Exercices de Intégration en maths Sup (prépa) (page 5)

162. $∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ et signe de f$

Soit

f

continue sur

[a, b]

à valeurs réelles. Montrer que

\int_{[a, b]} f = \int_{[a, b]} ∣ f ∣

si et seulement si

f

est de signe constant sur

[a, b]

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163. $Formule de la moyenne (g positive)$

Soient

f

g

deux fonctions continues sur

[a, b]

à valeurs réelles. On suppose de plus

g

positive sur

[a, b]

. Montrer qu'il existe

c \in [a, b]

tel que

\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = f (c) \int_{a}^{b} g (t) d t

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164. $Intégrale de f sur [0; π]$

Soit

f : [0, π] \to R

une application continue.

Q1-On suppose que

\int_{0}^{π} f (t) sin t d t = 0

. Montrer que

f

s'annule en un réel

a \in] 0, π [

Q2-On suppose que

\int_{0}^{π} f (t) sin t d t = \int_{0}^{π} f (t) cos t d t = 0

. Montrer que

f

s'annule deux fois sur

] 0, π [

.
On pourra considérer

\int_{0}^{π} f (t) sin (t - a) d t

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165. $Formule de la moyenne$

Soit

f : [a, b] \to R

continue. Montrer qu'il existe

c \in] a, b [

tel que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t

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166. $Polynôme orthogonal aux puissances$

Soient

n \in N

f

une fonction continue sur

[a, b]

(

a < b

) telle que

\int_{a}^{b} t^{k} f (t) d t = 0

pour tout

k \in [[0, n]]

. Montrer que

f

s'annule au moins

n + 1

fois sur

[a, b]

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167. $Formule de la bijection réciproque$

Soit

f

une fonction de classe

C^{1}

strictement croissante de

[a, b]

.
D'après le théorème de la bijection,

f

induit une bijection de

[a, b]

sur

[f (a), f (b)]

f^{- 1}

est continue sur

[f (a), f (b)]

Q1-Montrer que

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{f (a)}^{f (b)} f^{- 1} (y) d y = b f (b) - a f (a)

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168. $Stairs$

Soient

n \in N^{*}

f

la fonction définie sur

[0, 1]

par

f (t) = ⌊ n t ⌋

. Montrer que

f

est en escalier sur

[0, 1]

et calculer son intégrale.

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169. $Une intégrale trigonométrique$

On note

I = \int_{0}^{π} \frac{t}{2 + sin ( t )} d t et J = \int_{0}^{π} \frac{d t}{2 + sin ( t )} .

Q1-Trouver une relation simple entre

I

J

en effectuant le changement de variable

t = π - u

Q2-Pour tout reel

x

, on pose

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{2 + sin ( t )}

. Montrer que

F

est continue sur

R

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170. $Primitives variées (lot 1)$

Calculer les primitives suivantes

Q1-

\int \frac{d x}{x ^{2} + 5}

;

Q2-

\int \frac{d x}{x ^{2} + 5}

;

Q3-

\int e^{x} sin (e^{x}) d x

;

Q4-

\int tan^{3} (x) d x

;

Q5-

\int \frac{1}{tan ^{3} ( x )} d x

;

Q6-

\int \frac{2 x + 3}{( x ^{2} + 3 x + 7 ) ^{m}} d x

m \in N

;

Q7-

\int \frac{ln ( x )}{x} d x

;

Q8-

\int \frac{cosh ( x )}{sinh ^{5} ( x )} d x

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171. $Étude de H (x) = α cos x + sin x + 2$

Soit

α \in R

H

la fonction définie par :

\forall x \in R, H (x) = α cos x + sin x + 2

Q1-Donner une condition nécessaire et suffisante sur

α

pour que

H

ne s'annule pas.

Q2-On suppose la condition précédente satisfaite et on pose pour

x \in R

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{H ( t )}

. Justifier que

F

est bien définie et continue sur

R

et donner une expression de

F (x)

pour

x \in] - π, π [

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172. $Primitive de 1/ (α cos + β sin)$

Soient

α

β

deux réels strictement positifs. On définit une fonction

f

par :

\forall x \in R, f (x) = \frac{1}{α + β cos ^{2} x}

Q1-Justifier que

f

admet des primitives sur

R

. On note

F

celle qui s'annule en

0

Q2-Montrer que

F (x)

tend vers

+ \infty

quand

x

tend vers

+ \infty

Q3-Déterminer une expression de

F (x)

pour

x \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

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173. $TPE MP$

Calculer

I = \int_{a^{2}}^{b^{2}} \frac{x}{( x - a ^{2} ) ( b ^{2} - x )} d x

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174. $I_{n} (x) = \int_{0}^{x} d t / (1 + t^{2})^{n + 1}$

Pour

n \in N

x \in R

, on pose

I_{n} (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{( 1 + t ^{2} ) ^{n + 1}}

175. $L'inégalité de Poincaré$

Soit

f

de classe

C^{1}

sur

[0, 1]

, telle que

f (0) = f (1) = 0

Q1-Verifier que la fonction

x \mapsto f (x) cot (π x)

admet une limite finie en

0

et en

1

. On notera

g

le prolongement continu sur

[0, 1]

de cette fonction.

Q2-On considere la fonction

h = f g

. Demontrer que

h

est derivable sur

] 0, 1 [

et que, pour tout

0 < x < 1

h^{'} (x) = 2 f^{'} (x) g (x) - π (f (x)^{2} + g (x)^{2}) .

En deduire que

h

est de classe

C^{1}

sur

[0, 1]

Q3-Demontrer que

\forall x \in [0, 1], h^{'} (x) \leq \frac{1}{π} f^{'} (x)^{2} - π f (x)^{2} .

Q4-En deduire que

\int_{0}^{1} f^{'} (x)^{2} d x \geq π^{2} \int_{0}^{1} f (x)^{2} d x .

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176. $Une belle inégalité$

Soient

a \leq b

f : [a, b] ⟶ R

une fonction de classe

C^{1}

telle que

f (a) = 0 et 0 \leq f^{'} \leq 1.

Etablir que

\int_{a}^{b} f^{3} (t) d t \leq (\int_{a}^{b} f (t) d t)^{2} .

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177. $Banal$

Etablir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction

ψ

définie par

x ⟼ \int_{e^{- x}}^{e^{x}} 1 + ln^{2} (t) d t .

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178. $f (x) = \int_{0}^{x} 3^{- ⌊ t ⌋} d t$

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = \int_{0}^{x} 3^{- ⌊ t ⌋} d t

où

⌊ t ⌋

représente la partie entière du réel

t

Q1-Justifier que

f

est bien définie.

Q2-Montrer que la suite

(f (n))

converge et donner sa limite.

Q3-En déduire que

f

admet une limite en

+ \infty

et préciser celle-ci.

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179. $Dérivée de f (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln t}

Q1-Déterminer le domaine de définition de

f

Q2-Quel est le signe de

f

Q3-Prolonger

f

par continuité partout où cela est possible.

Q4-Montrer que

f

est dérivable et étudier les variations de

f

. On déterminera également la limite de

f

+ \infty

Q5-Étudier la concavité de

f

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180. $f (x) = \int_{0}^{x} sin (x - t) g (t) d t$

Soit

g : R \to R

continue. Pour

x \in R

, on pose

f (x) = \int_{0}^{x} sin (x - t) g (t) d t

Q1-Montrer que

f

est de classe

C^{1}

sur

R

et que pour tout

x \in R

f^{'} (x) = \int_{0}^{x} cos (t - x) g (t) d t

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181. $lim_{x \to 0} \int_{x}^{2 x} cos (t) / t d t$

Déterminer

x \to 0 lim \int_{x}^{2 x} \frac{cos t}{t} d t

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182. $g (x) = \int f sin (t x) d t Lipschitz$

Soit

f

une fonction continue sur

[a, b]

.
Montrer que la fonction

g : x \mapsto \int_{a}^{b} f (t) sin (t x) d t

est lipschitzienne.

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183. $Asymptotique de t_{n} = \sum n / (k^{2} + n^{2})$

Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par,

t_{n} = k = 1 \sum n \frac{n}{k ^{2} + n ^{2}} .

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184. $Riemannissime$

Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par,

v_{n} = \frac{1}{n} n (n + 1) (n + 2) \dots (n + n) .

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185. $L'exemple classique$

Etudier la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

définie par

u_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} .

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186. $Posé à Centrale$

Soit

f

une fonction continue sur l'intervalle

[0, 1]

. Pour tout entier

n \geq 1

, on pose,

u_{n} = k = 1 \prod n (1 + \frac{1}{n} f (\frac{k}{n}))

Montrer que la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

converge vers

e^{\int_{0}^{1} f (t) d t}

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187. $Équivalent de \sum k n - k$

Déterminer un équivalent de

u_{n} = 1 n - 1 + 2 n - 2 + \dots + n - 2 2 + n - 1 1

quand

n

tend vers

+ \infty

188. $X PC 2012$

Montrer que

X^{2 n} - 1 = (X^{2} - 1) k = 1 \prod n - 1 (X^{2} - 2 X cos \frac{k π}{n} + 1)

En déduire pour

r > 1

\int_{- π}^{π} ln 1 - r e^{i θ} d θ

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189. $f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t : solutions$

Déterminer les fonctions

f

continues sur

R

à valeurs dans

R

telles que

\forall x \in R, f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

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190. $Équation fonctionnelle et f (1)$

Déterminer les fonctions

f

continues sur

R

à valeurs dans

R

telles que

\forall x \in R, f (x) = 2 f (1) - 3 \int_{0}^{x} f (t) d t

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191. $Une équation fonctionnelle$

Soit

λ \in [- 1, 1]

. Trouver les fonctions

f \in C^{0} (R, R)

telles que

\forall x \in R, f (x) = \int_{0}^{λ x} f (t) d t .

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192. $Intégrales de Wallis$

On pose pour tout

n \geq 0

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} (x) d x .

Q1-Calculer

I_{0}

I_{1}

Q2-En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre

I_{n}

I_{n + 2}

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193. $Suite f_{n, λ} = sin (2 n x) ln (...)$

Pour

n \in N^{*}

λ \in R_{+}^{*}

x \in [0, \frac{π}{2} [

, on pose

f_{n, λ} (x) = sin (2 n x) ln (λ cos x)

Q1-Etudier la limite de

f_{n, λ} (x)

lorsque

x

tend vers

\frac{π}{2}

Q2-On pose

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{n, 1} (x) d x

. Montrer que

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{n, λ} (x) d x = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2 n} ln λ + I_{n}

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194. $Une récurrence double$

On note, pour tout

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{π} \frac{cos ( n t )}{2 - cos ( t )} d t .

Q1-Montrer que

\forall n \in N

I_{n + 2} = 4 I_{n + 1} - I_{n}

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195. $Oral des Minettes 2005$

Soit

n \in N^{*}

Q1-Prouver que, sur un ensemble à déterminer,

\frac{sin ^{2} ( n t )}{sin ( t )} = sin (t) + sin (3 t) + \dots + sin ((2 n - 1) t) .

Q2-En déduire une expression de

I_{n} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin ^{2} ( n t )}{sin ( t )} d t

sous la forme d'une somme.

Q3-Vérifier que

\forall k \in N^{*}, \frac{1}{2 k + 1} \leq \int_{k}^{k + 1} \frac{d x}{2 x - 1} \leq \frac{1}{2 k - 1} .

Q4-En déduire que

\int_{0}^{π /2} \frac{sin ^{2} ( n t )}{sin ( t )} d t \sim \frac{1}{2} ln (n) .

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196. $Incontournable$

Soit

f : [0, 1] ⟶ R

une fonction continue. Prouver que la suite de terme général

I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t

converge vers

0

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197. $X — ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣, condition$

Soient

(a, b) \in R^{2}

avec

a < b

f \in C^{0} ([a; b], C)

.
À quelle condition portant sur

f

a-t-on

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} ∣ f ∣

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198. $X — Intégrale oscillante$

Soient

(a, b) \in R^{2}

μ \in R_{+}^{*}

f \in C^{2} ([a; b], R)

telles que

\forall x \in [a; b], ∣ f^{'} (x) ∣ \geq μ

f^{'}

monotone.
Montrer :

\int_{a}^{b} e^{2 iπ f (t)} d t \leq \frac{1}{μ π}

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199. $X — Équivalent \int_{0}^{1} (t / (1 + t^{2}))^{n}$

Déterminer un équivalent lorsque

n \to + \infty

I_{n} = \int_{0}^{1} (\frac{t}{1 + t ^{2}})^{n} d t

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200. $X — Zéro de \int_{0}^{x} t f (t) d t$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue vérifiant

\int_{0}^{1} f (t) d t = 0

.
Montrer qu'il existe

x \in] 0; 1 [

vérifiant

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 0

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161.

162.∣∫f∣=∫∣f∣ et signe de f

163.Formule de la moyenne (g positive)

164.Intégrale de f sur [0;π]

165.Formule de la moyenne

166.Polynôme orthogonal aux puissances

167.Formule de la bijection réciproque

168.Stairs

169.Une intégrale trigonométrique

170.Primitives variées (lot 1)

171.Étude de H(x)=αcosx+sinx+2

172.Primitive de 1/(αcos+βsin)

173.TPE MP

174.In​(x)=∫0x​dt/(1+t2)n+1

175.L'inégalité de Poincaré

176.Une belle inégalité

177.Banal

178.f(x)=∫0x​3−⌊t⌋dt

179.Dérivée de f(x)=∫xx2​dt/lnt

180.f(x)=∫0x​sin(x−t)g(t)dt

181.limx→0​∫x2x​cos(t)/tdt

182.g(x)=∫fsin(tx)dt Lipschitz

183.Asymptotique de tn​=∑n/(k2+n2)

184.Riemannissime

185.L'exemple classique

186.Posé à Centrale

187.Équivalent de ∑k​n−k​

188.X PC 2012

189.f(x)=∫0x​f(t)dt : solutions

190.Équation fonctionnelle et f(1)

191.Une équation fonctionnelle

192.Intégrales de Wallis

193.Suite fn,λ​=sin(2nx)ln(...)

194.Une récurrence double

195.Oral des Minettes 2005

196.Incontournable

197.X — ∣∫f∣=∫∣f∣, condition

198.X — Intégrale oscillante

199.X — Équivalent ∫01​(t/(1+t2))n

200.X — Zéro de ∫0x​tf(t)dt

162. $∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ et signe de f$

163. $Formule de la moyenne (g positive)$

164. $Intégrale de f sur [0; π]$

165. $Formule de la moyenne$

166. $Polynôme orthogonal aux puissances$

167. $Formule de la bijection réciproque$

168. $Stairs$

169. $Une intégrale trigonométrique$

170. $Primitives variées (lot 1)$

171. $Étude de H (x) = α cos x + sin x + 2$

172. $Primitive de 1/ (α cos + β sin)$

173. $TPE MP$

174. $I_{n} (x) = \int_{0}^{x} d t / (1 + t^{2})^{n + 1}$

175. $L'inégalité de Poincaré$

176. $Une belle inégalité$

177. $Banal$

178. $f (x) = \int_{0}^{x} 3^{- ⌊ t ⌋} d t$

179. $Dérivée de f (x) = \int_{x}^{x^{2}} d t / ln t$

180. $f (x) = \int_{0}^{x} sin (x - t) g (t) d t$

181. $lim_{x \to 0} \int_{x}^{2 x} cos (t) / t d t$

182. $g (x) = \int f sin (t x) d t Lipschitz$

183. $Asymptotique de t_{n} = \sum n / (k^{2} + n^{2})$

184. $Riemannissime$

185. $L'exemple classique$

186. $Posé à Centrale$

187. $Équivalent de \sum k n - k$

188. $X PC 2012$

189. $f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t : solutions$

190. $Équation fonctionnelle et f (1)$

191. $Une équation fonctionnelle$

192. $Intégrales de Wallis$

193. $Suite f_{n, λ} = sin (2 n x) ln (...)$

194. $Une récurrence double$

195. $Oral des Minettes 2005$

196. $Incontournable$

197. $X — ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣, condition$

198. $X — Intégrale oscillante$

199. $X — Équivalent \int_{0}^{1} (t / (1 + t^{2}))^{n}$

200. $X — Zéro de \int_{0}^{x} t f (t) d t$