Exercices de Intégration en maths Sup (prépa) (page 4)

122. $Primitives simples (lot 2)$

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :

1.

f (x) = (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x + 3)^{3}

I = R

f (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{3} - 3 x + 2 ) ^{3}}

I =] - \infty, - 2 [

f (x) = \frac{( x - 1 )}{x ( x - 2 )}

I =] - \infty, 0 [

f (x) = \frac{1}{x ln ( x ^{2} )}

I =] 1, + \infty [

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123. $Primitives : arctan, (ln)^{2}, sin ln$

Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

1.

x \mapsto arctan (x)

x \mapsto (ln x)^{2}

x \mapsto sin (ln x)

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124. $Intégrales par parties (lot 4)$

Calculer les intégrales suivantes :

1.

I = \int_{1}^{2} \frac{ln ( 1 + t )}{t ^{2}} d t

J = \int_{0}^{1} x (arctan x)^{2} d x

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125. $K = \int_{0}^{1} x ln x / (x^{2} + 1)^{2}$

K = \int_{0}^{1} \frac{x ln x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

126. $Primitive de ln^{n} x$

Pour

n \geq 1

, donner une primitive de

ln^{n} x

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127. $I_{n, p} = \int_{0}^{1} x^{n} (ln x)^{p} d x$

Pour

(n, p)

éléments de

N^{*} \times N

, on pose

I_{n, p} = \int_{0}^{1} x^{n} (ln x)^{p} d x .

Calculer

I_{n, p}

128. $Lemme Riemann-Lebesgue (variante)$

Soit

f : [a, b] \to R

une fonction de classe

C^{1}

. Démontrer que

\int_{a}^{b} f (t) sin (n t) d t \to 0.

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129. $Changements de variables (lot 4)$

En effectuant le changement de variables demandé, calculer les intégrales suivantes :

1.

\int_{1}^{4} \frac{1 - t}{t} d t

en posant

x = t

.

2.

\int_{0}^{π} \frac{sin t}{1 + cos ^{2} t} d t

en posant

x = cos t

;

3.

\int_{1}^{e} \frac{d t}{2 t ln ( t ) + t}

en posant

x = ln t

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130. $Changements de variables (lot 5)$

En effectuant le changement de variables indiqué, calculer les intégrales suivantes :

1.

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + e ^{t}}

en posant

x = e^{t}

;

2.

\int_{1}^{3} \frac{t}{t + 1} d t

en posant

x = t

;

3.

\int_{- 1}^{1} 1 - t^{2} d t

en posant

t = sin θ

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1. La fonction

t \mapsto e^{t}

est de classe

C^{1}

sur

[0, 1]

, à valeurs dans

[1, e]

. Posons

x = e^{t}

, de sorte que pour

t = 0

on a

x = 1

et pour

t = 1

, on a

x = e

. En dérivant, on a de plus

d x = e^{t} d t

et donc

d t = \frac{d x}{x}

. Ainsi,

\frac{d t}{e ^{t} + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )} .

Il vient

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + e ^{t}} = \int_{1}^{e} \frac{d x}{x ( 1 + x )} .

On calcule cette dernière intégrale en remarquant que

\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

, d'où l'on tire

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + e ^{t}} = \int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x

= [ln (x) - ln (x + 1)]_{1}^{e}

= 1 + ln (2) - ln (e + 1) .

2. La fonction

t \mapsto t

est de classe

C^{1}

sur

[1, 3]

avec pour image

[1, 3]

. Posons

x = t

de sorte que, lorsque

t = 1

, on a

x = 1

et lorsque

t = 3

, on a

x = 3

. En dérivant, on trouve

d x = \frac{d t}{2 t}

de sorte que

d t = 2 x d x

. Ainsi,

\frac{t}{t + 1} d t = \frac{x}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x d x = 2 \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x .

On va calculer l'intégrale résultant du changement de variable en remarquant que

\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1 - 1}{x ^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x ^{2} + 1} .

Finalement, on trouve que

\int_{1}^{3} \frac{t}{t + 1} d t = 2 \int_{1}^{3} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x

= 2 \int_{1}^{3} d x - 2 \int_{1}^{3} \frac{d x}{1 + x ^{2}}

= 2 (3 - 1 - arctan (3) + arctan (1))

= 2 (3 - 1 - \frac{π}{3} + \frac{π}{4})

= 23 - 2 - \frac{π}{6} .

3. La fonction

θ \mapsto sin (θ)

est de classe

C^{1}

sur

[- π /2, π /2]

, à valeurs dans

[- 1, 1]

. Si on pose

x = sin θ

, on a, puisque

θ \in [- π /2, π /2]

, on a

1 - sin^{2} θ = cos^{2} (θ) = ∣ cos (θ) ∣ = cos (θ)

car

cos (θ) \geq 0

puisque

θ \in [- π /2, π /2]

. Il vient

1 - x^{2} d x = 1 - sin^{2} θ cos (θ) d θ = ∣ cos θ ∣ \cdot cos (θ) d θ = cos^{2} (θ)

car

cos (θ) \geq 0

puisque

θ \in [- π /2, π /2]

. Il vient

\int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x = \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} (θ) d θ

= \int_{- π /2}^{π /2} \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2} d θ

= \frac{π}{2} + [\frac{sin ( 2 θ )}{4}]_{- π /2}^{π /2}

= \frac{π}{2} .

131. $Erreur chgt de variable tan$

On demande de calculer

I = \int_{0}^{π} \frac{d x}{1 + cos ^{2} ( x )} .

Sur une copie d'un étudiant, on lit

I = \int_{0}^{π} \frac{d x}{1 + \frac{1}{1 + t a n ^{2} x}}

= \int_{0}^{π} \frac{( 1 + tan ^{2} x ) d x}{2 + tan ^{2} x} .

Je pose

t = tan x

, d'où

d t = (1 + tan^{2} x) d x

, et j'obtiens

I = \int_{t a n 0}^{t a n π} \frac{1}{2 + t ^{2}} d t = 0.

1. Pourquoi est-ce manifestement faux?
2. Où est l'erreur de raisonnement?
3. Quelle est la valeur de

I

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132. $Primitives de fractions rat.$

Donner une primitive des fonctions suivantes :

1.

x \mapsto \frac{1}{x ^{2} + 4}

x \mapsto \frac{1}{x ^{2} + 4 x + 5}

x \mapsto \frac{1}{1 - x ^{2}}

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133. $Primitive de 1/ cos^{4} x$

Déterminer une primitive de la fonction

\frac{1}{cos ^{4} x}

sur l'intervalle

] - π /2, π /2 [

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134. $Intégrales trigonométriques$

Calculer les intégrales suivantes :

1.

\int_{0}^{π /4} \frac{sin ^{3} ( t )}{1 + cos ^{2} t} d t

\int_{π /3}^{π /2} \frac{d x}{sin x}

\int_{0}^{π /3} (1 + cos (x)) tan (x) d x

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135. $f avec \int f = \int f^{2} sur [0, 1]$

Déterminer les fonctions continues

f : [0, 1] \to [0, 1]

vérifiant

\int_{0}^{1} f (t) d t = \int_{0}^{1} f^{2} (t) d t

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136. $Valeur moyenne atteinte$

Soit

f : [a, b] \to R

continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe

c \in [a, b]

tel que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t .

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137. $Limite de \int_{0}^{1} f^{n} (f crois.)$

Soit

f : [0, 1] \to R

strictement croissante telle que

f (0) = 0

f (1) = 1

. Prouver que

n \to + \infty lim \int_{0}^{1} (f (t))^{n} d t = 0

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138. $Équation 2 y f (x) = \int_{x - y}^{x + y} ...$

Déterminer toutes les fonctions continues

f : R \to R

vérifiant, pour tous

(x, y) \in R^{2}

2 y f (x) = \int_{x - y}^{x + y} f (t) d t .

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139. $Limites par sommes de Riemann (4)$

Calculer la limite des suites suivantes :

1.

u_{n} = \frac{1}{n} (sin (\frac{π}{n}) + sin (\frac{2 π}{n}) + \dots + sin (\frac{nπ}{n})) .

u_{n} = n (\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} + \dots + \frac{1}{( n + n ) ^{2}}) .

u_{n} = \frac{1 + 2 + \dots + n - 1}{n n} .

u_{n} = n (1 + (\frac{1}{n})^{2}) (1 + (\frac{2}{n})^{2}) \dots (1 + (\frac{n}{n})^{2}) .

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140. $Limite de v_{n} = (1/ n) \prod (k + n)^{1/ n}$

Déterminer la limite de

v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \prod n (k + n)^{1/ n} .

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141. $Limite de \sum_{p = n}^{2 n} 1/ p$

Déterminer la limite de

S_{n} = p = n \sum 2 n \frac{1}{p}

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142. $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} / (1 + x) d x$

Pour

n \geq 0

, on définit

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x .

1. Démontrer que la suite

(I_{n})

tend vers 0.

2. Pour

n \geq 0

, calculer

I_{n} + I_{n + 1}

.

3. En déduire

n \to + \infty lim k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}

143. $Limites d'intégrales paramétriques$

Calculer la limite de la suite

(u_{n})

dans les cas suivants :

1.

u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} ln (1 + x) d x

u_{n} = \int_{0}^{n} \frac{d t}{1 + e ^{n t}}

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144. $Règle de Leibniz (bornes variables)$

1. Soient

I, J

des intervalles de

R

, soit

a \in I

, soit

h : I \to R

continue,

u, v : J \to I

de classe

C^{1}

F (x) = \int_{u (x)}^{v (x)} h (t) d t .

Exprimer

F

en fonction de

f : x \mapsto \int_{a}^{x} h (t) d t

. En déduire que

F

est

C^{1}

et calculer sa dérivée.

2. On considère la fonction

F

définie sur

J =] 1, + \infty [

par

F (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{( ln t ) ^{2}} .

Étudier le sens de variation de

F

sur

J

.

3. En utilisant la décroissance de la fonction

t \mapsto \frac{1}{( ln t ) ^{2}}

sur

I =] 1, + \infty [

, déterminer

x \to + \infty lim F (x)

.

4. En utilisant l'inégalité

0 < ln t \leq t - 1

pour

t \in I

, déterminer

x \to 1^{+} lim F (x)

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145. $I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x (bis)$

Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x

Q1-Calculer

I_{0}

I_{1}

Q2-Etablir une relation liant

I_{n}

I_{n + 1}

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146. $Mines — dérivée seconde, 3 points$

mines

Soient

f : I \to R

une fonction deux fois dérivable sur

I

a, b, c

trois points distincts de

I

.
Montrer

\exists d \in I, \frac{f ( a )}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{f ( b )}{( b - c ) ( b - a )} + \frac{f ( c )}{( c - a ) ( c - b )} = \frac{1}{2} f^{''} (d) .

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147. $Mines — produits via Riemann$

mines

Étudier les limites de

(k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n}))^{1/ n} et de (k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n ^{2}}))^{1/ n} .

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148. $Mines — sommes trigonométriques$

mines

Calculer les limites de

k = 1 \sum n sin (\frac{k}{n}) sin (\frac{k}{n ^{2}}) et k = 1 \sum n sin^{2} (\frac{1}{k + n})

lorsque

n \to + \infty

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149. $Mines — Taylor avec reste intégral$

mines

Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral.

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150. $Mines — inégalité sur] 0; π /2 [$

mines

Soit

x \in] 0; π /2 [

Q1-Montrer, pour tout

x \in] 0; π /2 [

, l'existence de

θ_{x} \in] 0; 1 [

tel que

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} cos (x θ_{x})

Q2-Étudier la limite de

θ_{x}

quand

x

tend vers

0

par valeur supérieure.

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151. $Mines — DA de \frac{1}{n !} \sum k!$

mines

Donner un développement asymptotique de

(\frac{1}{n !} k = 0 \sum n k!)_{n \in N}

à la précision

o (n^{- 3})

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152. $CCP PC$

On pose

u_{n} = \int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{d t}{1 + t ^{2}}

. Montrer que

u_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n ^{2}}

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153. $u_{n} = \int_{0}^{1} x / (1 + x^{n}) d x$

On pose pour

n \in N

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{n}} d x

154. $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} 1 - t d t$

Pour

n \in N

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} 1 - t d t .

155. $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{x} / n! (1.3)$

On pose pour

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x

156. $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} / (1 + t) d t$

On considère la suite de terme général

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 + t} d t

157. $I_{n, p} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{p} d t$

Pour

(n, p) \in N^{2}

, on pose

I_{n, p} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{p} d t

158. $D'après Centrale PSI 2016$

On etudie la suite

(I_{n})

definie par

I_{n} = \int_{0}^{α} sinh (t)^{n} d t

, ou

α

est l'unique reel positif tel que

sinh (α) = 1

Q1-Montrer qu'il existe un unique

α \in R_{+}

tel que

sinh (α) = 1

Q2-On pose pour

n \in N

I_{n} = \int_{0}^{α} sinh (t)^{n} d t

. Déterminer le sens de variation de la suite

(I_{n})

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159. $Intégrale d'une fct T -périodique$

Soit

f : R \to R

une fonction continue

T

-périodique telle que

\int_{0}^{T} f (t) d t = 0

. Montrer que :

\forall a, b \in R, \int_{a}^{b} f (λ t) d t λ \to + \infty 0.

Que devient le résultat si

\int_{0}^{T} f (t) d t \neq = 0

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160. $Limite de \frac{1}{a} \int_{x}^{x + a} f$

Soient

f

une fonction continue sur

R

admettant une limite finie

l

+ \infty

a

un réel strictement positif.

Q1-Montrer que

y \to + \infty lim \int_{y}^{y + a} f (t) d t = a l

Q2-Montrer que

X \to + \infty lim \int_{0}^{X} (f (t + a) - f (t)) d t = - \int_{0}^{a} f (t) d t + a l .

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121.

122.Primitives simples (lot 2)

123.Primitives : arctan, (ln)2, sinln

124.Intégrales par parties (lot 4)

125.K=∫01​xlnx/(x2+1)2

126.Primitive de lnnx

127.In,p​=∫01​xn(lnx)pdx

128.Lemme Riemann-Lebesgue (variante)

129.Changements de variables (lot 4)

130.Changements de variables (lot 5)

131.Erreur chgt de variable tan

132.Primitives de fractions rat.

133.Primitive de 1/cos4x

134.Intégrales trigonométriques

135.f avec ∫f=∫f2 sur [0,1]

136.Valeur moyenne atteinte

137.Limite de ∫01​fn (f crois.)

138.Équation 2yf(x)=∫x−yx+y​...

139.Limites par sommes de Riemann (4)

140.Limite de vn​=(1/n)∏(k+n)1/n

141.Limite de ∑p=n2n​1/p

142.In​=∫01​xn/(1+x)dx

143.Limites d'intégrales paramétriques

144.Règle de Leibniz (bornes variables)

145.In​=∫1e​(lnx)ndx (bis)

146.Mines — dérivée seconde, 3 points

147.Mines — produits via Riemann

148.Mines — sommes trigonométriques

149.Mines — Taylor avec reste intégral

150.Mines — inégalité sur ]0;π/2[

151.Mines — DA de n!1​∑k!

152.CCP PC

153.un​=∫01​x/(1+xn)dx

154.In​=∫01​tn1−t​dt

155.In​=∫01​(1−x)nex/n! (1.3)

156.In​=∫01​tn/(1+t)dt

157.In,p​=∫01​tn(1−t)pdt

158.D'après Centrale PSI 2016

159.Intégrale d'une fct T-périodique

160.Limite de a1​∫xx+a​f

122. $Primitives simples (lot 2)$

123. $Primitives : arctan, (ln)^{2}, sin ln$

124. $Intégrales par parties (lot 4)$

125. $K = \int_{0}^{1} x ln x / (x^{2} + 1)^{2}$

126. $Primitive de ln^{n} x$

127. $I_{n, p} = \int_{0}^{1} x^{n} (ln x)^{p} d x$

128. $Lemme Riemann-Lebesgue (variante)$

129. $Changements de variables (lot 4)$

130. $Changements de variables (lot 5)$

131. $Erreur chgt de variable tan$

132. $Primitives de fractions rat.$

133. $Primitive de 1/ cos^{4} x$

134. $Intégrales trigonométriques$

135. $f avec \int f = \int f^{2} sur [0, 1]$

136. $Valeur moyenne atteinte$

137. $Limite de \int_{0}^{1} f^{n} (f crois.)$

138. $Équation 2 y f (x) = \int_{x - y}^{x + y} ...$

139. $Limites par sommes de Riemann (4)$

140. $Limite de v_{n} = (1/ n) \prod (k + n)^{1/ n}$

141. $Limite de \sum_{p = n}^{2 n} 1/ p$

142. $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} / (1 + x) d x$

143. $Limites d'intégrales paramétriques$

144. $Règle de Leibniz (bornes variables)$

145. $I_{n} = \int_{1}^{e} (ln x)^{n} d x (bis)$

146. $Mines — dérivée seconde, 3 points$

147. $Mines — produits via Riemann$

148. $Mines — sommes trigonométriques$

149. $Mines — Taylor avec reste intégral$

150. $Mines — inégalité sur] 0; π /2 [$

151. $Mines — DA de \frac{1}{n !} \sum k!$

152. $CCP PC$

153. $u_{n} = \int_{0}^{1} x / (1 + x^{n}) d x$

154. $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} 1 - t d t$

155. $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{x} / n! (1.3)$

156. $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} / (1 + t) d t$

157. $I_{n, p} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{p} d t$

158. $D'après Centrale PSI 2016$

159. $Intégrale d'une fct T -périodique$

160. $Limite de \frac{1}{a} \int_{x}^{x + a} f$