Exercices de Séries numériques en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $Série e^{a n^{2}} (1 - a / n)^{n^{3}}$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = e^{a n^{2}} (1 - \frac{a}{n})^{n^{3}}

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163. $Séries de Bertrand$

Soit

(α, β) \in R^{2}

. On pose

u_{n} = \frac{1}{n ^{α} ( ln n ) ^{β}}

pour

n \in N ∖ {0, 1}

et on s'intéresse à la convergence de la série

n \geq 2 \sum u_{n}

Q1-On suppose

α > 1

. Montrer que

n \geq 2 \sum u_{n}

converge.

Q2-On suppose

α < 1

. Montrer que

n \geq 2 \sum u_{n}

diverge.

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164. $Règle de Cauchy$

Soit

(u_{n})

une suite de réels positifs. On suppose que la suite de terme général

n u_{n}

admet une limite

ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

Q1-Montrer que si

ℓ < 1

, la série

\sum u_{n}

converge.

Q2-Montrer que si

ℓ > 1

, la série

\sum u_{n}

diverge.

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165. $Point fixe de Picard via une série$

Soient

f : R \to R

k

-lipschitzienne avec

k < 1

(x_{n})

une suite telle que

x_{n + 1} = f (x_{n})

pour tout

n \in N

Q1-Montrer que

∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ \leq k^{n} ∣ x_{1} - x_{0} ∣

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166. $CCINP PC 2021$

On pose pour tout entier

n \geq 2

u_{n} = k = 2 \prod n (2 - e^{1/ k})

et pour tout entier

n \geq 3

v_{n} = ln (\frac{n u _{n}}{( n - 1 ) u _{n - 1}})

.
Montrer que la série

n \geq 3 \sum v_{n}

converge, puis que la série

n \geq 2 \sum u_{n}

diverge.

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167. $CCINP MP 2021$

On étudie une suite

(u_{n})

définie implicitement par une équation intégrale, dont on précise le comportement asymptotique afin d'en déduire la nature d'une série associée.

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, il existe un unique

u_{n} \in] 0, 1]

tel que

\int_{u_{n}}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t = n

. On pourra considérer la fonction

x \mapsto \int_{x}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t

Q2-Étudier la monotonie de

(u_{n})

et sa limite.

Q3-On pose

v_{n} = n + ln u_{n}

. Montrer que

(v_{n})

converge et exprimer sa limite sous forme d'une intégrale.

Q4-Quelle est la nature de la série

\sum u_{n}

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168. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Soit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

une suite réelle telle que

a_{1} = 1

\forall n \geq 2, a_{n} = 2 a_{⌊ n /2 ⌋}

.
Montrer que

(a_{n})

est définie, puis que la série

n \in N^{*} \sum \frac{1}{a _{n}^{2}}

converge et calculer sa somme.

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169. $Mines-Télécom MP 2019$

On considère la série

n \geq 0 \sum u_{n}

à termes positifs et

n \geq 0 \sum v_{n}

avec

v_{n} = \frac{1}{1 + n ^{2} u _{n}}

Q1-Dans cette question uniquement,

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n ^{α}}

α \in R

. Quelle est la nature de la série

\sum v_{n}

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170. $Mines-Télécom MP 2024$

Soit

α > 0

. Posons

u_{n} = arctan (n + α) - arctan (n)

. Déterminer la nature de la série

\sum u_{n}

. On utilisera l'inégalité des accroissements finis.

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171. $Somme \sum n / (n^{4} + n^{2} + 1)$

Montrer la convergence et calculer la somme de la série

n \geq 0 \sum \frac{n}{n ^{4} + n ^{2} + 1}

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172. $Somme \sum 1/ (n n + p)$

Soit

p \in N ∖ {0, 1}

. Convergence de la série

n \in N \sum \frac{1}{( n n + p )}

et calcul de la somme.

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173. $Taylor-Lagrange$

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange prouver la convergence et déterminer la somme des séries suivantes.

Q1-

n \geq 0 \sum \frac{x ^{n}}{n !}

pour

x \in R

Q2-

n \in N \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}

n \in N \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}

pour

x \in R

Q3-

n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}

pour

x \in [0, 1]

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174. $Série harmonique alternée, ln 2$

En remarquant que

\frac{1}{k} = \int_{0}^{1} t^{k - 1} d t

, montrer la convergence de la série

n \in N^{*} \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

et déterminer sa somme.

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175. $X MP 2021$

On pose

u_{n} = k = 1 \sum n k^{2}

pour tout

n \in N^{*}

. Calculer

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{n}}

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176. $CCINP MP 2021$

On étudie le lien entre la convergence d'une série et le comportement asymptotique de son terme général, dans le cas particulier d'une suite décroissante.

Q1-Donner la définition de la convergence d'une série puis montrer que si

\sum u_{n}

converge alors la suite

(u_{n})

tend vers

0

Q2-Soit

(u_{n})

une suite décroissante telle que

\sum u_{n}

converge. On suppose que

n \to \infty lim n u_{n} = λ \in R \cup {- \infty, + \infty}

. Montrer que

λ = 0

Q3-Avec les mêmes notations, montrer que

n \to \infty lim n u_{n} = 0

Q4-Avec les mêmes notations, montrer que la série

\sum n (u_{n} - u_{n + 1})

converge puis montrer que

n = 1 \sum + \infty u_{n} = n = 0 \sum + \infty n (u_{n} - u_{n + 1})

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177. $CCINP PSI 2019$

Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan (x))^{n} d x

Q1-Calculer la limite de

I_{n}

lorsque

n

tend vers

+ \infty

Q2-Pour

n \in N

, calculer

I_{n} + I_{n + 2}

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178. $Équivalents des séries de Riemann$

Déterminer un équivalent de la somme partielle de la série

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}

lorsque

α \leq 1

. Déterminer un équivalent du reste de la série

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}

lorsque

α > 1

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179. $Comparaison série-intégrale, ln (n!)$

Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = ln (n!)

Q1-Par une comparaison à une intégrale montrer que

u_{n} \sim n ln n

Q2-Déterminer la nature de la série

n \geq 2 \sum \frac{1}{u _{n}^{2}}

Q3-Montrer que la fonction

f : x \mapsto \frac{1}{x ln x}

est décroissante sur

] 1, + \infty [

Q4-À l'aide d'une comparaison à une intégrale, déterminer la nature de la série

n \geq 2 \sum \frac{1}{u _{n}}

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180. $CCINP MP 2023$

On pose

u_{n} = k = 1 \sum n (ln (k))^{2}

pour tout

n \in N^{*}

Q1-Montrer que

\sum u_{n}

diverge.

Q2-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

\int_{1}^{n} (ln (t))^{2} d t \leq u_{n} \leq \int_{2}^{n + 1} (ln (t))^{2} d t

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181. $Mines Télécom PC$

On pose pour tout entier

n \geq 2

u_{n} = k = 2 \prod n (2 - 3^{1/ k})

Q1-Montrer que la suite

(u_{n})

converge.

Q2-Déterminer sa limite.

Q3-Montrer qu'il existe

α > 0

tel que

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{α}{n ^{l n 3}}

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182. $CCINP MP 2022$

On pose

\forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{1}{3 ^{n} n !} k = 1 \prod n (3 k - 2)

v_{n} = \frac{1}{n ^{2/3}}

Q1-Montrer que

\forall n \in N^{*}, \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \geq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

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183. $Série des restes de la série harmonique alternée$

On étudie la convergence de la série harmonique alternée, puis celle de la série formée par ses restes successifs.

Q1-Montrer que la série

n \in N^{*} \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge.

Q2-On pose

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k}

pour

n \in N

. Montrer que la série

n \in N \sum R_{n}

converge.

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184. $Équivalent de \sum (- 1)^{k} k$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

b_{n} = k = 1 \sum n (- 1)^{k} k

Q1-Déterminer un équivalent de

b_{n}

Q2-Montrer que

(b_{n} + b_{n + 1})

converge vers une limite strictement négative.

Q3-Déterminer la nature de

n \geq 1 \sum \frac{1}{b _{n}}

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185. $D'après Mines-Télécom MP 2016$

Soit

(v_{n})

une suite telle que

v_{n} = \frac{cos ( v _{n - 1} )}{n}

pour tout

n \in N^{*}

Q1-Déterminer la limite puis un équivalent de

v_{n}

. En déduire la nature de la série

n \in N^{*} \sum v_{n}

Q2-Montrer que la série

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge.

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186. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = cos (n^{2} π ln (\frac{n}{n + 1}))

. Déterminer la nature de la série

\sum u_{n}

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187. $Série sin (π n^{2} + 1)$

Déterminer la nature de la série

n \in N \sum sin (π n^{2} + 1)

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188. $Nécessité du DL à l'ordre 2$

Déterminer la nature de la série

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + ( - 1 ) ^{n}}

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189. $CCINP PC 2019$

On pose

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

pour tout entier

n \geq 2

Q1-Nature de

n \geq 2 \sum ln (1 + a_{n})

Q2-Déterminer

n \to + \infty lim (k = 2 \prod n (1 + a_{k}))

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190. $CCINP PSI 2019$

On étudie une suite

(u_{n})

définie implicitement par une équation polynomiale dépendant de

n

, puis la nature de deux séries associées à cette suite.

Q1-Montrer que l'équation

x^{n} + x n - 1 = 0

a une unique solution dans

[0, 1]

, notée

u_{n}

, pour

n \in N^{*}

Q2-Montrer que la suite

(u_{n})

a pour limite

0

Q3-Quelle est la nature de la série

\sum u_{n}

Q4-Quelle est la nature de la série

\sum (- 1)^{n} u_{n}

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191. $Deux lemmes de Cesàro$

Soit

(u_{n})

une suite réelle de limite

ℓ \in R^{*}

Q1-Montrer que la suite de terme général

\frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}

converge vers

ℓ

Q2-Déterminer la limite de la suite de terme général

\frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k u_{k}

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192. $Centrale-Supélec MP 2019$

Soit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

une suite de réels strictement positifs telle que

n \to \infty lim a_{n} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) = 1

Q1-Montrer que la suite

(a_{n})

converge vers

0

et que

n \in N^{*} \sum a_{n}^{2}

diverge.

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193. $Équivalent de u_{n + 1} = sin (u_{n})$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} \in [0, \frac{π}{2}]

et la relation de récurrence

u_{n + 1} = sin (u_{n})

Q1-Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

Q2-Déterminer

α \in R

tel que la suite de terme général

u_{n + 1}^{α} - u_{n}^{α}

converge vers un réel non nul.

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194. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

On démontre le lemme de Césaro, puis on l'applique à l'étude asymptotique d'une suite récurrente définie à partir du développement limité en

0

d'une fonction.

Q1-Soit

(u_{n})_{n \in N} \in C^{N}

convergeant vers

ℓ \in C

. On pose

v_{n} = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n u_{k}

pour

n \in N

. Montrer que

(v_{n})

converge également vers

ℓ

Q2-Soient

a > 0

λ > 0

α > 1

f : [0, a] \to [0, a]

continue admettant un développement asymptotique en

0

de la forme

f (x) = x - λ x^{α} + o (x^{α})

. Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que

0

soit le seul point fixe de

f

dans

[0, ε]

Q3-On définit

(u_{n})

telle que

u_{0} \in [0, ε]

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Montrer que

(u_{n})

converge vers

0

Q4-Trouver un équivalent de

f (x)^{1 - α} - x^{1 - α}

quand

x \to 0

Q5-En déduire un équivalent de

u_{n}

quand

n \to + \infty

Q6-Appliquer aux fonctions

x \mapsto sin x

x \mapsto ln (1 + x)

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195. $Équivalent de u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

Soit

(u_{n})

la suite de premier terme

u_{0} \in] 0, 1 [

telle que

u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}

pour tout

n \in N

Q1-Montrer que

(u_{n})

converge et déterminer sa limite.

Q2-En remarquant que

\frac{1}{u _{n + 1}} - \frac{1}{u _{n}} = \frac{u _{n}}{u _{n + 1}}

, déterminer un équivalent de

u_{n}

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196. $Cesàro d'une convolution a_{k} b_{n - k}$

On établit le lemme de Césaro, puis on l'applique à une moyenne de convolution (produit de Cauchy) de deux suites convergentes.

Q1-Soit

(u_{n}) \in C^{N}

convergeant vers

ℓ \in C

. On pose

v_{n} = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n u_{k}

pour

n \in N

. Montrer que

(v_{n})

converge également vers

ℓ

Q2-Soient

(a_{n})

(b_{n})

des suites complexes convergeant respectivement vers

a

b

. On pose

c_{n} = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}

. Montrer que

(c_{n})

converge vers

ab

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197. $Équivalent de a_{n + 1} = 1 - e^{- a_{n}}$

Soit

(a_{n})

une suite de premier terme

a_{0} = 1

telle que

a_{n + 1} = 1 - e^{- a_{n}}

pour tout

n \in N

Q1-Étudier la convergence et la limite de la suite

(a_{n})

Q2-Étudier la convergence de la série

\sum a_{n}^{2}

. On pourra considérer

a_{n} - a_{n + 1}

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198. $Deuxième terme du DL de S_{n}$

On pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2} + k}

pour

n \in N^{*}

. Montrer qu'il existe

C \in R

tel que

S_{n} = C - \frac{1}{n} + o (\frac{1}{n})

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199. $Développement asymptotique de \sum 1/ k$

On pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

Q1-Montrer qu'il existe

C \in R

tel que

S_{n} = 2 n + C + o (1)

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200. $Identité binomiale pour H_{n}$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} (k n) = H_{n}

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161.

162.Série ean2(1−a/n)n3

163.Séries de Bertrand

164.Règle de Cauchy

165.Point fixe de Picard via une série

166.CCINP PC 2021

167.CCINP MP 2021

168.Banque Mines-Ponts MP 2021

169.Mines-Télécom MP 2019

170.Mines-Télécom MP 2024

171.Somme ∑n/(n4+n2+1)

172.Somme ∑1/(nn+p​)

173.Taylor-Lagrange

174.Série harmonique alternée, ln2

175.X MP 2021

176.CCINP MP 2021

177.CCINP PSI 2019

178.Équivalents des séries de Riemann

179.Comparaison série-intégrale, ln(n!)

180.CCINP MP 2023

181.Mines Télécom PC

182.CCINP MP 2022

183.Série des restes de la série harmonique alternée

184.Équivalent de ∑(−1)kk​

185.D'après Mines-Télécom MP 2016

186.Banque Mines-Ponts MP 2021

187.Série sin(πn2+1​)

188.Nécessité du DL à l'ordre 2

189.CCINP PC 2019

190.CCINP PSI 2019

191.Deux lemmes de Cesàro

192.Centrale-Supélec MP 2019

193.Équivalent de un+1​=sin(un​)

194.Banque Mines-Ponts MP 2021

195.Équivalent de un+1​=un​−un2​

196.Cesàro d'une convolution ak​bn−k​

197.Équivalent de an+1​=1−e−an​

198.Deuxième terme du DL de Sn​

199.Développement asymptotique de ∑1/k​

200.Identité binomiale pour Hn​

162. $Série e^{a n^{2}} (1 - a / n)^{n^{3}}$

163. $Séries de Bertrand$

164. $Règle de Cauchy$

165. $Point fixe de Picard via une série$

166. $CCINP PC 2021$

167. $CCINP MP 2021$

168. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

169. $Mines-Télécom MP 2019$

170. $Mines-Télécom MP 2024$

171. $Somme \sum n / (n^{4} + n^{2} + 1)$

172. $Somme \sum 1/ (n n + p)$

173. $Taylor-Lagrange$

174. $Série harmonique alternée, ln 2$

175. $X MP 2021$

176. $CCINP MP 2021$

177. $CCINP PSI 2019$

178. $Équivalents des séries de Riemann$

179. $Comparaison série-intégrale, ln (n!)$

180. $CCINP MP 2023$

181. $Mines Télécom PC$

182. $CCINP MP 2022$

183. $Série des restes de la série harmonique alternée$

184. $Équivalent de \sum (- 1)^{k} k$

185. $D'après Mines-Télécom MP 2016$

186. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

187. $Série sin (π n^{2} + 1)$

188. $Nécessité du DL à l'ordre 2$

189. $CCINP PC 2019$

190. $CCINP PSI 2019$

191. $Deux lemmes de Cesàro$

192. $Centrale-Supélec MP 2019$

193. $Équivalent de u_{n + 1} = sin (u_{n})$

194. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

195. $Équivalent de u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

196. $Cesàro d'une convolution a_{k} b_{n - k}$

197. $Équivalent de a_{n + 1} = 1 - e^{- a_{n}}$

198. $Deuxième terme du DL de S_{n}$

199. $Développement asymptotique de \sum 1/ k$

200. $Identité binomiale pour H_{n}$