Exercices de Intégration en maths Sup (prépa)

1. $Continuité uniforme de x$

2. $Non-continuité uniforme de ln x$

Montrer que

x \mapsto ln x

n'est pas uniformément continue sur

R_{+}^{*}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $x ln x unif. continue sur] 0; 1]$

Montrer que

x \mapsto x ln x

est uniformément continue sur

] 0; 1]

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Fct unif. continue et bornée$

Soit

f : [0; 1 [\to R

uniformément continue. Montrer que

f

est bornée.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Unif. continue et limite en + \infty$

Soit

f : R_{+}^{*} \to R

une fonction uniformément continue vérifiant

\forall x > 0, f (n x) n \to \infty 0.

Montrer que

f

converge vers

0

+ \infty

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Subdivision minimale d'une escalier$

Soit

f : [a; b] \to R

une fonction en escalier.

Montrer qu'il existe une subdivision

σ

du segment

[a; b]

adaptée à

f

telle que toute autre subdivision adaptée à

f

soit plus fine que

σ

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $sin (1/ t) : c.p.m. sur [0; 1] ?$

La fonction

t \mapsto sin \frac{1}{t}

t > 0

0

t = 0

est-elle continue par morceaux sur

[0; 1]

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Intégrales classiques (lot 1)$

Calculer les intégrales suivantes :

Q1-

\int_{1}^{2} \frac{d t}{t ^{2}}

Q2-

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}}

Q3-

\int_{0}^{1/2} \frac{d t}{1 - t ^{2}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Intégrales classiques (lot 2)$

Calculer les intégrales suivantes :

Q1-

\int_{0}^{2 π} cos^{2} t d t

Q2-

\int_{1}^{2} ln t d t

Q3-

\int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $\int_{0}^{π /4} ln (1 + tan x) d x$

Calculer

I = \int_{0}^{π /4} ln (1 + tan x) d x .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Primitives directes (lot 1)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int t e^{t^{2}} d t

Q2-

\int \frac{ln t}{t} d t

Q3-

\int \frac{d t}{t ln t}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Primitives directes (lot 2)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int cos t sin t d t

Q2-

\int tan t d t

Q3-

\int cos^{3} t d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Primitives directes (lot 3)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int \frac{t ^{2}}{1 + t ^{3}} d t

Q2-

\int \frac{t}{1 + t ^{2}} d t

Q3-

\int \frac{t}{1 + t ^{4}} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Primitives directes (lot 4)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int \frac{d t}{i t + 1}

Q2-

\int e^{t} cos t d t

Q3-

\int t sin t e^{t} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Primitives directes (lot 5)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int t ln t d t

Q2-

\int t arctan t d t

Q3-

\int t sin^{3} t d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Primitives directes (lot 6)$

Déterminer les primitives suivantes :

Q1-

\int (t^{2} - t + 1) e^{- t} d t

Q2-

\int (t - 1) sin t d t

Q3-

\int (t + 1) cosh t d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Intégrales par parties (lot 1)$

Calculer les intégrales suivantes :

Q1-

\int_{0}^{1} ln (1 + t^{2}) d t

Q2-

\int_{1}^{e} t^{n} ln t d t

(avec

n \in N

)

Q3-

\int_{1}^{e^{π}} sin (ln t) d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Intégrales par parties (lot 2)$

Calculer les intégrales suivantes :

Q1-

\int_{0}^{1} arctan t d t

Q2-

\int_{0}^{1/2} arcsin t d t

Q3-

\int_{0}^{1} t arctan t d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $\int_{0}^{1} ln (1 + t^{2}) d t$

Calculer

\int_{0}^{1} ln (1 + t^{2}) d t .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Inégalité diff. et intégrale$

Soient

(a, b) \in R^{2}

μ \in R_{+}^{*}

f \in C^{2} ([a; b], R)

telles que

\forall x \in [a; b], ∣ f^{'} (x) ∣ \geq μ et f^{'} monotone .

Montrer :

\int_{a}^{b} e^{2 iπ f (t)} d t \leq \frac{1}{μ π} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Changements de variables (lot 1)$

Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable adéquat :

Q1-

\int \frac{d t}{t + t ^{3}}

Q2-

\int \frac{ln t d t}{t + t ( ln t ) ^{2}}

Q3-

\int \frac{e ^{2 t} d t}{e ^{t} + 1}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Primitive de 1/ (t t^{2} - 1)$

Déterminer

\int \frac{d t}{t t ^{2} - 1} .

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Changements de variables (lot 2)$

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat :

Q1-

\int_{1}^{e} \frac{d t}{t + t ( ln t ) ^{2}}

Q2-

\int_{1}^{e} \frac{d t}{t ln t + 1}

Q3-

\int_{0}^{1} \frac{d t}{e ^{t} + 1}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Symétrie trig. et intégrales$

On s'interesse au calcul d'integrales a l'aide de changements de variable trigonometriques.

Q1-Montrer que

\int_{0}^{π /2} \frac{cos t}{cos t + sin t} d t = \int_{0}^{π /2} \frac{sin t}{cos t + sin t} d t = \frac{π}{4}

Q2-En déduire

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 - t ^{2} + t}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $\int_{0}^{π} t f (sin t) d t et I_{n}$

On etablit une formule permettant de simplifier certaines integrales sur

[0, π]

faisant intervenir

f (sin t)

Q1-Soit

f \in C ([0; 1], R)

. Établir

\int_{0}^{π} t f (sin t) d t = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin t) d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $I (a, b) = \int_{a}^{b} (1 - x^{2}) /...$

Pour

a

b

des réels tels que

ab > 0

, on considère

I (a, b) = \int_{a}^{b} \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{4}} d x .

Q1-Calculer

I (- b, - a)

I (1/ a, 1/ b)

I (1/ a, a)

en fonction

I (a, b)

Q2-Pour

a, b > 1

, calculer

I (a, b)

via changement de variables

v = x + 1/ x

puis

v = 1/ t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Changements de variables (lot 3)$

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable ad hoc :

Q1-

\int_{0}^{π} \frac{sin t}{3 + cos ^{2} t} d t

Q2-

\int_{1}^{2} \frac{d t}{t + 2 t}

Q3-

\int_{1}^{2} \frac{ln ( 1 + t ) - ln t}{t ^{2}} d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $\int_{0}^{3} arcsin (2 t / (1 + t^{2}))$

Calculer

\int_{0}^{3} arcsin (\frac{2 t}{1 + t ^{2}}) d t .

29. $Primitives et dérivabilité$

Soit

f : R \to R

une fonction continue.
Justifier que les fonctions

g : R \to R

suivantes sont de classe

C^{1}

et exprimer leur dérivée :

Q1-

g (x) = \int_{2 x}^{x^{2}} f (t) d t

Q2-

g (x) = \int_{0}^{x} x f (t) d t

Q3-

g (x) = \int_{0}^{x} f (t + x) d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Étude de φ (t) = sinh (t) / t$

Soit

φ : R \to R

la fonction définie par :

φ (t) = \frac{sinh t}{t}

pour

t \neq = 0

φ (0) = 1

.
Soit

f : R \to R

définie par :

f (x) = \int_{x}^{2 x} φ (t) d t .

Q1-Montrer que

f

est bien définie et étudier la parité de

f

Q2-Justifier que

f

est dérivable et calculer

f^{'} (x)

Q3-Dresser le tableau de variation de

f

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Équation diff. via l'intégrale$

Soit

g : R \to R

une fonction continue.
On pose, pour tout

x \in R

f (x) = \int_{0}^{x} sin (x - t) g (t) d t .

Q1-Montrer que

f

est dérivable et que

f^{'} (x) = \int_{0}^{x} cos (t - x) g (t) d t

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Dérivation d'intégrale paramétrique$

Soient

f : R \to R

de classe

C^{1}

F : R^{*} \to R

définie par

\forall x \neq = 0, F (x) = \frac{1}{2 x} \int_{- x}^{x} f (t) d t .

Q1-Montrer que

F

peut être prolongée par continuité en

0

Q2-Montrer que

F

est dérivable sur

R^{*}

et exprimer

F^{'} (x)

à l'aide d'une intégrale

Q3-Montrer que

F

est dérivable en

0

et observer

F^{'} (0) = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Équation fonctionnelle intégrale$

Soit

f

continue de

R

dans

R

telle que

\forall (x, y) \in R^{2}, f (x) - f (y) = \int_{2 x + y}^{2 y + x} f (t) d t .

Montrer que

f

est de classe

C^{1}

et déterminer

f

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $φ (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t (1)$

Pour

x \in] 0; 1 [

, on pose

φ (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln t} .

Q1-Montrer que

φ

est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en

0

et en

1

Q2-En déduire la valeur de

\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{ln x} d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $f (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t (2)$

Soit

f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln t} .

Q1-Calculer les limites de

f

0^{+}

+ \infty

, la limite en

+ \infty

f (x) / x

et montrer que

f (x)

tend vers

ln 2

quand

x

tend vers

1

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

sur

R_{+}^{*}

mais qu'elle ne l'est pas sur

R_{+}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $f (x) = \int_{x}^{2 x} e^{t} / t d t$

On etudie la fonction

f : x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{t}}{t} d t

Q1-Montrer que la fonction

f : x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{t}}{t} d t

est définie et dérivable sur

R^{*}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $f (x) = \int_{x}^{2 x} cosh (t) / t d t$

Soit

f : x \in R^{*} \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{cosh t}{t} d t .

Q1-Étudier la parité de

f

Q2-Prolonger

f

par continuité en

0

Q3-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R_{+}

Q4-Branches infinies, allure

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Valeur moyenne glissante$

Soient

f \in C^{1} (R, R)

g : R^{*} \to R

définie par

g (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t .

Q1-Prolonger

g

par continuité en

0

Q2-Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classe

C^{1}

sur

R

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $x \mapsto \int_{x}^{2 x} d t / 1 + t^{2} + t^{4}$

Étude et graphe de la fonction

x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{1 + t ^{2} + t ^{4}} .

On précisera le comportement de la fonction quand

x \to 0

et quand

x \to \pm \infty

40. $F (x) = \int_{1}^{x} t / t^{3} - 1 d t$

Pour tout

x \in [1; + \infty [

, on pose

F (x) = \int_{1}^{x} \frac{t}{t ^{3} - 1} d t .

1.Continuité uniforme de x​

2.Non-continuité uniforme de lnx

3.xlnx unif. continue sur ]0;1]

4.Fct unif. continue et bornée

5.Unif. continue et limite en +∞

6.Subdivision minimale d'une escalier

7.sin(1/t) : c.p.m. sur [0;1] ?

8.Intégrales classiques (lot 1)

9.Intégrales classiques (lot 2)

10.∫0π/4​ln(1+tanx)dx

11.Primitives directes (lot 1)

12.Primitives directes (lot 2)

13.Primitives directes (lot 3)

14.Primitives directes (lot 4)

15.Primitives directes (lot 5)

16.Primitives directes (lot 6)

17.Intégrales par parties (lot 1)

18.Intégrales par parties (lot 2)

19.∫01​ln(1+t2)dt

20.Inégalité diff. et intégrale

21.Changements de variables (lot 1)

22.Primitive de 1/(tt2−1​)

23.Changements de variables (lot 2)

24.Symétrie trig. et intégrales

25.∫0π​tf(sint)dt et In​

26.I(a,b)=∫ab​(1−x2)/...

27.Changements de variables (lot 3)

28.∫03​​arcsin(2t/(1+t2))

29.Primitives et dérivabilité

30.Étude de φ(t)=sinh(t)/t

31.Équation diff. via l'intégrale

32.Dérivation d'intégrale paramétrique

33.Équation fonctionnelle intégrale

34.φ(x)=∫xx2​dt/lnt (1)

35.f(x)=∫xx2​dt/lnt (2)

36.f(x)=∫x2x​et/tdt

37.f(x)=∫x2x​cosh(t)/tdt

38.Valeur moyenne glissante

39.x↦∫x2x​dt/1+t2+t4​

40.F(x)=∫1x​t/t3−1​dt

1. $Continuité uniforme de x$

2. $Non-continuité uniforme de ln x$

3. $x ln x unif. continue sur] 0; 1]$

4. $Fct unif. continue et bornée$

5. $Unif. continue et limite en + \infty$

6. $Subdivision minimale d'une escalier$

7. $sin (1/ t) : c.p.m. sur [0; 1] ?$

8. $Intégrales classiques (lot 1)$

9. $Intégrales classiques (lot 2)$

10. $\int_{0}^{π /4} ln (1 + tan x) d x$

11. $Primitives directes (lot 1)$

12. $Primitives directes (lot 2)$

13. $Primitives directes (lot 3)$

14. $Primitives directes (lot 4)$

15. $Primitives directes (lot 5)$

16. $Primitives directes (lot 6)$

17. $Intégrales par parties (lot 1)$

18. $Intégrales par parties (lot 2)$

19. $\int_{0}^{1} ln (1 + t^{2}) d t$

20. $Inégalité diff. et intégrale$

21. $Changements de variables (lot 1)$

22. $Primitive de 1/ (t t^{2} - 1)$

23. $Changements de variables (lot 2)$

24. $Symétrie trig. et intégrales$

25. $\int_{0}^{π} t f (sin t) d t et I_{n}$

26. $I (a, b) = \int_{a}^{b} (1 - x^{2}) /...$

27. $Changements de variables (lot 3)$

28. $\int_{0}^{3} arcsin (2 t / (1 + t^{2}))$

29. $Primitives et dérivabilité$

30. $Étude de φ (t) = sinh (t) / t$

31. $Équation diff. via l'intégrale$

32. $Dérivation d'intégrale paramétrique$

33. $Équation fonctionnelle intégrale$

34. $φ (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t (1)$

35. $f (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t (2)$

36. $f (x) = \int_{x}^{2 x} e^{t} / t d t$

37. $f (x) = \int_{x}^{2 x} cosh (t) / t d t$

38. $Valeur moyenne glissante$

39. $x \mapsto \int_{x}^{2 x} d t / 1 + t^{2} + t^{4}$

40. $F (x) = \int_{1}^{x} t / t^{3} - 1 d t$