Exercices de Suites numériques en maths Sup (prépa) (page 2)

34. $Suite d'entiers distincts$

Soit

(u_{n})

une suite d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que

u_{n} \to + \infty.

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35. $\sum 1/ (n^{α} + k^{α})$

Soient

α > 0

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{α} + k ^{α}} .

Q1-Montrer que si

α > 1

alors

u_{n} \to 0

tandis que si

α < 1

u_{n} \to + \infty

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36. $Limites de suites$

On se propose d'encadrer le logarithme de

(1 + x)

pour

x \geq 0

et d'en deduire le comportement d'un produit infini.

Q1-Établir que pour tout

x \geq 0

on a

x - \frac{1}{2} x^{2} \leq ln (1 + x) \leq x

Q2-En déduire la limite de

u_{n} = k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n ^{2}})

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37. $Limites de suites (suite)$

On etudie le comportement asymptotique de sommes de la forme

k = 1 \sum n p f (1/ (n + k))

, en distinguant le cas

f

derivable et le cas

f

seulement continue.

Q1-Soit

u_{n} = k = 1 \sum n p \frac{1}{n + k}

où

p \in N^{*}

est fixé. Montrer que la suite

(u_{n})

converge. Sa limite sera notée

ℓ

Q2-Soit

f : R_{+} \to C

de classe

C^{1}

et telle que

f (0) = 0

. Soit

v_{n} = k = 1 \sum n p f (\frac{1}{n + k})

. Montrer que

(v_{n})

converge. Exprimer sa limite en fonction de

ℓ

Q3-Calculer

ℓ

en utilisant

f (x) = ln (1 + x)

Q4-Si

f

R_{+}

dans

C

est continue et vérifie

f (0) = 0

, montrer qu'il peut y avoir divergence de la suite

(v_{n})

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38. $Suite positive et u_{n} + 1/ u_{n} \to 2$

Soit

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs. On suppose

u_{n} + \frac{1}{u _{n}} n \to + \infty 2.

Étudier la limite de

(u_{n})

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39. $Moyenne de Cesàro, suite croissante$

Soit

(u_{n})

une suite croissante de limite

ℓ

. On pose

v_{n} = \frac{u _{1} + \dots + u _{n}}{n} .

Q1-Montrer que

(v_{n})

est croissante

Q2-Établir que

v_{2 n} \geq \frac{u _{n} + v _{n}}{2}

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40. $Limite de sup_{p \geq n} u_{p}$

Soit

(u_{n})

une suite réelle convergente. Étudier la limite de la suite

v_{n} = p \geq n sup u_{p}

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41. $Série harmonique et divergence$

(Somme harmonique) Pour tout

n \in N

, on pose

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} .

Montrer que

\forall n \in N^{*}, H_{2 n} - H_{n} \geq \frac{1}{2} .

En déduire que

n \to \infty lim H_{n} = + \infty

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42. $Suite de produits de fractions$

On pose

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times ( 2 n - 1 )}{2 \times 4 \times 6 \times \dots \times ( 2 n )} .

Q1-Exprimer

u_{n}

à l'aide de nombres factoriels

Q2-Montrer que la suite

(u_{n})

converge

Q3-On pose

v_{n} = (n + 1) u_{n}^{2}

. Montrer que la suite

(v_{n})

converge. En déduire la limite de la suite

(u_{n})

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43. $Produit (1 + a) (1 + a^{2}) \dots$

Soient

a > 0

u_{n} = (1 + a) (1 + a^{2}) \dots (1 + a^{n}) .

Q1-Montrer que si

a \geq 1

alors

u_{n} \to + \infty

Q2-On suppose

0 < a < 1

. Montrer que la suite

(u_{n})

est convergente. On pourra exploiter la majoration

1 + x \leq e^{x}

valable pour tout

x \in R

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44. $Suites adjacentes, sinus$

Soient

θ \in] 0; π /2 [

u_{n} = 2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}, v_{n} = 2^{n} tan \frac{θ}{2 ^{n}} .

Montrer que les suites

(u_{n})

(v_{n})

sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?

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45. $Adjacentes et \sum 1/ k$

On pose

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} - 2 n et v_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} - 2 n + 1 .

Montrer que les suites

(u_{n})

(v_{n})

sont adjacentes.
En déduire un équivalent de

k = 1 \sum n \frac{1}{k} .

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46. $Suites adjacentes pour \sum 1/ k^{2}$

Pour tout

n \in N^{*}

, on pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} et S_{n}^{'} = S_{n} + \frac{1}{n} .

Montrer que les suites

(S_{n})

(S_{n}^{'})

sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est

π^{2} /6

, mais c'est une autre histoire...

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47. $Moyenne AGM (classique)$

(Moyenne arithmético-géométrique)

Q1-Pour

(a, b) \in R_{+}^{2}

, établir :

2 ab \leq a + b

Q2-On considère les suites de réels positifs

(u_{n})

(v_{n})

définies par

u_{0} = a, v_{0} = b

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} v_{n}, v_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2}

. Montrer que, pour tout

n \geq 1

u_{n} \leq v_{n}

u_{n} \leq u_{n + 1}

v_{n + 1} \leq v_{n}

Q3-Établir que

(u_{n})

(v_{n})

convergent vers une même limite. Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de

a

b

et est notée

M (a, b)

Q4-Calculer

M (a, a)

M (a, 0)

pour

a \in R_{+}

Q5-Exprimer

M (λa, λb)

en fonction de

M (a, b)

pour

λ \in R_{+}

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48. $Irrationalité de e$

(Irrationalité de

e

) On pose pour

n \geq 1

u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} et v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !} .

Q1-Montrer que les suites

(u_{n})

(v_{n})

sont adjacentes

Q2-En exploitant l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction

x \mapsto e^{x}

, montrer que

u_{n} \to e

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49. $Sous-suite et suite croissante$

On suppose que

(u_{n})

est une suite réelle croissante telle que

(u_{2 n})

converge.
Montrer que

(u_{n})

converge.

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50. $Divergence de cos (n)$

Justifier que la suite de terme général

cos (n)

diverge.

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51. $Divergence de sin (n)$

Montrer que la suite de terme général

sin (n)

diverge.

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52. $Suite bornée par (n + p) / (n p)$

Soit

(u_{n})

une suite réelle telle que

\forall n, p \in N^{*}, 0 \leq u_{n + p} \leq \frac{n + p}{n p} .

Montrer que

(u_{n})

tend vers

0

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53. $Solutions de x + tan x = n$

Soit

n

un entier naturel et

E_{n}

l'équation

x + tan x = n

d'inconnue

x \in] - π /2; π /2 [

Q1-Montrer que l'équation

E_{n}

possède une solution unique notée

x_{n}

Q2-Montrer que la suite

(x_{n})

converge et déterminer sa limite.

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54. $Solutions de x e^{x} = n$

Montrer que l'équation

x e^{x} = n

possède pour tout

n \in N

, une unique solution

x_{n}

dans

R_{+}

.
Étudier la limite de

(x_{n})

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55. $Racines de x^{n} ln x = 1$

Soit

n

un entier naturel non nul et

E_{n}

l'équation :

x^{n} ln x = 1

d'inconnue

x \in R_{+}^{*}

Q1-Montrer que l'équation

E_{n}

admet une unique solution

x_{n}

, et que

x_{n} \geq 1

Q2-Montrer que la suite

(x_{n})

est décroissante et converge vers

1

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56. $Suite des solutions d'une équation$

Montrer que pour tout

n \geq 1

, l'équation

\frac{x ^{n}}{n !} = k = 0 \sum n - 1 \frac{x ^{k}}{k !}

possède une unique racine

x_{n}

dans

] 0; + \infty [

. Déterminer

lim x_{n}

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57. $Suite n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1$

Montrer que la relation

n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1

définit une suite positive

(u_{n})

unique.
Étudier sa convergence et préciser sa limite.

58. $Terme général de suites récurrentes$

Donner l'expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle

(u_{n})_{n \geq 0}

définie par :

Q1-

u_{0} = 0

\forall n \in N, u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1

Q2-

u_{0} = 0

\forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{2}

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59. $Suites x_{n} et y_{n} couplées$

Soit

(x_{n})

(y_{n})

deux suites réelles telles que

\forall n \in N, x_{n + 1} = \frac{x _{n} - y _{n}}{2} et y_{n + 1} = \frac{x _{n} + y _{n}}{2} .

En introduisant la suite complexe de terme général

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

, montrer que les suites

(x_{n})

(y_{n})

convergent et déterminer leurs limites.

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60. $z_{n + 1} = (z_{n} + 2 \overset{z}{ˉ}_{n}) /3$

Soit

(z_{n})

une suite complexe telle que

\forall n \in N, z_{n + 1} = \frac{1}{3} (z_{n} + 2 \overline{z_{n}}) .

Montrer que

(z_{n})

converge et exprimer sa limite en fonction de

z_{0}

61. $Suites u_{n} et v_{n} couplées$

Soit

(u_{n})

(v_{n})

les suites déterminées par

u_{0} = 1

v_{0} = 2

et pour tout

n \in N

u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 v_{n} et v_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 v_{n} .

Q1-Montrer que la suite

(u_{n} - v_{n})

est constante.

Q2-Prouver que

(u_{n})

est une suite arithmético-géométrique.

Q3-Exprimer les termes généraux des suites

(u_{n})

(v_{n})

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62. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (I)$

Étudier la suite

(z_{n})_{n \geq 0}

définie par

z_{0} \in C

\forall n \in N, z_{n + 1} = \frac{z _{n} + ∣ z _{n} ∣}{2} .

63. $Suite u_{n + 1} = (1 + 1/ (n + 1)) u_{n}$

Soit

(u_{n})

une suite réelle telle que

u_{0} = 1 et \forall n \in N, u_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n + 1}) u_{n} .

Donner l'expression du terme général

u_{n}

de cette suite.

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64. $Récurrence complexe d'ordre 2 (I)$

Donner l'expression du terme général de la suite récurrente complexe

(u_{n})_{n \geq 0}

définie par :

u_{0} = 0

u_{1} = 1 + 4 i

\forall n \in N, u_{n + 2} = (3 - 2 i) u_{n + 1} - (5 - 5 i) u_{n} .

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Exercices de Suites numériques, Sup (prépa) (page 2)

33.

34. $Suite d'entiers distincts$

35. $\sum 1/ (n^{α} + k^{α})$

36. $Limites de suites$

37. $Limites de suites (suite)$

38. $Suite positive et u_{n} + 1/ u_{n} \to 2$

39. $Moyenne de Cesàro, suite croissante$

40. $Limite de sup_{p \geq n} u_{p}$

41. $Série harmonique et divergence$

42. $Suite de produits de fractions$

43. $Produit (1 + a) (1 + a^{2}) \dots$

44. $Suites adjacentes, sinus$

45. $Adjacentes et \sum 1/ k$

46. $Suites adjacentes pour \sum 1/ k^{2}$

47. $Moyenne AGM (classique)$

48. $Irrationalité de e$

49. $Sous-suite et suite croissante$

50. $Divergence de cos (n)$

51. $Divergence de sin (n)$

52. $Suite bornée par (n + p) / (n p)$

53. $Solutions de x + tan x = n$

54. $Solutions de x e^{x} = n$

55. $Racines de x^{n} ln x = 1$

56. $Suite des solutions d'une équation$

57. $Suite n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1$

58. $Terme général de suites récurrentes$

59. $Suites x_{n} et y_{n} couplées$

60. $z_{n + 1} = (z_{n} + 2 \overset{z}{ˉ}_{n}) /3$

61. $Suites u_{n} et v_{n} couplées$

62. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (I)$

63. $Suite u_{n + 1} = (1 + 1/ (n + 1)) u_{n}$

64. $Récurrence complexe d'ordre 2 (I)$

33.

34.Suite d'entiers distincts

35.∑1/(nα+kα)

36.Limites de suites

37.Limites de suites (suite)

38.Suite positive et un​+1/un​→2

39.Moyenne de Cesàro, suite croissante

40.Limite de supp≥n​up​

41.Série harmonique et divergence

42.Suite de produits de fractions

43.Produit (1+a)(1+a2)⋯

44.Suites adjacentes, sinus

45.Adjacentes et ∑1/k​

46.Suites adjacentes pour ∑1/k2

47.Moyenne AGM (classique)

48.Irrationalité de e

49.Sous-suite et suite croissante

50.Divergence de cos(n)

51.Divergence de sin(n)

52.Suite bornée par (n+p)/(np)

53.Solutions de x+tanx=n

54.Solutions de xex=n

55.Racines de xnlnx=1

56.Suite des solutions d'une équation

57.Suite nunn+1​−(n+1)unn​=1

58.Terme général de suites récurrentes

59.Suites xn​ et yn​ couplées

60.zn+1​=(zn​+2zˉn​)/3

61.Suites un​ et vn​ couplées

62.Suite zn+1​=(zn​+∣zn​∣)/2 (I)

63.Suite un+1​=(1+1/(n+1))un​

64.Récurrence complexe d'ordre 2 (I)

34. $Suite d'entiers distincts$

35. $\sum 1/ (n^{α} + k^{α})$

36. $Limites de suites$

37. $Limites de suites (suite)$

38. $Suite positive et u_{n} + 1/ u_{n} \to 2$

39. $Moyenne de Cesàro, suite croissante$

40. $Limite de sup_{p \geq n} u_{p}$

41. $Série harmonique et divergence$

42. $Suite de produits de fractions$

43. $Produit (1 + a) (1 + a^{2}) \dots$

44. $Suites adjacentes, sinus$

45. $Adjacentes et \sum 1/ k$

46. $Suites adjacentes pour \sum 1/ k^{2}$

47. $Moyenne AGM (classique)$

48. $Irrationalité de e$

49. $Sous-suite et suite croissante$

50. $Divergence de cos (n)$

51. $Divergence de sin (n)$

52. $Suite bornée par (n + p) / (n p)$

53. $Solutions de x + tan x = n$

54. $Solutions de x e^{x} = n$

55. $Racines de x^{n} ln x = 1$

56. $Suite des solutions d'une équation$

57. $Suite n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1$

58. $Terme général de suites récurrentes$

59. $Suites x_{n} et y_{n} couplées$

60. $z_{n + 1} = (z_{n} + 2 \overset{z}{ˉ}_{n}) /3$

61. $Suites u_{n} et v_{n} couplées$

62. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (I)$

63. $Suite u_{n + 1} = (1 + 1/ (n + 1)) u_{n}$

64. $Récurrence complexe d'ordre 2 (I)$