Exercices de Séries numériques en maths Spé (prépa) (page 6)

202. $Sommabilité de (1/ x^{2})_{x \in Q}$

La famille

(\frac{1}{x ^{2}})_{x \in Q \cap [1, + \infty [}

est-elle sommable ?

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203. $Sommabilité de u_{m} u_{n} / (m + n)$

Soit

(u_{n})_{n \in N^{*}}

une suite réelle. On pose

\forall n \in N^{*}, v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}

Q1-Montrer que

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} \leq 2 u_{n} v_{n}

pour tout entier

n \geq 2

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204. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

On établit l'inégalité de Hilbert, d'abord pour des familles finies de réels positifs, puis pour des familles de carré sommable.

Q1-Pour

n \in Z

, calculer

\int_{0}^{2 π} t e^{- in t} d t

Q2-Soient

I

une partie finie de

N^{*}

(a_{n})_{n \in I}

(b_{n})_{n \in I}

deux suites finies de réels positifs. Montrer que

(n, m) \in I^{2} \sum \frac{a _{n} b _{m}}{n + m} \leq π n \in I \sum a_{n}^{2} n \in I \sum b_{n}^{2}

Q3-Soient

(a_{n})_{n \in N^{*}}

(b_{n})_{n \in N^{*}}

deux suites réelles telles que les familles

(a_{n}^{2})

(b_{n}^{2})

soient sommables. Montrer que

(\frac{a _{n} b _{m}}{n + m})_{(n, m) \in (N^{*})^{2}}

est sommable et que la même inégalité tient.

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205. $Sommabilité de 1/ (mn (m + n + 2))$

Montrer que la famille

(\frac{1}{mn ( m + n + 2 )})_{(m, n) \in (N^{*})^{2}}

est sommable et calculer sa somme.

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206. $Sommabilité de 1/ ((p + q^{2}) (p + q^{2} + 1))$

Montrer que la famille

(\frac{1}{( p + q ^{2} ) ( p + q ^{2} + 1 )})_{(p, q) \in N \times N^{*}}

est sommable et calculer sa somme.

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207. $Interversion \sum\sum 1/ k^{α}$

Soit

α \in R

. Montrer que

n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}} = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{α - 1}}

. Pour quelles valeurs de

α

cette somme est-elle finie ?

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208. $Non-sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{2})$

Montrer que la famille

(\frac{1}{p ^{2} + q ^{2}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

n'est pas sommable.

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209. $Sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{3})$

Montrer que la famille

(\frac{1}{p ^{2} + q ^{3}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

est sommable.

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210. $Sommabilité de 1/ ((m + n) (m + n + 1))$

La famille

(\frac{1}{( m + n ) ( m + n + 1 )})_{(m, n) \in N^{*} \times N}

est-elle sommable ?

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211. $Série de Lambert et τ (n)$

On note

τ (n)

le nombre de diviseurs positifs d'un entier

n \in N^{*}

. Montrer que pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < 1

n = 1 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{1 - z ^{n}} = n = 1 \sum + \infty τ (n) z^{n}

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212. $Somme \sum z^{2^{n}} / (1 - z^{2^{n + 1}})$

Soit

z \in C

tel que

∣ z ∣ < 1

. Montrer la convergence et déterminer la somme de la série

n \in N \sum \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}}

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213. $Sommabilité de (m + n)^{- α}$

Montrer que la famille

(\frac{1}{( m + n ) ^{α}})_{(m, n) \in (N^{*})^{2}}

est sommable si et seulement si

α > 2

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214. $Somme double \sum\sum 1/ k!$

Calculer

S = n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k !}

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215. $TPE-EIVP MP 2015$

On étudie la sommabilité de deux familles doublement indexées par des entiers strictement positifs, définies à partir de

p + q

puis de

p^{2} + q^{2}

Q1-Montrer que la famille

(\frac{1}{( p + q ) ^{2}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

n'est pas sommable.

Q2-Déterminer la nature de la famille

(\frac{1}{p ^{2} + q ^{2}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

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216. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}, nature$

Soit

(u_{n})_{n \geq 0}

la suite définie par

u_{0} \in [0; 1]

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2} .

217. $Suite v_{n}, w_{n} liées à u_{n}$

Soit

(u_{n})_{n \geq 1}

une suite d'éléments de

R_{+}^{*}

. On pose

v_{n} = \frac{1}{n u _{n}} k = 1 \sum n u_{k} et w_{n} = \frac{1}{n ^{2} u _{n}} k = 1 \sum n k u_{k} .

On suppose que

(v_{n})

tend vers

a \in R_{+}^{*}

.
Étudier la convergence de

(w_{n})

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218. $Enveloppe stricte d'un réel A$

On dit que la série de terme général

u_{n}

enveloppe le réel

A

si, pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n} \neq = 0 et ∣ A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}) ∣ \leq ∣ u_{n + 1} ∣.

On dit qu'elle enveloppe strictement le réel

A

s'il existe une suite

(θ_{n})_{n \geq 1}

d'éléments de

] 0; 1 [

telle que pour tout entier naturel

n

A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}) = θ_{n + 1} u_{n + 1} .

Q1-Donner un exemple de série divergente qui enveloppe

A > 0

. Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel. Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel.

Q2-Démontrer que, si la série de terme général

u_{n}

enveloppe strictement

A

, alors elle est alternée. Démontrer que

A

est alors compris entre deux sommes partielles consécutives.

Q3-Démontrer que, si la série de terme général

u_{n}

est alternée et que, pour tout entier

n \in N^{*}

A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n})

est du signe de

u_{n + 1}

, alors, elle enveloppe strictement

A

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219. $Espace des suites u_{n + 2} = (n + 1) u_{n + 1} + u_{n}$

Soit

E

l'ensemble des suites réelles

(u_{n})_{n \geq 0}

telles que

u_{n + 2} = (n + 1) u_{n + 1} + u_{n} .

220. $Équation f_{n} (x) = a, équivalent de x_{n}$

Pour

n \in N^{*}

, soit

f_{n} : x \in] n; + \infty [\mapsto k = 1 \sum n \frac{1}{x - k} .

Soit

a > 0

. Montrer qu'il existe un unique réel, noté

x_{n}

, tel que

f_{n} (x_{n}) = a

.
Déterminer un équivalent de

x_{n}

quand

n \to + \infty

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221. $Décomposition en éléments simples$

Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 4 n + 1 ) ( 4 n + 3 )} .

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222. $Limite n \sum_{k \geq n} e^{n / k} / k^{2}$

Étudier

n \to + \infty lim n k = n \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}} e^{n / k} .

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223. $Inégalité intégrale pour f concave$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue, concave et vérifiant

f (0) = 1

. Établir

\int_{0}^{1} x f (x) d x \leq \frac{2}{3} (\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2} .

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224. $Limite de \int t^{n} f (t) d t / \int t^{n} d t$

Soit

f \in C ([0; 1], R)

. Déterminer la limite de la suite

(\frac{\int _{0}^{1} t ^{n} f ( t ) d t}{\int _{0}^{1} t ^{n} d t})_{n \geq 0} .

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225. $Inégalité de moyennes géométriques$

Soient

x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}

des réels positifs.
Montrer

(x_{1} \dots x_{n})^{1/ n} + (y_{1} \dots y_{n})^{1/ n} \leq ((x_{1} + y_{1}) \times \dots \times (x_{n} + y_{n}))^{1/ n} .

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226. $Intégrale \int (f (a + x) - f (b + x)) d x$

Soient

(a, b) \in R^{2}

avec

a < b

f \in C^{0} (R, R)

admettant une limite finie

ℓ

- \infty

et telle que

\int_{0}^{+ \infty} f

existe.
Justifier l'existence, puis calculer :

\int_{- \infty}^{+ \infty} (f (a + x) - f (b + x)) d x .

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227. $Intégrales de x (1 - x)$

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )} et \int_{0}^{1} x (1 - x) d x .

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228. $Intégrale de P / Q par éléments simples$

Soient

P

Q

dans

R [X]

, où

Q

ne s'annule pas sur

R

de g P \leq de g Q - 2

.
Exprimer

\int_{R} P / Q

à l'aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simples de

P / Q

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229. $Intégrale \int d x / (1 + x^{4} + x^{8})$

Calculer

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{4} + x ^{8}} .

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230. $Itération de Picard pour une EDO$

On note

E

l'ensemble des fonctions

f : [0; 1] \to R_{+}

continues.
On pose

Φ (f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

pour toute

f \in E

.
On pose

f_{0} = 1

puis

f_{n + 1} = Φ (f_{n})

pour tout

n \in N

Q1-Étudier la suite

(f_{n})

Q2-Soit

f = lim (f_{n})

. Trouver une équation différentielle dont

f

est solution. Y a-t-il unicité de la solution nulle en

0

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231. $Convergence uniforme vers e^{- x}$

Soit, pour

n \in N

f_{n}

la fonction définie sur

R_{+}

par

f_{n} (x) = (1 - \frac{x}{n})^{n} si x \in [0; n [et f_{n} (x) = 0 si x \geq n .

Étudier le mode de convergence de

(f_{n})

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232. $Continuité et dérivabilité de \sum a_{n} ∣ x - x_{n} ∣$

Soit des suites réelles

(a_{n})

(x_{n})

avec

a_{n} > 0

pour tout

n

.
On suppose que la série de terme général

a_{n} (1 + ∣ x_{n} ∣)

converge.
On pose

f : R \to R, x \mapsto n = 0 \sum \infty a_{n} ∣ x - x_{n} ∣.

Étudier la continuité et la dérivabilité de

f

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233. $Équation fonctionnelle f (x^{n})$

Trouver les fonctions

f \in C ([0; 1], R)

telles que

\forall x \in [0; 1], f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{f ( x ^{n} )}{2 ^{n}} .

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234. $Matrice stochastique, limite de A^{p}$

Soient

n \geq 2

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

une matrice à coefficients strictement positifs vérifiant

j = 1 \sum n a_{i, j} = 1

pour tout

i \in [[1; n]]

.
On note

α

le plus petit coefficient de la matrice

A

et, étant donné

X \in M_{n, 1} (R)

, on note

min (X)

max (X)

le plus petit et le plus grand coefficient de la colonne

X

Q1-On suppose que les coefficients de

Y \in M_{n, 1} (R)

sont tous positifs, établir

min (A Y) \geq α max (Y)

Q2-Soit

X \in M_{n, 1} (R)

Y = X - min (X) U

avec

U

la colonne de hauteur

n

dont tous les coefficients valent

1

. Montrer

min (A X) \geq α max (X) + (1 - α) min (X)

puis

max (A X) \leq α min (X) + (1 - α) max (X)

. En déduire que les suites

(min (A^{p} X))_{p \in N}

(max (A^{p} X))_{p \in N}

sont adjacentes.

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235. $Norme invariante par conjugaison$

Soit

n \in N

avec

n \geq 2

. Existe-t-il une norme

∥ \cdot ∥

sur

M_{n} (C)

invariante par conjugaison, c'est-à-dire telle que :

\forall (A, P) \in M_{n} (C) \times G L_{n} (C), ∥ A ∥ = ∥ P^{- 1} A P ∥ ?

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236. $Densité de m - ln n dans R$

Montrer que

{m - ln n ∣ (m, n) \in Z \times N^{*}}

est dense dans

R

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237. $Convexe dense = espace entier$

Soit

A

une partie convexe et partout dense d'un espace euclidien

E

.
Montrer que

A = E

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238. $Somme d'un fermé avec un sev fini$

Soient

E

un espace vectoriel normé,

F

un sous-espace fermé de

E

G

un sous-espace vectoriel de dimension finie de

E

. Montrer que

F + G

est fermé.

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239. $Classes de similitude fermées$

Caractériser dans

M_{n} (C)

les matrices dont la classe de similitude est fermée.
Même question avec

R

au lieu de

C

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240. $Densité des irrationnels dans A$

Soit

A

une partie non vide de

R_{+}^{*}

vérifiant

\forall (a, b) \in A^{2}, ab \in A .

Montrer que

A \cap (R ∖ Q)

est dense dans

] in f A; sup A [

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201.

202.Sommabilité de (1/x2)x∈Q​

203.Sommabilité de um​un​/(m+n)

204.Banque Mines-Ponts MP 2018

205.Sommabilité de 1/(mn(m+n+2))

206.Sommabilité de 1/((p+q2)(p+q2+1))

207.Interversion ∑∑1/kα

208.Non-sommabilité de 1/(p2+q2)

209.Sommabilité de 1/(p2+q3)

210.Sommabilité de 1/((m+n)(m+n+1))

211.Série de Lambert et τ(n)

212.Somme ∑z2n/(1−z2n+1)

213.Sommabilité de (m+n)−α

214.Somme double ∑∑1/k!

215.TPE-EIVP MP 2015

216.Suite un+1​=un​−un2​, nature

217.Suite vn​,wn​ liées à un​

218.Enveloppe stricte d'un réel A

219.Espace des suites un+2​=(n+1)un+1​+un​

220.Équation fn​(x)=a, équivalent de xn​

221.Décomposition en éléments simples

222.Limite n∑k≥n​en/k/k2

223.Inégalité intégrale pour f concave

224.Limite de ∫tnf(t)dt/∫tndt

225.Inégalité de moyennes géométriques

226.Intégrale ∫(f(a+x)−f(b+x))dx

227.Intégrales de x(1−x)​

228.Intégrale de P/Q par éléments simples

229.Intégrale ∫dx/(1+x4+x8)

230.Itération de Picard pour une EDO

231.Convergence uniforme vers e−x

232.Continuité et dérivabilité de ∑an​∣x−xn​∣

233.Équation fonctionnelle f(xn)

234.Matrice stochastique, limite de Ap

235.Norme invariante par conjugaison

236.Densité de m−lnn dans R

237.Convexe dense = espace entier

238.Somme d'un fermé avec un sev fini

239.Classes de similitude fermées

240.Densité des irrationnels dans A

202. $Sommabilité de (1/ x^{2})_{x \in Q}$

203. $Sommabilité de u_{m} u_{n} / (m + n)$

204. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

205. $Sommabilité de 1/ (mn (m + n + 2))$

206. $Sommabilité de 1/ ((p + q^{2}) (p + q^{2} + 1))$

207. $Interversion \sum\sum 1/ k^{α}$

208. $Non-sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{2})$

209. $Sommabilité de 1/ (p^{2} + q^{3})$

210. $Sommabilité de 1/ ((m + n) (m + n + 1))$

211. $Série de Lambert et τ (n)$

212. $Somme \sum z^{2^{n}} / (1 - z^{2^{n + 1}})$

213. $Sommabilité de (m + n)^{- α}$

214. $Somme double \sum\sum 1/ k!$

215. $TPE-EIVP MP 2015$

216. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}, nature$

217. $Suite v_{n}, w_{n} liées à u_{n}$

218. $Enveloppe stricte d'un réel A$

219. $Espace des suites u_{n + 2} = (n + 1) u_{n + 1} + u_{n}$

220. $Équation f_{n} (x) = a, équivalent de x_{n}$

221. $Décomposition en éléments simples$

222. $Limite n \sum_{k \geq n} e^{n / k} / k^{2}$

223. $Inégalité intégrale pour f concave$

224. $Limite de \int t^{n} f (t) d t / \int t^{n} d t$

225. $Inégalité de moyennes géométriques$

226. $Intégrale \int (f (a + x) - f (b + x)) d x$

227. $Intégrales de x (1 - x)$

228. $Intégrale de P / Q par éléments simples$

229. $Intégrale \int d x / (1 + x^{4} + x^{8})$

230. $Itération de Picard pour une EDO$

231. $Convergence uniforme vers e^{- x}$

232. $Continuité et dérivabilité de \sum a_{n} ∣ x - x_{n} ∣$

233. $Équation fonctionnelle f (x^{n})$

234. $Matrice stochastique, limite de A^{p}$

235. $Norme invariante par conjugaison$

236. $Densité de m - ln n dans R$

237. $Convexe dense = espace entier$

238. $Somme d'un fermé avec un sev fini$

239. $Classes de similitude fermées$

240. $Densité des irrationnels dans A$