Exercices de Intégration, Sup (prépa) (page 6)

208 exercices de Intégration pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Intégration des fonctions en escalier, Intégration des fonctions continues par morceaux, Calcul de primitives et d'intégrales, Approximation d'intégrales.

Le cours du chapitre Les méthodes du chapitre

Exercices 201 à 208 sur 208 · page 6 sur 6

201.

X — Inégalité \int f^{2} \leq - m M

x

Soient

f : [0; 1] \to R

continue telle que

\int_{0}^{1} f (t) d t = 0

,

m

le minimum de

f

et

M

son maximum.
Prouver

\int_{0}^{1} f^{2} (t) d t \leq - m M

.

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202. $CCP — ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣$

ccp

f

étant continue sur

[a, b]

et à valeurs dans

R

, trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x .

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203. $CCP — Suites et intégrales$

ccp

On etudie la fonction

f : x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{t}}{t} d t

.

Q1-Montrer que la fonction

f : x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{t}}{t} d t

est définie et dérivable sur

R^{*}

.

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204. $CCP — Intégrale I (a, b)$

ccp

Pour

a

et

b

des réels tels que

ab > 0

, on considère

I (a, b) = \int_{a}^{b} \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{4}} d x .

Q1-Calculer

I (- b, - a)

,

I (1/ a, 1/ b)

et

I (1/ a, a)

en fonction de

I (a, b)

.

Q2-Pour

a, b > 1

, calculer

I (a, b)

via changement de variables

v = x + 1/ x

puis

v = 1/ t

.

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205. $CCP — \int_{n^{2}}^{n^{3}} \sim 1/ n^{2}$

ccp

Montrer que, au voisinage de

+ \infty

,

u_{n} = \int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{d t}{1 + t ^{2}} \sim \frac{1}{n ^{2}} .

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206. $Centrale — \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

centrale

Soit

f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln t} .

Q1-Calculer les limites de

f

en

0^{+}

et

+ \infty

, la limite en

+ \infty

de

f (x) / x

et montrer que

f (x)

tend vers

ln 2

quand

x

tend vers

1

.

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

sur

R_{+}^{*}

mais qu'elle ne l'est pas sur

R_{+}

.

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207. $Centrale — Intégrale de arcsin$

centrale

Calculer

\int_{0}^{3} arcsin (\frac{2 t}{1 + t ^{2}}) d t .

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208. $Centrale : symétrie de \int_{0}^{π} f (sin t) d t$

centrale

On etablit une formule permettant de simplifier certaines integrales sur

[0, π]

faisant intervenir

f (sin t)

.

Q1-Soit

f \in C ([0, 1], R)

. Établir

\int_{0}^{π} t f (sin t) d t = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin t) d t

.

Q2-En déduire la valeur de

I_{n} = \int_{0}^{π} \frac{x sin ^{2 n} ( x )}{sin ^{2 n} ( x ) + cos ^{2 n} ( x )} d x

.

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Q2-Déterminer la limite de

f

en

0

.

Q3-Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout

a, b

tels que

ab > 0

.

Q3-Étudier les variations de

f

et tracer sa courbe représentative.

201.

202.CCP — ∣∫f∣=∫∣f∣

203.CCP — Suites et intégrales

204.CCP — Intégrale I(a,b)

205.CCP — ∫n2n3​∼1/n2

206.Centrale — ∫xx2​dt/lnt

207.Centrale — Intégrale de arcsin

208.Centrale : symétrie de ∫0π​f(sint)dt

202. $CCP — ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣$

203. $CCP — Suites et intégrales$

204. $CCP — Intégrale I (a, b)$

205. $CCP — \int_{n^{2}}^{n^{3}} \sim 1/ n^{2}$

206. $Centrale — \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

207. $Centrale — Intégrale de arcsin$

208. $Centrale : symétrie de \int_{0}^{π} f (sin t) d t$