Exercices de Suites numériques en maths Sup (prépa) (page 4)

98. $Centrale — \sum sin (k / n^{2})$

centrale

Développement asymptotique à trois termes de :

u_{n} = k = 1 \sum n sin (\frac{k}{n ^{2}}) .

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99. $Mines — (⌊ a^{n} ⌋^{1/ n})$

mines

Étudier la convergence de la suite

(⌊ a^{n} ⌋^{1/ n})

, où

a > 0

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100. $Mines — Fonction croissante, ptfixe$

mines

Soit

f

une fonction croissante de

[0; 1]

dans

[0; 1]

Q1-Montrer que s'il existe

x \in [0; 1]

k \in N^{*}

tels que

f^{k} (x) = x

alors

x

est un point fixe pour

f

Q2-Montrer que

f

admet un point fixe.

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101. $Mines — Suite u_{n + 1} = sin (u_{n} /2)$

mines

Soit

u_{0} \in] 0; 2 π [

puis

\forall n \in N

u_{n + 1} = sin (u_{n} /2)

Q1-Montrer que

(u_{n})

tend vers

0

Q2-Montrer que

lim (2^{n} u_{n}) = A

pour un certain

A > 0

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102. $Suite u_{n + 1} = 2 + u_{n}$

Soit la suite definie par

u_{0} = 0

\forall n \in N, u_{n + 1} = 2 + u_{n}

103. $Suite x_{n + 1} = x_{n} + 1/ x_{n}$

Soit une suite

(x_{n})_{n \in N}

avec

x_{0} > 0

\forall n \in N, x_{n + 1} = x_{n} + \frac{1}{x _{n}}

Q1-Demontrer que la suite

(x_{n})_{n \in N}

est croissante.

Q2-Demontrer successivement : (a)

\forall n \in N, x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2} \geq 2

; (b)

\forall n \in N, x_{n} \geq 2 n

; (c)

x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2} \to 2

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104. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

Soit la suite definie par

u_{0} = 0

\forall n \in N^{*}, u_{n} = n + u_{n - 1}

, de sorte que

u_{n} = k = 1 \sum n k

. Demontrer successivement les proprietes suivantes.

105. $Démonstrations par récurrence$

Les questions sont independantes. Demontrer les proprietes suivantes par recurrence.

Q1-Pour

n \in N^{*}

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Q2-Si

q \neq = 1

, pour

n \in N^{*}

1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Q3-Pour

n \in N^{*}

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

Q4-Soit un reel

a \geq - 1

. Demontrer que, pour tout

n \in N

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

(inegalite de Bernoulli).

Q5-Pour tout entier

n \geq 1

\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}

Q6-On definit les nombres de Fermat par

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

. Demontrer que

\forall n \in N^{*}, F_{0} \dots F_{n - 1} = F_{n} - 2

Q7-On definit la suite de Fibonacci par

f_{0} = 0

f_{1} = 1

f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2}

pour

n \geq 2

. Demontrer par recurrence : (a)

f_{n + 1} f_{n - 1} - f_{n}^{2} = (- 1)^{n}

; (b)

f_{1} + f_{3} + \dots + f_{2 n + 1} = f_{2 n + 2}

; (c)

f_{0} + f_{2} + \dots + f_{2 n} = f_{2 n + 1} - 1

; (d)

f_{0} + f_{1} + \dots + f_{n} = f_{n + 2} - 1

; (e)

f_{0}^{2} + \dots + f_{n}^{2} = f_{n} f_{n + 1}

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106. $Sommes S_{n}, A_{n}, B_{n}$

Rappeler la valeur de

S_{n} = 1 + 2 + \dots + n

. En déduire les valeurs de

A_{n} = 2 + 4 + \dots + 2 n

B_{n} = 1 + 3 + \dots + (2 n - 1)

. Vérifier par récurrence le résultat obtenu pour

B_{n}

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107. $Calculs de limites classiques$

Calculer les limites suivantes si elles existent.
1.

n \to + \infty lim n sin (\frac{1}{n})

.
2.

n \to + \infty lim \frac{5 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 4 ^{n}}

.
3.

n \to + \infty lim \frac{e ^{n} + n ^{2} - 1}{e ^{n} + n + sin ( n ) + 1}

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108. $Suite u_{n + 1} = 1/ (1 + 2 u_{n})$

On définit

(u_{n})

par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{1}{1 + 2 u _{n}}

.
1. Soit

n \in N

. Montrer que

u_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{2} - u _{n}}{1 + 2 u _{n}}

.
2. Soit

n \in N

. Montrer que

\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq 1

.
3. En déduire que pour tout

n \in N

u_{n + 1} - \frac{1}{2} \leq \frac{3}{5} u_{n} - \frac{1}{2}

.
4. En déduire que pour tout

n \in N

u_{n} - \frac{1}{2} \leq (\frac{3}{5})^{n}

.
5. Montrer que

(u_{n})

est convergente et déterminer sa limite.

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109. $S_{n} et S_{n}^{'} convergent vers ln 2$

Pour tout

n \in N

, on pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}

S_{n}^{'} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}

Q1-Montrer que

S_{n} \to ln 2

Q2-Montrer que

S_{n}^{'} \to ln 2

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110. $\sum (n^{α} + k^{α})^{- 1}$

Soient

α > 0

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{α} + k ^{α}} .

1. Montrer que si

α > 1

alors

u_{n} \to 0

tandis que si

α < 1

u_{n} \to + \infty

.

2. Montrer que si

α = 1

, la suite est monotone et convergente.

3. Toujours dans le cas

α = 1

et en exploitant l'encadrement

ln (1 + x) \leq x \leq - ln (1 - x)

valable pour tout

x \in [0; 1 [

, établir

u_{n} \to ln 2

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111. $Suite u_{n + 1} = u_{n} / (2 - u_{n}) (II)$

Soit

a \in C

tel que

0 < ∣ a ∣ < 1

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = a

\forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2 - u _{n}}

.

Montrer que

(u_{n})

est bien définie et

∣ u_{n} ∣ < 1

. Étudier la limite de

(u_{n})

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112. $Valeurs d'adhérence, R^{m}$

Une suite

(u_{n})

(R^{m}, ∥ \cdot ∥_{\infty})

telle que chacune des suites composantes admet une valeur d'adhérence admet-elle une valeur d'adhérence?

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113. $Valeurs d'adhérence : exemples$

1. Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite

(- 1)^{n}

? de la suite

cos (nπ /3)

?

2. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence.

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114. $Extraire une suite majorée$

1. Montrer qu'une suite

(u_{n})

de réels ne tend pas vers

+ \infty

si et seulement si on peut en extraire une suite majorée.

2. Montrer que, de toute suite

(q_{n})

d'entiers naturels qui ne tend pas vers

+ \infty

, on peut extraire une suite constante.

3. Soit

x

un irrationnel et

(r_{n})

une suite de rationnels convergeant vers

x

. Pour tout entier

n

, on écrit

r_{n} = \frac{p _{n}}{q _{n}}

avec

p_{n} \in Z

q_{n} \in N^{*}

. Démontrer que

(q_{n})

tend vers

+ \infty

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115. $Convergence et valeur d'adhérence$

Soit

(u_{n})

une suite de réels bornée. Démontrer que

(u_{n})

converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

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116. $Valeurs d'adhérence d'une suite$

Soit

(u_{n})

une suite réelle. On dit que le réel

l

est valeur d'adhérence de la suite s'il existe une suite extraite de

(u_{n})

qui converge vers

l

.

1. Quelles sont les valeurs d'adhérence d'une suite convergente?
2. Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite

(- 1)^{n}

? de la suite

cos (nπ /3)

?

3. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence.
4. Prouver que si

(u_{n})

est bornée et est divergente, elle admet toujours (au moins) deux valeurs d'adhérence distinctes.

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117. $Valeurs d'adhérence de cos (n)$

Pour cet exercice, on rappelle que

Z + 2 π Z

est dense dans

R

. On fixe

a \in] - 1, 1]

ε > 0

tel que

a - ε \geq - 1

.

1. Démontrer qu'il existe au moins un entier

n \geq 0

tel que

cos (n) \in] a - ε, a [

.

2. En déduire qu'il existe une infinité d'entiers

n \geq 0

tels que

cos (n) \in] a - ε, a [

.

3. Quel est l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite

(cos (n))

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118. $Suite u_{n + 1} = sin (u_{n})$

Soit

(u_{n})_{n \in N}

la suite définie par

u_{0} \in] 0, π [

\forall n \in N, u_{n + 1} = sin (u_{n})

.

1) Démontrer que la suite

(u_{n})

converge vers

0

.

2) On pose, pour

α > 0

, la suite

v_{n} = \frac{1}{u _{n + 1}^{α}} - \frac{1}{u _{n}^{α}}

. Déterminer la seule valeur de

α

pour laquelle

(v_{n})

converge vers une limite finie non nulle. Calculer cette limite.

3) En déduire, par sommation et lemme de Cesàro, un équivalent de

u_{n}

quand

n \to + \infty

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119. $Suite u_{n + 1} = u_{n} + 1/ u_{n}$

Soit

(u_{n})_{n \in N}

la suite définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}}

.

1) Montrer que

(u_{n})

est croissante et diverge vers

+ \infty

.

2) Exprimer

u_{n}

comme une somme.

3) En supposant

u_{n} \sim c n^{α}

pour certains

c > 0

α > 0

, utiliser la "dérivée discrète"

Δ u_{n} = \frac{1}{u _{n}}

pour intuiter les valeurs de

α

c

.

4) Prouver rigoureusement l'équivalent trouvé. (Indication : étudier $v_{n} = u_{n}^{2}$ )

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120. $Fibonacci$

Soit

(φ_{n})_{n \geq 0}

la suite définie par

φ_{0} = 0

φ_{1} = 1

\forall n \geq 0, φ_{n + 2} = φ_{n + 1} + φ_{n} .

Q1-Exprimer

φ_{n}

en fonction de

n

Q2-Montrer que

\forall n \geq 0

φ_{n + 1}^{2} = φ_{n} φ_{n + 2} + (- 1)^{n} .

Voir le corrigé

1. Le polynôme caractéristique de la récurrence

φ_{n + 2} = φ_{n + 1} + φ_{n}

est

X^{2} - X - 1

. Son discriminant est

Δ = 5

. Les racines sont

ϕ = \frac{1 + 5}{2}, ψ = \frac{1 - 5}{2} .

Le terme général est donc de la forme

φ_{n} = λ ϕ^{n} + μ ψ^{n}

. Les conditions initiales donnent :

φ_{0} = 0 ⟹ λ + μ = 0, φ_{1} = 1 ⟹ λ ϕ + μ ψ = 1.

μ = - λ

, on tire

λ (ϕ - ψ) = 1

, soit

λ = \frac{1}{5}

μ = - \frac{1}{5}

. Ainsi :

φ_{n} = \frac{1}{5} (ϕ^{n} - ψ^{n}) = \frac{1}{5} [(\frac{1 + 5}{2})^{n} - (\frac{1 - 5}{2})^{n}] .

2. On procède par récurrence. Pour

n = 0

φ_{1}^{2} = 1

φ_{0} φ_{2} + (- 1)^{0} = 0 \cdot 1 + 1 = 1

. C'est vrai.

Supposons

φ_{n + 1}^{2} = φ_{n} φ_{n + 2} + (- 1)^{n}

. Montrons la relation au rang

n + 1

, c'est-à-dire

φ_{n + 2}^{2} = φ_{n + 1} φ_{n + 3} + (- 1)^{n + 1}

.

On a

φ_{n + 3} = φ_{n + 2} + φ_{n + 1}

, donc :

φ_{n + 1} φ_{n + 3} = φ_{n + 1} (φ_{n + 2} + φ_{n + 1}) = φ_{n + 1} φ_{n + 2} + φ_{n + 1}^{2} .

Par hypothèse de récurrence,

φ_{n + 1}^{2} = φ_{n} φ_{n + 2} + (- 1)^{n}

, donc :

φ_{n + 1} φ_{n + 3} = φ_{n + 1} φ_{n + 2} + φ_{n} φ_{n + 2} + (- 1)^{n} = φ_{n + 2} (φ_{n + 1} + φ_{n}) + (- 1)^{n} = φ_{n + 2}^{2} + (- 1)^{n} .

Ainsi

φ_{n + 2}^{2} = φ_{n + 1} φ_{n + 3} - (- 1)^{n} = φ_{n + 1} φ_{n + 3} + (- 1)^{n + 1}

, ce qui est la relation au rang

n + 1

.

3. De la question 2, on tire

(- 1)^{k} = φ_{k + 1}^{2} - φ_{k} φ_{k + 2}

. Pour

k \geq 1

φ_{k} > 0

φ_{k + 1} > 0

, donc :

\frac{( - 1 ) ^{k}}{φ _{k} φ _{k + 1}} = \frac{φ _{k + 1}^{2} - φ _{k} φ _{k + 2}}{φ _{k} φ _{k + 1}} = \frac{φ _{k + 1}}{φ _{k}} - \frac{φ _{k + 2}}{φ _{k + 1}} .

La somme est télescopique :

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{φ _{k} φ _{k + 1}} = k = 1 \sum n (\frac{φ _{k + 1}}{φ _{k}} - \frac{φ _{k + 2}}{φ _{k + 1}}) = \frac{φ _{2}}{φ _{1}} - \frac{φ _{n + 2}}{φ _{n + 1}} = 1 - \frac{φ _{n + 2}}{φ _{n + 1}} .

\frac{φ _{n + 2}}{φ _{n + 1}} = \frac{ϕ ^{n + 2} - ψ ^{n + 2}}{ϕ ^{n + 1} - ψ ^{n + 1}}

. Comme

∣ ψ ∣ < 1

ψ^{n} \to 0

et donc

\frac{φ _{n + 2}}{φ _{n + 1}} \to ϕ = \frac{1 + 5}{2}

.

Ainsi la suite converge vers :

ℓ = 1 - ϕ = 1 - \frac{1 + 5}{2} = \frac{1 - 5}{2} .

121. $Suite u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} u_{n} / (u + v)$

Soit

(u_{n})_{n \geq 0}

une suite définie par

u_{0}, u_{1} > 0

\forall n \geq 0

u_{n + 2} = \frac{2 u _{n + 1} u _{n}}{u _{n + 1} + u _{n}} .

Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

puis étudier la convergence de la suite.

122. $Suite u_{n + 2} = (u_{n + 1} u_{n}^{2})^{1/3}$

Soit

(u_{n})_{n \geq 0}

une suite définie par

u_{0}, u_{1} > 0

\forall n \geq 0

u_{n + 2} = (u_{n + 1} u_{n}^{2})^{\frac{1}{3}} .

Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

puis étudier la convergence de la suite.

123. $Suites récurrentes d'ordre 2$

Pour chacune des suites

(u_{n})_{n \in N}

récurrentes linéaires d'ordre deux suivantes, calculer

u_{n}

en fonction de

n

Q1-

u_{0} = - 1

u_{1} = 1

u_{n + 2} = \frac{3}{2} u_{n + 1} - \frac{1}{2} u_{n}

;

Q2-

u_{0} = 1

u_{1} = 9

u_{n + 2} = u_{n + 1} - \frac{1}{4} u_{n}

;

Q3-

v_{0} = 0

v_{1} = 1

v_{n + 2} = v_{n + 1} + v_{n}

;

Q4-

u_{0} = 1

u_{1} = 1

u_{n + 2} = 6 u_{n + 1} - 8 u_{n}

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124. $Suite u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$

Soit

(u_{n})

la suite définie par ses deux premiers termes

u_{0} = 0

u_{1} \in] 0, 1 [

et par la relation de récurrence

u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}

125. $Suite (u_{n + 1} + u_{n}) /2$

Soit

(u_{n})

la suite définie par ses deux premiers termes

u_{0}, u_{1} \in] 0, 1 [

et par la relation de récurrence

u_{n + 2} = \frac{u _{n + 1} + u _{n}}{2}

126. $Récurrence complexe d'ordre 2 (II)$

Déterminer le terme général de la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 0

u_{1} = 1 + 4 i

et pour tout

n \in N

u_{n + 2} = (3 - 2 i) u_{n + 1} - (5 - 5 i) u_{n}

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127. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2} / (1 + u_{n} u_{n - 1})$

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0}, u_{1} \in R_{+}

et par la relation de récurrence

\forall n \in N^{*}, u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2}}{1 + u _{n} u _{n - 1}}

Montrer que

(u_{n})

converge et déterminer sa limite.

128. $Ratio ∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣ \to ℓ < 1$

Soit

(u_{n})

une suite réelle ne s'annulant jamais telle que

(\frac{u _{n + 1}}{u _{n}})

converge vers

ℓ \in] - 1, 1 [

.
Montrer que

(u_{n})

converge vers

0

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Exercices de Suites numériques, Sup (prépa) (page 4)

97.

98. $Centrale — \sum sin (k / n^{2})$

99. $Mines — (⌊ a^{n} ⌋^{1/ n})$

100. $Mines — Fonction croissante, ptfixe$

101. $Mines — Suite u_{n + 1} = sin (u_{n} /2)$

102. $Suite u_{n + 1} = 2 + u_{n}$

103. $Suite x_{n + 1} = x_{n} + 1/ x_{n}$

104. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

105. $Démonstrations par récurrence$

106. $Sommes S_{n}, A_{n}, B_{n}$

107. $Calculs de limites classiques$

108. $Suite u_{n + 1} = 1/ (1 + 2 u_{n})$

109. $S_{n} et S_{n}^{'} convergent vers ln 2$

110. $\sum (n^{α} + k^{α})^{- 1}$

111. $Suite u_{n + 1} = u_{n} / (2 - u_{n}) (II)$

112. $Valeurs d'adhérence, R^{m}$

113. $Valeurs d'adhérence : exemples$

114. $Extraire une suite majorée$

115. $Convergence et valeur d'adhérence$

116. $Valeurs d'adhérence d'une suite$

117. $Valeurs d'adhérence de cos (n)$

118. $Suite u_{n + 1} = sin (u_{n})$

119. $Suite u_{n + 1} = u_{n} + 1/ u_{n}$

120. $Fibonacci$

121. $Suite u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} u_{n} / (u + v)$

122. $Suite u_{n + 2} = (u_{n + 1} u_{n}^{2})^{1/3}$

123. $Suites récurrentes d'ordre 2$

124. $Suite u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$

125. $Suite (u_{n + 1} + u_{n}) /2$

126. $Récurrence complexe d'ordre 2 (II)$

127. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2} / (1 + u_{n} u_{n - 1})$

128. $Ratio ∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣ \to ℓ < 1$

97.

98.Centrale — ∑sin(k/n2)

99.Mines — (⌊an⌋1/n)

100.Mines — Fonction croissante, ptfixe

101.Mines — Suite un+1​=sin(un​/2)

102.Suite un+1​=2+un​​

103.Suite xn+1​=xn​+1/xn​

104.Suite un​=n​+un−1​

105.Démonstrations par récurrence

106.Sommes Sn​, An​, Bn​

107.Calculs de limites classiques

108.Suite un+1​=1/(1+2un​)

109.Sn​ et Sn′​ convergent vers ln2

110.∑(nα+kα)−1

111.Suite un+1​=un​/(2−un​) (II)

112.Valeurs d'adhérence, Rm

113.Valeurs d'adhérence : exemples

114.Extraire une suite majorée

115.Convergence et valeur d'adhérence

116.Valeurs d'adhérence d'une suite

117.Valeurs d'adhérence de cos(n)

118.Suite un+1​=sin(un​)

119.Suite un+1​=un​+1/un​

120.Fibonacci

121.Suite un+2​=2un+1​un​/(u+v)

122.Suite un+2​=(un+1​un2​)1/3

123.Suites récurrentes d'ordre 2

124.Suite un+2​=un+1​​+un​​

125.Suite (un+1​​+un​​)/2

126.Récurrence complexe d'ordre 2 (II)

127.Suite un+1​=un2​/(1+un​un−1​)

128.Ratio ∣un+1​/un​∣→ℓ<1

98. $Centrale — \sum sin (k / n^{2})$

99. $Mines — (⌊ a^{n} ⌋^{1/ n})$

100. $Mines — Fonction croissante, ptfixe$

101. $Mines — Suite u_{n + 1} = sin (u_{n} /2)$

102. $Suite u_{n + 1} = 2 + u_{n}$

103. $Suite x_{n + 1} = x_{n} + 1/ x_{n}$

104. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

105. $Démonstrations par récurrence$

106. $Sommes S_{n}, A_{n}, B_{n}$

107. $Calculs de limites classiques$

108. $Suite u_{n + 1} = 1/ (1 + 2 u_{n})$

109. $S_{n} et S_{n}^{'} convergent vers ln 2$

110. $\sum (n^{α} + k^{α})^{- 1}$

111. $Suite u_{n + 1} = u_{n} / (2 - u_{n}) (II)$

112. $Valeurs d'adhérence, R^{m}$

113. $Valeurs d'adhérence : exemples$

114. $Extraire une suite majorée$

115. $Convergence et valeur d'adhérence$

116. $Valeurs d'adhérence d'une suite$

117. $Valeurs d'adhérence de cos (n)$

118. $Suite u_{n + 1} = sin (u_{n})$

119. $Suite u_{n + 1} = u_{n} + 1/ u_{n}$

120. $Fibonacci$

121. $Suite u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} u_{n} / (u + v)$

122. $Suite u_{n + 2} = (u_{n + 1} u_{n}^{2})^{1/3}$

123. $Suites récurrentes d'ordre 2$

124. $Suite u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$

125. $Suite (u_{n + 1} + u_{n}) /2$

126. $Récurrence complexe d'ordre 2 (II)$

127. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2} / (1 + u_{n} u_{n - 1})$

128. $Ratio ∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣ \to ℓ < 1$