Exercices de Intégration, Sup (prépa) (page 3)

Déterminer un équivalent lorsque $n\to +\infty$ de$$I_n={\int }_0^1{\left(\frac{t}{1+t^2}\right)}^{n}dt.$$

Soit$$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx.$$

On se propose d'etablir la formule de Leibniz $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$ par une approche integrale.

Calculer les intégrales suivantes :

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

Calculer$${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}.$$

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction$$x\mapsto \frac{1}{3+\cos x}.$$

En exploitant le changement de variable $u=\tan t$, calculer pour tout $x\in \mathbb{R}$ l'intégrale$${\int }_0^x\frac{dt}{3+{\cos }^{2}t}.$$

Calculer :

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

Calculer$${\int }_0^1\frac{dx}{\cosh x}.$$

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

Sur $]-1/2;+\infty [$, déterminer$$\int \frac{dx}{(2x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.$$

Calculer les intégrales suivantes :

Probleme : etude de suites et integration. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^n(x)dx$ et $a_n=1-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$.

Probleme : autour du nombre $e$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{1-x}dx$ et $u_n=n!e-I_n$.

Calculer les integrales suivantes.

On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto \frac{x^n{e}^{-x}}{n!}$ (avec la convention $0^0=1$) et $u_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx$.

En utilisant les sommes de Riemann, étudier les limites des suites :
1. $\sum _{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}$.
2. $n\left(\frac{1}{(n+1{)}^2}+...+\frac{1}{(n+n{)}^2}\right)$.
3. $\frac{\sqrt{1}+...+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}$.
4. $n\sqrt[n]{\left(1+{\left(\frac{1}{n}\right)}^2\right)...\left(1+{\left(\frac{n}{n}\right)}^2\right)}$

À faire avec les sommes de Riemann.
1. Calculer ${\int }_a^b{k}^{t}dt$. ($k>0$, $0<a<b$).
2. Calculer ${\int }_a^b{e}^{t}dt$.
3. Calculer ${\int }_a^b\cos tdt$.

Soient $f$, $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Montrer que :
1. ${\left({\int }_a^{b}f(t)g(t)dt\right)}^2\le \left({\int }_a^b{f}^2(t)dt\right)\left({\int }_a^b{g}^2(t)dt\right)$.
2. L'égalité a lieu si, et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles.

En regardant les fonctions suivantes comme des dérivées de fonctions composées, en déterminer les primitives. Vérifier en dérivant.
1. $\exp (\sin x)\cos x$.
2. $(x^2+1{)}^{5/2}x$.
3. $(x^3+x+1{)}^7(3x^2+1)$.
4. $2x\exp (x^2)\cos [\exp (x^2)]$.
5. $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
6. $\frac{\cos x}{1+\sin x}$.
7. $\frac{\ln 5x}{x}$.
8. $\frac{1}{x\ln x}$.
9. $\frac{x}{(2x+1{)}^5}$.

En faisant des intégrations par parties, déterminer les primitives des fonctions suivantes. Vérifier en dérivant.
1. $x\cos x$.
2. $x\exp (-x)$.
3. $\arctan x$.
4. $(\ln x{)}^2$.
5. $\frac{\ln \ln x}{x}$.
6. $\sin \ln x$.
7. $x^3\exp (-x^2)$.

Avec des intégrations par parties, calculer :
1. ${\int }_0^{\pi }{x}^2\sin xdx$.
2. ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{5}xdx$.
3. ${\int }_0^1{x}^2{e}^{2x}dx$.
4. ${\int }_1^{2}x\ln xdx$.

Soit $f$ continue sur $[-b;b]$.
1. Si $f$ est paire, utiliser un changement de variable pour montrer que ${\int }_{-b}^{b}f(x)dx=2{\int }_0^{b}f(x)dx$.
2. Si $f$ est impaire, montrer que ${\int }_{-b}^{b}f(x)dx=0$.

Déterminer les primitives de :
1. $\ln x$
2. $\arctan x$
3. $x{e}^{-x}$
4. $x{e}^{-x^2}$
5. $x^3{e}^{-x}$
6. $e^x\sin x$

Soit la suite de terme general $u_n=\frac{1}{n}\left(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{4}+\cdots +\sqrt[n]{2^n}\right)$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Soit $(I_n)$ la suite d'intégrales définie pour $n\ge 0$ par $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$.
1. Calculer $I_0$.
2. Pour $n\ge 1$, établir une relation de récurrence entre $I_{n-1}$ et $I_n$.
3. Montrer que pour $n\ge 1$, on a $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$.
4. Étudier la limite de la suite $(I_n)$.

Soient $m$, $n$ des entiers strictement positifs. On définit $B(m,n)={\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{m}dx$.
1. Montrer que $B(n,m)=\frac{n}{m+1}B(n-1,m+1)$.
2. Montrer que $B(n,m)=\frac{n!m!}{(n+m+1)!}$.

Soit un entier $m\ge 0$, on définit $K_m(x)=\int x^m\sin xdx$.
1. Déterminer $K_1(x)$.
2. Soit $m\ge 2$, montrer que $K_m(x)=-x^m\cos x+m{x}^{m-1}\sin x-m(m-1)K_{m-2}$.
3. Déterminer $K_0(x)$, $K_1(x)$, $K_2(x)$.
4. Déterminer $K_3(x)$.

Soient $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe $C^1$, positive et decroissante, et $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue. On pose $G(x)={\int }_a^{x}g(t)dt$. Cet exercice montre qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que ${\int }_a^{b}f(t)g(t)dt=f(a){\int }_a^{c}g(t)dt$.

Soient $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[a,b]$, et $M$ un majorant de $|f^{\prime }|$ sur cet intervalle. Soit $R_n(f)$ la somme de Riemann régulière à gauche de $f$ sur $[a,b]$. Montrer que, pour tout $n\ge 1$ : $\left|{\int }_a^{b}f(t)dt-R_n(f)\right|\le \frac{M(b-a{)}^2}{2n}$.

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur un segment $[a;b]$. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)dt=0$.

L'objet de cet exercice est d'étudier la suite de terme général $u_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx$, où $f_n(x)=\frac{x^n}{\sqrt{1+x}}$.
1. Calculer la limite de $f_n(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $x$ étant un point donné de $[0;1]$.
2. Calculer $u_0$ et $u_1$, en effectuant le changement de variable $t=1+x$.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
4. Étudier les variations de la fonction $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ sur $[0;1]$. En déduire un encadrement de $u_n$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
5. En observant que $u_{n-1}+u_n={\int }_0^1{x}^{n-1}\sqrt{1+x}dx$, établir que $u_{n-1}+u_n\le \frac{\sqrt{2}}{n}$.
6. À l'aide des résultats précédents, établir que $\frac{\sqrt{2}}{2(n+1)}\le u_n\le \frac{\sqrt{2}}{2n}$. En déduire la limite de $n{u}_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'intégrations par parties.
1. ${\int }_1^e\ln xdx$.
2. ${\int }_0^{1}x\sin xdx$.
3. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\sin xdx$.
4. ${\int }_1^2\cos (\ln t)dt$.

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $x\in \mathbb{R}$. On note $I_n(x)={\int }_0^x{e}^{-t}{t}^{n}dt$.
1. Calculer $I_{n+1}(x)$ en fonction de $I_n(x)$.
2. En déduire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{I}_n(x)=n!$.

On pose $V_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{t}^2{\cos }^{2n}(t)dt$ et $W_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}(t)dt$ pour $n\in \mathbb{N}$.
1. Montrer que $\forall t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $t\le \frac{\pi }{2}\sin t$.
2. En déduire que $\forall n\in \mathbb{N}$, $0\le V_n\le \frac{{\pi }^2}{4}(W_n-W_{n+1})$.
3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $W_{n+1}=\frac{2n+1}{2n+2}{W}_n$ et en déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{V_n}{W_n}=0$.
4. Montrer que pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $W_n=n((2n-1)V_{n-1}-2n{V}_n)$.
5. Déduire des questions précédentes que pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{V_{n-1}}{W_{n-1}}-\frac{V_n}{W_n}=\frac{1}{2n^2}$.
6. Conclure que la suite de terme général $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ (cf notation ci-dessous) converge et calculer sa limite.