Exercices de Séries numériques en maths Spé (prépa) (page 7)

242. $Suite bornée et moyenne u_{n}, u_{2 n}$

Déterminer les suites réelles bornées telles que

(\frac{u _{n} + u _{2 n}}{2})_{n \geq 0} converge.

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243. $Zéros d'une série \sum a_{n} / (n - t)$

Étant donné une suite complexe

(a_{n})_{n \in N^{*}}

de carré sommable, on pose

f (t) = n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n - t}

où la variable

t

est réelle.

Q1-Préciser le domaine de définition de

f

Q2-Montrer que

f

est développable en série entière autour de

0

Q3-Montrer que si

f

est identiquement nulle sur

[- 1/2; 1/2]

, la suite

(a_{n})_{n \in N^{*}}

est identiquement nulle.

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244. $Limite gaussienne de \int (cos (x / n))^{n^{2}}$

Déterminer

n \to + \infty lim \int_{0}^{n} (cos \frac{x}{n})^{n^{2}} d x .

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245. $Somme de Riemann pour F décroissante$

Soit

F

une application continue décroissante de

R

dans

R

, tendant vers

1

- \infty

et vers

0

+ \infty

. Soient deux réels

h

δ

vérifiant

0 < h < δ

Q1-Déterminer la limite éventuelle de

I_{n} = \int_{0}^{1} F (n (δ t - h)) d t

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246. $Suite de Dirac n cos t (sin t)^{n}$

Soit

f : R_{+} \to R

de classe

C^{1}

intégrable ainsi que sa dérivée.

Q1-Déterminer pour

x > 0

la limite

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} n cos t (sin t)^{n} f (x t) d t

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247. $Exponentielle des matrices 2 \times 2$

On note

T = {(a 0 b c) ∣ a, b, c \in R}

T_{+}

le sous-ensemble de

T

formé des matrices de coefficients diagonaux strictement positifs.

Q1-Soit

M \in T

. Déterminer les puissances de

M

. Calculer

exp (M)

Q2-L'application

exp : T \to T_{+}

est-elle injective ? surjective ?

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Exercices de Séries numériques, Spé (prépa) (page 7)

241.

242. $Suite bornée et moyenne u_{n}, u_{2 n}$

243. $Zéros d'une série \sum a_{n} / (n - t)$

244. $Limite gaussienne de \int (cos (x / n))^{n^{2}}$

245. $Somme de Riemann pour F décroissante$

246. $Suite de Dirac n cos t (sin t)^{n}$

247. $Exponentielle des matrices 2 \times 2$

241.

242.Suite bornée et moyenne un​,u2n​

243.Zéros d'une série ∑an​/(n−t)

244.Limite gaussienne de ∫(cos(x/n))n2

245.Somme de Riemann pour F décroissante

246.Suite de Dirac ncost(sint)n

247.Exponentielle des matrices 2×2

242. $Suite bornée et moyenne u_{n}, u_{2 n}$

243. $Zéros d'une série \sum a_{n} / (n - t)$

244. $Limite gaussienne de \int (cos (x / n))^{n^{2}}$

245. $Somme de Riemann pour F décroissante$

246. $Suite de Dirac n cos t (sin t)^{n}$

247. $Exponentielle des matrices 2 \times 2$