Exercices de Intégration en maths Sup (prépa) (page 2)

42. $Équivalent de S_{n} = \sum k$

En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple de

S_{n} = k = 1 \sum n k .

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43. $Limite de ((2 n)! / (n^{n} n!))^{1/ n}$

Déterminer la limite de la suite de terme général

(\frac{( 2 n )!}{n ^{n} n !})^{1/ n} .

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44. $Limites de produits via Riemann$

Étudier les limites de

(k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n}))^{1/ n}

et de

(k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n ^{2}}))^{1/ n} .

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45. $Limites sommes trigonométriques$

Calculer les limites de

k = 1 \sum n sin (\frac{k}{n}) sin (\frac{k}{n ^{2}})

k = 1 \sum n sin^{2} (\frac{1}{k + n})

lorsque

n \to + \infty

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46. $Suite x_{n} et f_{n} = \sum sin (k x) / k$

n \in N^{*}

x \in R

, soit

f_{n} (x) = k = 1 \sum n \frac{sin ( k x )}{k}

.
Soit

x_{n}

le plus petit réel strictement positif en lequel

f_{n}

atteint un maximum local. Calculer

lim f_{n} (x_{n})

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47. $Équivalent de u_{n} = \sum 1/ (n + 2 k)^{3}$

Déterminer un équivalent quand

n \to + \infty

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{( n + 2 k ) ^{3}} .

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48. $Restes euclidiens et Riemann$

Étudier la suite suivante

u_{n} = \frac{r ( 1 ) + r ( 2 ) + \dots + r ( n )}{n ^{2}}

avec

r (k)

le reste de la division euclidienne de

n

par

k

.
Indice : étudier la suite suivante

v_{n} = \frac{( n - r ( 1 )) + ( n - r ( 2 )) + \dots + ( n - r ( n ))}{n ^{2}} .

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La division euclidienne de

n

par

k

s'écrit

n = ⌊ n / k ⌋ k + r (k)

et donc

n - r (k) = k ⌊ n / k ⌋

puis

v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋

ce qui fait penser à une somme de Riemann associée à la fonction

f : t \mapsto t ⌊ 1/ t ⌋

définie et continue par morceaux sur

] 0; 1]

. Bien qu'elle soit prolongeable par continuité en

0

, ce prolongement n'est pas continue par morceaux sur

[0; 1]

(il n'existe pas de subdivision finie du segment

[0; 1]

qui soit adaptée) et l'on ne peut donc pas employer directement le théorème du cours relatif aux sommes de Riemann : cela va nous obliger à un petit découpage...
Soit

N \in N^{*}

. On peut écrire

v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum ⌊ n / N ⌋ \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ + \frac{1}{n} k = ⌊ n / N ⌋ + 1 \sum n \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ .

D'une part

\frac{1}{n} k = 1 \sum ⌊ n / N ⌋ \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ \leq \frac{1}{n} k = 1 \sum ⌊ n / N ⌋ 1 \leq \frac{⌊ n / N ⌋}{n} \leq \frac{1}{N}

et d'autre part, par les sommes de Riemann

\frac{1}{n - ⌊ n / N ⌋} k = ⌊ n / N ⌋ + 1 \sum n \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ n \to + \infty \int_{1/ N}^{1} t ⌊ 1/ t ⌋ d t .

Par le changement de variable

u = 1/ t

\int_{1/ N}^{1} t ⌊ 1/ t ⌋ d t = \int_{1}^{N} \frac{⌊ u ⌋}{u ^{3}} d u = k = 1 \sum N \int_{k}^{k + 1} \frac{k}{u ^{3}} d u

puis

\int_{1/ N}^{1} t ⌊ 1/ t ⌋ d t = \frac{1}{2} k = 1 \sum N (\frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k}) = \frac{1}{2} k = 1 \sum N + 1 \frac{1}{k ^{2}}

et l'on remarque que

\frac{1}{2} k = 1 \sum N + 1 \frac{1}{k ^{2}} N \to + \infty \frac{π ^{2}}{12} .

En choisissant

N

assez grand pour que

1/ N \leq ε

\frac{1}{2} k = N + 2 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}} \leq ε

, on a

v_{n} - \frac{π ^{2}}{12} \leq ε + \frac{n - ⌊ n / N ⌋}{n} \frac{1}{n - ⌊ n / N ⌋} k = ⌊ n / N ⌋ + 1 \sum N \frac{k}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ - \frac{π ^{2}}{12} + \frac{⌊ n / N ⌋}{n} \frac{π ^{2}}{12} .

Puis pour

n

assez grand

v_{n} - \frac{π ^{2}}{12} \leq ε + \frac{n - ⌊ n / N ⌋}{n} (k = N + 2 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}} + ε) + \frac{⌊ n / N ⌋}{n} \frac{π ^{2}}{12}

ce qui donne

v_{n} - \frac{π ^{2}}{12} \leq ε + 2 ε + ε \frac{π ^{2}}{12} .

Finalement

v_{n} \to π^{2} /12

puis

u_{n} \to 1 - π^{2} /12

49. $Limites de sommes via Riemann (2)$

On etudie la limite de sommes du type

p = n + 1 \sum 2 n a_{p}

en les interpretant comme des sommes de Riemann.

Q1-Déterminer

n \to + \infty lim p = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{p}

Q2-Pour

α > 1

, déterminer

n \to + \infty lim p = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{p ^{α}}

Q3-En déduire

n \to + \infty lim p = n + 1 \sum 2 n sin (\frac{1}{p})

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50. $Taylor avec reste intégral$

Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.

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51. $Reste de Taylor de e^{x}$

Montrer que pour tout

n \in N

et tout

x \in R

e^{x} - k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} \leq \frac{∣ x ∣ ^{n + 1} e ^{∣ x ∣}}{( n + 1 )!} .

En déduire

n \to \infty lim k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} .

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52. $Taylor-Lagrange pour ln (1 + x)$

En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction

x \mapsto ln (1 + x)

entre

0

1

, montrer que :

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} n \to + \infty ln 2.

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53. $\sum (- 1)^{k} / (k + 1) = ln 2 via Taylor$

En exploitant une formule de Taylor adéquate établir

n \to + \infty lim k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1} = ln 2.

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54. $Taux d'accroissement d'ordre 2$

Soient

f : R \to R

de classe

C^{2}

a \in R

.
Déterminer

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - 2 f ( a ) + f ( a - h )}{h ^{2}} .

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55. $Somme S_{n} et Taylor$

Soient

f : [0; 1] \to R

une application de classe

C^{2}

S_{n} = k = 1 \sum n f (\frac{k}{n ^{2}}) - n f (0) .

Déterminer la limite de la suite

(S_{n})

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56. $sin x = x - x^{3} /6 + O (x^{5}) et θ_{x}$

On s'interesse au reste de Taylor de

sin x

et au parametre

θ_{x}

qui lui est associe.

Q1-Montrer, pour tout

x \in] 0; π /2 [

, l'existence de

θ_{x} \in] 0; 1 [

tel que

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} cos (x θ_{x})

57. $Zéros et dérivées d'une fct C^{n}$

Soient

n \in N^{*}

ϕ : R \to R

une fonction de classe

C^{n}

telle que

ϕ (x) x \to 0 = o (x^{n}) .

Q1-Montrer que

\forall0 \leq p \leq n, ϕ^{(p)} (x) x \to 0 = o (x^{n - p}) .

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58. $Valeur moyenne d'une escalier$

Soient

f : [a; b] \to R

une fonction continue par morceaux et

c \in] a; b [

.
Montrer que

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t \leq max {\frac{1}{c - a} \int_{a}^{c} f (t) d t, \frac{1}{b - c} \int_{c}^{b} f (t) d t} .

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59. $Égalité ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ (réel)$

Soit

f : [a; b] \to R

continue. Montrer

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t

si, et seulement si,

f \geq 0

f \leq 0

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60. $CNS pour ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ réel$

f

étant continue sur

[a; b]

et à valeurs dans

R

, trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x .

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61. $CNS pour ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ complexe$

Soient

(a, b) \in R^{2}

avec

a < b

f \in C^{0} ([a; b], C)

.
À quelle condition portant sur

f

a-t-on

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} ∣ f ∣ ?

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62. $Point fixe via valeur intermédiaire$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue telle que

\int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} .

Montrer que

f

admet un point fixe.

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63. $Seconde formule de la moyenne$

(Seconde formule de la moyenne) Soient

f, g : [a; b] \to R

deux fonctions continues avec

f

decroissante et positive.

Q1-Pour

n \in N^{*}

, on pose

S_{n} = k = 0 \sum n - 1 f (a_{k}) \int_{a_{k}}^{a_{k + 1}} g (t) d t avec a_{k} = a + k \frac{( b - a )}{n} .

Montrer que

S_{n} n \to + \infty \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t

Q2-On introduit

G

la primitive de

g

s'annulant en

a

. Montrer que

f (a) [a; b] min G \leq S_{n} \leq f (a) [a; b] max G .

Q3-En deduire qu'il existe

c \in [a; b]

verifiant

\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = f (a) \int_{a}^{c} g (t) d t .

Q4-Soient

f, g : [a; b] \to R

continues avec

f

monotone. Montrer qu'il existe

c \in [a; b]

tel que

\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = f (a) \int_{a}^{c} g (t) d t + f (b) \int_{c}^{b} g (t) d t .

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64. $Inégalité de la moyenne$

Soit

f

une fonction réelle de classe

C^{1}

positive et décroissante sur

I = [a; b]

.
Soit

g

une fonction continue sur

I

. On définit

G : I \to R

par la relation

G (x) = \int_{a}^{x} g (t) d t .

Q1-Montrer qu'il existe

m, M \in R

tel que

G ([a; b]) = [m; M]

Q2-Montrer que

\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = f (b) G (b) - \int_{a}^{b} f^{'} (t) G (t) d t

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65. $Intégrale et symétrie sur [0; π]$

Soit

f : [0; π] \to R

continue.

Q1-Montrer que si

\int_{0}^{π} f (t) sin t d t = 0

alors il existe

a \in] 0; π [

tel que

f

s'annule en

a

Q2-Montrer que si

\int_{0}^{π} f (t) sin t d t = \int_{0}^{π} f (t) cos t d t = 0

alors

f

s'annule 2 fois sur

] 0; π [

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66. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

Soit

f : [a; b] \to R

continue par morceaux. Montrer que la fonction

x \mapsto \int_{a}^{b} f (t) sin (x t) d t

est lipschitzienne.

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67. $Inégalité intégrale min-max$

Soient

f : [0; 1] \to R

continue telle que

\int_{0}^{1} f (t) d t = 0

m

le minimum de

f

M

son maximum.
Prouver

\int_{0}^{1} f^{2} (t) d t \leq - m M .

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68. $Formule de la moyenne généralisée$

Soient

f, g : [a; b] \to R

des fonctions continues. Montrer qu'il existe

c \in [a; b]

tel que

g (c) \int_{a}^{b} f (t) d t = f (c) \int_{a}^{b} g (t) d t

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69. $Fct orthogonale aux continues$

Soit

f : [a; b] \to R

une fonction continue. On suppose

\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t = 0

pour toute fonction

g : [a; b] \to R

continue et s'annulant en

a

b

.
Montrer que

f

est la fonction nulle.

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70. $Limites sans calcul (lot 1)$

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes :

Q1-

x \to 0^{+} lim \int_{- x}^{x} sin t^{2} d t

Q2-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{ln t}

Q3-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t

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71. $Limites sans calcul (lot 2)$

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes :

Q1-

x \to 0^{+} lim \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{t}}{t} d t

Q2-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{e ^{1/ t}}{t} d t

Q3-

x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{cos ( 1/ t )}{t} d t

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72. $lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f$

Soit

f : R_{+} \to R

continue. Déterminer

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t .

73. $Point fixe : primitive de moyenne 0$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue vérifiant

\int_{0}^{1} f (t) d t = 0.

Montrer qu'il existe

x \in] 0; 1 [

vérifiant

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 0.

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74. $Primitive de moyenne nulle$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue. Montrer que

f

possède une unique primitive

F

telle que

\int_{0}^{1} F (t) d t = 0.

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75. $Inégalité de Chebyshev intégrale$

Soient

f : [0; 1] \to R

une fonction continue décroissante et

g : [0; 1] \to R

une fonction continue prenant ses valeurs dans

[0; 1]

. Montrer que

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x \leq \int_{0}^{λ} f (x) d x

avec

λ = \int_{0}^{1} g (x) d x .

Que devient cette inégalité lorsque

f

est croissante ?

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76. $I_{p, q} = \int_{a}^{b} (t - a)^{p} (b - t)^{q} d t$

Pour

p

q

entiers naturels, on pose :

I_{p, q} = \int_{a}^{b} (t - a)^{p} (b - t)^{q} d t .

77. $Wallis I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t$

(Intégrales de Wallis) Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t d t .

Q1-Montrer que

I_{n} = \int_{0}^{π /2} cos^{n} t d t

I_{n} > 0

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78. $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{x} / n! d x$

On pose, pour

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x .

79. $I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x$

Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x .

Q1-Calculer

I_{0}

I_{1}

Q2-Établir une relation liant

I_{n}

I_{n + 1}

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80. $u_{n} = \int_{0}^{1} d x / (1 + x^{n})$

Pour

n \in N

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{n}} .

41.

42.Équivalent de Sn​=∑k​

43.Limite de ((2n)!/(nnn!))1/n

44.Limites de produits via Riemann

45.Limites sommes trigonométriques

46.Suite xn​ et fn​=∑sin(kx)/k

47.Équivalent de un​=∑1/(n+2k)3

48.Restes euclidiens et Riemann

49.Limites de sommes via Riemann (2)

50.Taylor avec reste intégral

51.Reste de Taylor de ex

52.Taylor-Lagrange pour ln(1+x)

53.∑(−1)k/(k+1)=ln2 via Taylor

54.Taux d'accroissement d'ordre 2

55.Somme Sn​ et Taylor

56.sinx=x−x3/6+O(x5) et θx​

57.Zéros et dérivées d'une fct Cn

58.Valeur moyenne d'une escalier

59.Égalité ∣∫f∣=∫∣f∣ (réel)

60.CNS pour ∣∫f∣=∫∣f∣ réel

61.CNS pour ∣∫f∣=∫∣f∣ complexe

62.Point fixe via valeur intermédiaire

63.Seconde formule de la moyenne

64.Inégalité de la moyenne

65.Intégrale et symétrie sur [0;π]

66.Lemme de Riemann-Lebesgue

67.Inégalité intégrale min-max

68.Formule de la moyenne généralisée

69.Fct orthogonale aux continues

70.Limites sans calcul (lot 1)

71.Limites sans calcul (lot 2)

72.limx→0​x1​∫0x​f

73.Point fixe : primitive de moyenne 0

74.Primitive de moyenne nulle

75.Inégalité de Chebyshev intégrale

76.Ip,q​=∫ab​(t−a)p(b−t)qdt

77.Wallis In​=∫0π/2​sinnt

78.In​=∫01​(1−x)nex/n!dx

79.In​=∫1e​(lnx)ndx

80.un​=∫01​dx/(1+xn)

42. $Équivalent de S_{n} = \sum k$

43. $Limite de ((2 n)! / (n^{n} n!))^{1/ n}$

44. $Limites de produits via Riemann$

45. $Limites sommes trigonométriques$

46. $Suite x_{n} et f_{n} = \sum sin (k x) / k$

47. $Équivalent de u_{n} = \sum 1/ (n + 2 k)^{3}$

48. $Restes euclidiens et Riemann$

49. $Limites de sommes via Riemann (2)$

50. $Taylor avec reste intégral$

51. $Reste de Taylor de e^{x}$

52. $Taylor-Lagrange pour ln (1 + x)$

53. $\sum (- 1)^{k} / (k + 1) = ln 2 via Taylor$

54. $Taux d'accroissement d'ordre 2$

55. $Somme S_{n} et Taylor$

56. $sin x = x - x^{3} /6 + O (x^{5}) et θ_{x}$

57. $Zéros et dérivées d'une fct C^{n}$

58. $Valeur moyenne d'une escalier$

59. $Égalité ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ (réel)$

60. $CNS pour ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ réel$

61. $CNS pour ∣ \int f ∣ = \int ∣ f ∣ complexe$

62. $Point fixe via valeur intermédiaire$

63. $Seconde formule de la moyenne$

64. $Inégalité de la moyenne$

65. $Intégrale et symétrie sur [0; π]$

66. $Lemme de Riemann-Lebesgue$

67. $Inégalité intégrale min-max$

68. $Formule de la moyenne généralisée$

69. $Fct orthogonale aux continues$

70. $Limites sans calcul (lot 1)$

71. $Limites sans calcul (lot 2)$

72. $lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f$

73. $Point fixe : primitive de moyenne 0$

74. $Primitive de moyenne nulle$

75. $Inégalité de Chebyshev intégrale$

76. $I_{p, q} = \int_{a}^{b} (t - a)^{p} (b - t)^{q} d t$

77. $Wallis I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t$

78. $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{x} / n! d x$

79. $I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x$

80. $u_{n} = \int_{0}^{1} d x / (1 + x^{n})$