Exercices de Séries numériques, Spé (prépa) (page 2)

Montrer que$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n{8}^n}{(2n)!}$$est un réel négatif.

On rappelle la convergence de l'intégrale de Dirichlet $I={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt$. En observant$$I=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n{\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{n\pi +t}dt$$déterminer le signe de $I$.

On pose $s_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$ et $u_n=\ln (e^{s_n}-1)$.

$(a)$ Énoncer le théorème des séries spéciales alternées, en faire la preuve.

$(b)$ Prouver que les suites $(s_n{)}_{n\ge 1}$ et $(u_n{)}_{n\ge 1}$ convergent.

$(c)$ Étudier la nature de $\sum u_n$.

Déterminer les natures des séries

$(a)$ $\sum \frac{(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }}{n}$

$(b)$ $\sum \frac{(-1{)}^{\lfloor \ln n\rfloor }}{n}$

Déterminer la nature de la série de terme général$$u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}}{n^{\alpha }}$$(avec $\alpha \in \mathbb{R}$). Même question avec la série de terme général $(-1{)}^n{u}_n$.

Soit $\alpha >0$. Préciser la nature de la série $\sum _{n\ge 2}{u}_n$ avec$$u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n^{\alpha }+(-1{)}^n}}.$$

Étudier la nature de la série de terme général$$u_n=\ln \left(1+\sin \frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}\right)$$pour $\alpha >0$.

Nature de la série de terme général$$u_n=\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}\right)$$où $a>0$.

Nature de la série de terme général$$u_n=\ln \frac{\sqrt{n}+(-1{)}^n}{\sqrt{n}+a}$$où $a\in \mathbb{R}$.

Soient $(a,\alpha )\in {\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}$ et, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :$$u_n=a^{{\sum }_{k=1}^{n}1/k^{\alpha }}.$$$(a)$ Pour quels couples $(a,\alpha )$ la suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Dans la suite, on suppose que tel est le cas, on note $\ell =\lim u_n$ et on pose $v_n=u_n-\ell$.

$(b)$ Nature des séries de termes généraux $v_n$ et $(-1{)}^n{v}_n$.

Soient $p\in \mathbb{N}$ et $\alpha >0$. Déterminer la nature des séries de termes généraux$$v_n={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{p}\right)}^{-\alpha }\text{et}{w}_n=(-1{)}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{p}\right)}^{-\alpha }.$$

$(a)$ En posant $x=\tan t$, montrer$${\int }_0^{\pi /2}\frac{dt}{1+a{\sin }^2(t)}=\frac{\pi }{2\sqrt{1+a}}.$$$(b)$ Donner en fonction de $\alpha >0$ la nature de la série $\sum {\int }_0^{\pi }\frac{dt}{1+(n\pi {)}^{\alpha }{\sin }^2(t)}$.

$(c)$ Même question pour $\sum {\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{dt}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}$.

$(d)$ Donner la nature de l'intégrale ${\int }_0^{+\infty }\frac{dt}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}$.

On pose$$u_n=\sum _{p=n}^{+\infty }\frac{1}{(p+1{)}^{\alpha }}\text{et}{v}_n=\sum _{p=n}^{+\infty }\frac{(-1{)}^p}{(p+1{)}^{\alpha }}.$$$(a)$ Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$ selon $\alpha$.

$(b)$ Déterminer la nature de la série de terme général $v_n$ selon $\alpha$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose ${\Sigma }_n=\sum _{k=1}^n\sin k$ et $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{\sin k}{k}$.

$(a)$ Montrer que $({\Sigma }_n{)}_{n\ge 1}$ est bornée.

$(b)$ En déduire que $(S_n{)}_{n\ge 1}$ converge.

Soit $\theta \in \mathbb{R}$ non multiple de $2\pi$. On pose $S_n=\sum _{k=0}^n\cos (k\theta )$ et $u_n=\frac{\cos (n\theta )}{n}$.

$(a)$ Montrer que la suite $(S_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.

$(b)$ En observant que $\cos (n\theta )=S_n-S_{n-1}$, établir que la série de terme général $u_n$ converge.

$(c)$ En exploitant l'inégalité $|\cos x|\ge {\cos }^{2}x$, établir que la série de terme général $|u_n|$ diverge.

Soient $(a_n)$ une suite positive décroissante de limite nulle et $(S_n)$ une suite bornée.

$(a)$ Montrer que la série $\sum (a_n-a_{n+1})S_n$ est convergente.

$(b)$ En déduire que la série $\sum a_n(S_n-S_{n-1})$ est convergente.

$(c)$ Établir que pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus 2\pi \mathbb{Z}$, la série $\sum \frac{\cos (nx)}{n}$ est convergente.

$(a)$ Montrer l'existence, pour $\theta \in ]0;\pi [$, d'un majorant $M_{\theta }$ de la valeur absolue de $S_n=\sum _{k=1}^n\cos (k\theta )$.

$(b)$ Montrer que $x\mapsto \frac{\sqrt{x}}{x-1}$ est décroissante sur $[2;+\infty [$.

$(c)$ En remarquant que $\cos (n\theta )=S_n-S_{n-1}$, étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\frac{\sqrt{n}}{n-1}\cos (n\theta )$.

$(d)$ En utilisant $|\cos (k\theta )|\ge {\cos }^2(k\theta )$, étudier la convergence de $\sum |u_n|$.

Soit $z_n$ le terme général d'une série complexe convergente. Établir la convergence de la série$$\sum _{n\ge 1}\frac{z_n}{n}.$$

Soit $(a_n)$ une suite complexe. On suppose que la série $\sum \frac{a_n}{n}$ diverge. Établir que pour tout $\alpha \in ]-\infty ;1]$, la série $\sum \frac{a_n}{n^{\alpha }}$ diverge aussi.

Soit $(u_n{)}_{n\ge 1}$ une suite décroissante de réels strictement positifs.

$(a)$ On suppose que $\sum u_n$ converge. Montrer que la série de terme général $v_n=n(u_n-u_{n+1})$ converge et $\sum _{n=1}^{+\infty }{v}_n=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n$.

$(b)$ Réciproquement, on suppose que la série de terme général $n(u_n-u_{n+1})$ converge. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge si, et seulement si, la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

$(c)$ Donner un exemple de suite $(u_n)$ qui ne converge pas vers $0$, alors que la série de terme général $n(u_n-u_{n+1})$ converge.

On donne une suite réelle $(a_n)$. On suppose que les séries $\sum a_n$ et $\sum |a_{n+1}-a_n|$ convergent. Montrer que la série $\sum a_n^2$ converge.

Existence et valeur de$$\sum _{n=2}^{+\infty }\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n}\right).$$

Nature et calcul de la somme de la série de terme général$$\sum _{k=n}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k^2}.$$

On pose $u_n={\int }_0^1{x}^n\sin (\pi x)dx$. Montrer que la série $\sum u_n$ converge et que sa somme vaut ${\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt$.

Étudier$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{m\to +\infty }{\lim }\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m(-1{)}^{i+j}{t}^{i+j+1}.$$

Soit $\alpha >0$. Montrer$$\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{k+\alpha }={\int }_0^1\frac{x^{\alpha -1}}{1+x}dx.$$

Soit $x\in ]-1;1[$. Calculer $\sum _{k=0}^{+\infty }k{x}^k$.

Calculer $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{4n+1}$.

Calculer $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}$.

Soit, pour $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\cos (x^{1/3})}{x^{2/3}}$.

$(a)$ Nature de la série de terme général $u_n={\int }_n^{n+1}f(x)dx-f(n)$.

$(b)$ Nature de la série de terme général $f(n)$. On pourra montrer que $\sin (n^{1/3})$ n'admet pas de limite quand $n\to +\infty$.

$(c)$ Nature de la série de terme général $\frac{\sin (n^{1/3})}{n^{2/3}}$.

On pose $f(x)=\frac{\sin (\ln x)}{x}$ pour tout $x\ge 1$ et $u_n={\int }_{n-1}^{n}f(t)dt-f(n)$ pour tout entier $n\ge 2$.

$(a)$ Montrer que $f^{\prime }$ est intégrable sur $[1;+\infty [$.

$(b)$ Montrer que la série de terme général $u_n$ est absolument convergente.

$(c)$ Montrer que la suite $(\cos (\ln n))$ diverge.

$(d)$ En déduire la nature de la série de terme général $f(n)$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, soit $f_n:x\in ]n;+\infty [\to \sum _{k=1}^n\frac{1}{x-k}$. Soit $a>0$. Montrer qu'il existe un unique réel, noté $x_n$, tel que $f_n(x_n)=a$. Déterminer un équivalent de $x_n$ quand $n\to +\infty$.

Étudier$$\underset{n\to +\infty }{\lim }n\sum _{k=n}^{+\infty }\left(\frac{1}{k^2}{e}^{n/k}\right).$$

Soit $f:[0;+\infty [\to \mathbb{R}$ continue, positive et croissante. Établir que les objets suivants ont même nature :$${\int }_0^{+\infty }f(e^{-t})dt,\sum f(e^{-n})\text{et}\sum \frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right).$$

Soit $f:[1;+\infty [\to \mathbb{R}$ une fonction strictement positive, de classe ${\mathcal{C}}^1$ et de dérivée décroissante et de limite nulle en $+\infty$. Montrer que les séries $\sum f^{\prime }(n)$ et $\sum \frac{f^{\prime }(n)}{f(n)}$ ont même nature.

Soit $f:[1;+\infty [\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ dont la dérivée est décroissante et de limite nulle.

Soit $f:[1;+\infty [\to \mathbb{C}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$. On suppose qu'il existe $M\in {\mathbb{R}}_{+}$ vérifiant, pour tout $x\ge 1$, ${\int }_1^x|f^{\prime }(t)|dt\le M$.

$(a)$ Montrer $\sum f(n)$ converge $⟺$ $\left({\int }_1^{n}f(t)dt\right)$ converge.

$(b)$ Application : Déterminer la nature de la série $\sum \frac{\sin (\ln n)}{n}$.

On pose $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+\sqrt{k}}$.

$(a)$ Donner un équivalent simple de $S_n$.

$(b)$ Montrer que $S_n=\ln n+C+o(1)$.

On pose $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}$.

$(a)$ Montrer que $(S_n{)}_{n\ge 1}$ converge vers une constante $C$.

$(b)$ Établir que $S_n=C-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$.