Fenchel$

137. $Équation fonctionnelle par séries$

138. $Interversion de sommes, (- 1)^{k} / k^{2}$

139. $Écart à la limite de a^{\sum 1/ k^{α}}$

140. $Inverses de sommes de carrés$

141. $Série alternée en 4 n + 1$

142. $Comparaison série-intégrale, ln x$

143. $Mines-Télécom MP 2018$

144. $X (non PC/PSI) MP 2021$

145. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

146. $CCINP (ou CCP) PSI 2019$

147. $CCINP (ou CCP) PC 2021$

148. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

149. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

150. $Centrale-Supélec MP 2019$

151. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

152. $Série (- 1)^{n} / (n + (- 1)^{n})$

153. $Constante γ d'Euler$

154. $Navale PSI 2019$

155. $CCINP (ou CCP) MP 2022$

156. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

157. $Série a^{n^{2}} n 2 / (n 2 + b^{n})$

158. $Comparaison \sum u_{n} et \sum u_{n} / S_{n}$

159. $Critère de Raabe-Duhamel$

160. $Séries et développements limités$