Exercices de Suites numériques en maths Sup (prépa) (page 5)

130. $v_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots$

(u_{n})_{n \geq 1}

est une suite réelle à termes positifs, on lui associe la suite

(v_{n})_{n \geq 1}

définie par

v_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} .

131. $Limite supérieure et inférieure$

On considère une suite réelle

(u_{n})

bornée. On pose

v_{n} = p \geq n sup u_{p}

w_{n} = p \geq n in f u_{p}

Q1-Déterminer le sens de variation des suites

(v_{n})

(w_{n})

Q2-En déduire que

(v_{n})

(w_{n})

sont convergentes.

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132. $Suite convexe et convergence$

Soit

(a_{n})

une suite réelle bornée telle que pour tout

n \in N^{*}

2 a_{n} \leq a_{n - 1} + a_{n + 1}

. On pose

u_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

pour tout

n \in N

. Montrer que

(u_{n})

converge vers

0

. En déduire que

(a_{n})

converge.

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133. $Quelques divergences$

Étudier le comportement asymptotique des suites définies respectivement par,

Q1-

a_{n} = ⌊ \frac{n}{5} ⌋ - \frac{n}{5}

;

Q2-

b_{n} = k = 1 \sum n cos (\frac{k π}{5})

;

Q3-

c_{n} = cos (\frac{n ^{2} - 3 n + 1}{n + 2} π)

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134. $La série harmonique$

Soient

n \geq 1

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} .

Q1-Montrer que

(H_{n})_{n \geq 1}

est croissante. Quelle alternative en déduit-on quant au comportement asymptotique de

(H_{n})_{n \geq 1}

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135. $Partie frac. de$

Soient

(u_{n})_{n \in N}

(α_{n})_{n \in N^{*}}

(β_{n})_{n \in N^{*}}

les suites définies par :

\forall n \in N^{*}, u_{n} = n - ⌊ n ⌋, α_{n} = u_{n^{2}}, β_{n} = u_{n^{2} + 3 n} .

Q1-Donner une expression simple de

α_{n}

, pour tout

n \in N^{*}

. En déduire la convergence et la limite de

(α_{n})_{n \in N^{*}}

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136. $sin (n α) et cos (n α)$

Soit

α \in R ∖ π Z

. On étudie ici les suites

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

définies par

u_{n} = sin (n α)

v_{n} = cos (n α)

Q1-Montrer pour tout

n

les relations suivantes :

{u_{n + 1} = sin (α) v_{n} + cos (α) u_{n} v_{n + 1} = cos (α) v_{n} - sin (α) u_{n}

En déduire que si

(u_{n})_{n \in N}

converge vers un réel

ℓ

, alors

(v_{n})_{n \in N}

converge vers le réel

\frac{ℓ ( 1 - cos ( α ))}{sin ( α )}

, et que si

(v_{n})_{n \in N}

converge vers un réel

ℓ^{'}

, alors

(u_{n})_{n \in N}

converge vers le réel

\frac{ℓ ^{'} ( cos ( α ) - 1 )}{sin ( α )}

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137. $ENS Lyon$

Etudier la suite réelle

(u_{n})

définie par

u_{0} > 0

u_{1} > 0

et pour tout

n \in N

u_{n + 2} = \frac{u _{n + 1}^{2} + u _{n}^{2}}{u _{n + 1} + u _{n}}

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138. $Suites adjacentes de type AGM$

Soient

a

b

deux réels tels que

0 < a < b

. On définit deux suites

(u_{n})

(v_{n})

par :

⎩ ⎨ ⎧ u_{0} = a \forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + u_{n} v_{n}) ⎩ ⎨ ⎧ v_{0} = b \forall n \in N, v_{n + 1} = \frac{1}{2} (v_{n} + u_{n} v_{n})

Q1-Montrer que les suites

(u_{n})

(v_{n})

convergent vers une limite commune

l \in R

Q2-Soit

x

y

deux réels tels que

0 < x < y

. Montrer que

\frac{1}{y} \leq \frac{ln y - ln x}{y - x} \leq \frac{1}{x}

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1. Convergence des deux suites vers une limite commune.

Montrons par recurrence que

0 < u_{n} < v_{n}

pour tout

n

. C'est vrai au rang

0

par hypothese. Si

0 < u_{n} < v_{n}

, on a

u_{n}^{2} < u_{n} v_{n} < v_{n}^{2}

, donc

u_{n} < u_{n} v_{n} < v_{n}

, d'où :

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + u _{n} v _{n}}{2} > \frac{u _{n} + u _{n}}{2} = u_{n} et v_{n + 1} = \frac{v _{n} + u _{n} v _{n}}{2} < v_{n} .

De plus

v_{n + 1} - u_{n + 1} = \frac{( v _{n} - u _{n} )}{2} > 0

, donc

u_{n + 1} < v_{n + 1}

, et l'induction est etablie.

Ainsi

(u_{n})

est croissante majoree par

v_{0} = b

(v_{n})

est decroissante minoree par

u_{0} = a

: toutes deux convergent. Comme

v_{n} - u_{n} = (b - a) / 2^{n} \to 0

, elles ont la meme limite

l

.

2. Encadrement du taux de variation de $ln$ .

Pour

0 < x < y

, le theoreme des accroissements finis applique a

ln

sur

[x, y]

donne un

c \in (x, y)

tel que

ln y - ln x = (y - x) / c

. Comme

x < c < y

, on obtient

1/ y < (ln y - ln x) / (y - x) < 1/ x

, soit

\frac{1}{y} \leq \frac{ln y - ln x}{y - x} \leq \frac{1}{x}

.

3. La suite $(c_{n}) = (v_{n} - u_{n}) / (ln v_{n} - ln u_{n})$ est constante.

Calculons

ln v_{n + 1} - ln u_{n + 1}

. On a

u_{n + 1} / v_{n + 1} = (u_{n} + u_{n} v_{n}) / (v_{n} + u_{n} v_{n})

. Notons que

ln v_{n + 1} - ln u_{n + 1} = ln (v_{n + 1} / u_{n + 1})

. Par ailleurs

v_{n + 1} / u_{n + 1} = (v_{n} + u_{n} v_{n}) / (u_{n} + u_{n} v_{n})

. En divisant numerateur et denominateur par

u_{n} v_{n}

v_{n + 1} / u_{n + 1} = (v_{n} / u_{n} + 1) / (u_{n} / v_{n} + 1) \cdot (1) = v_{n} / u_{n}

. Donc

ln v_{n + 1} - ln u_{n + 1} = \frac{1}{2} (ln v_{n} - ln u_{n})

. Ainsi :

c_{n + 1} = \frac{v _{n + 1} - u _{n + 1}}{ln v _{n + 1} - ln u _{n + 1}} = \frac{( v _{n} - u _{n} ) /2}{( ln v _{n} - ln u _{n} ) /2} = c_{n} .

La suite

(c_{n})

est constante egale a

c_{0} = (b - a) / (ln b - ln a)

.

4. Valeur de $l$ .

D'apres la question 2,

u_{n} \leq c_{n} \leq v_{n}

pour tout

n

. Comme

c_{n}

est constante et

u_{n}, v_{n} \to l

, le theoreme des gendarmes donne

l = c_{0} = \frac{b - a}{ln b - ln a}

(moyenne logarithmique de

a

b

139. $Suites u_{n} et v_{n}, p + q = 1$

Soient

p

q

deux réels strictement positifs tels que

p + q = 1

p > q

. Soient

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

deux suites de réels telles que

\forall n \in N, {u_{n + 1} = p u_{n} + q v_{n} v_{n + 1} = p v_{n} + q u_{n}

Q1-Montrer que les suites

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

sont adjacentes.

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140. $AGM : suites adjacentes$

Soient

0 < a < b

(u_{n})_{n \geq 0}

(v_{n})_{n \geq 0}

les suites définies par

u_{0} = a

v_{0} = b

\forall n \geq 0

u_{n + 1} = u_{n} v_{n} et v_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2} .

Prouver que les suites sont adjacentes. Leur limite commune s'appelle la moyenne arithmético-géométrique de

a

b

, on ne cherchera pas à la calculer !

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141. $Moyennes$

Quelques calculs de moyennes.

Q1-Soient

a

b

deux reels strictement positifs. Montrer que

\frac{2}{a + b} \leq \frac{1}{2} [\frac{1}{a} + \frac{1}{b}] .

Q2-Soient

0 < b_{0} \leq a_{0}

(a_{n})_{n \geq 0}

(b_{n})_{n \geq 0}

les deux suites definies par

\forall n \geq 0

a_{n + 1} = \frac{1}{2} [a_{n} + b_{n}]

\frac{1}{b _{n + 1}} = \frac{1}{2} [\frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{b _{n}}]

. Montrer que les deux suites sont monotones et bornees.

Q3-Montrer que

\forall n \geq 0

0 \leq a_{n} - b_{n} \leq \frac{a _{0} - b _{0}}{2 ^{n}} .

Q4-En deduire que les deux suites sont adjacentes.

Q5-Calculer

a_{n} b_{n}

puis en deduire la valeur de la limite commune des deux suites.

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142. $La constante d'Euler$

On se propose d'établir l'existence de la constante d'Euler-Mascheroni

γ

par encadrement intégral.

Q1-Montrer que

\forall k \geq 1

\frac{1}{k + 1} \leq \int_{k}^{k + 1} \frac{d u}{u} \leq \frac{1}{k} .

Q2-En déduire qu'il existe

γ \in [0, 1]

tel que

n \to + \infty lim (k = 1 \sum n \frac{1}{k} - ln (n)) = γ .

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143. $Encadrement de \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k$

On pose, pour tout entier naturel

n

non nul,

u_{n} = k = n \sum 2 n \frac{1}{k} .

Etablir à l'aide d'un encadrement que

(u_{n})_{n \geq 1}

converge vers

ln (2)

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144. $Produit de Cauchy$

Soient

(a_{n})

(b_{n})

deux suites réelles convergeant respectivement vers

a

b

.
Montrer que

\frac{a _{0} b _{n} + a _{1} b _{n - 1} + \dots + a _{n - 1} b _{1} + a _{n} b _{0}}{n + 1} n \to + \infty ab .

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145. $\sum (n n + p)^{- 1} : somme$

Soit

p

un entier supérieur ou égal à

2

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = (n n + p)^{- 1}

S_{n} = k = 1 \sum n u_{k}

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

(n + p + 1) u_{n + 1} = (n + 1) u_{n}

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146. $Convergence de \sum (k / n)^{n}$

Etudier la convergence de la suite de terme général

u_{n} = k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{n} .

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147. $Constante γ d'Euler$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = (k = 1 \sum n \frac{1}{k}) - ln n

Q1-Montrer que

ln (1 + x) \leq x

pour tout

x \in] - 1, + \infty [

Q2-En déduire que pour tout

p \in N^{*}

\frac{1}{p + 1} \leq ln (p + 1) - ln (p) \leq \frac{1}{p}

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148. $Équivalent de \sum k!$

Prouver que

k = 0 \sum n k! \sim n! .

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149. $Équivalent de \sum k$

Déterminer un équivalent de la suite définie par

S_{n} = k = 0 \sum n k .

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150. $Calcul d'un produit infini$

On encadre le logarithme de

(1 + u)

pour déduire le comportement d'un produit infini.

Q1-Montrer que

\forall u \geq 0

u - \frac{u ^{2}}{2} \leq ln (1 + u) \leq u .

Q2-En déduire que la suite de terme général

u_{n} = k = 1 \prod n (1 + \frac{k}{n ^{2}})

converge vers une limite

ℓ

à préciser.

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151. $Produit \prod (x^{2^{k}} + 1)$

Pour tout

x

réel et tout entier naturel

n

, on pose

P_{n} (x) = k = 0 \prod n (x^{2^{k}} + 1) .

Q1-Simplifier l'expression de

P_{n} (x)

Q2-Étudier la convergence de la suite

(P_{n} (x))_{n \in N}

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152. $Encadrement d'un produit$

On étudie la convergence d'un produit infini dont les facteurs font intervenir des moyennes arithmétiques et géométriques.

Q1-Prouver que

\forall x \geq 1

\frac{x ( x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ^{2}} \leq \frac{1}{4} .

Q2-Étudier la convergence de la suite de terme général

u_{n} = k = 1 \prod n \frac{k ( k + 1 )}{( 2 k + 1 ) ^{2}} .

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153. $[\prod (k n)]^{1/ n^{3}}$

Etudier la convergence de la suite de terme général

u_{n} = [k = 0 \prod n (k n)]^{1/ n^{3}} .

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154. $Suite u_{n} = (2 n - 1)!! / (2 n)!!$

On pose

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times ( 2 n - 1 )}{2 \times 4 \times 6 \times \dots \times ( 2 n )}

pour

n \in N^{*}

Q1-Exprimer

u_{n}

à l'aide de factorielles.

Q2-Montrer que

(u_{n})

converge.

Q3-Soit

v_{n} = (n + 1) u_{n}^{2}

pour

n \in N^{*}

. Montrer que

(v_{n})

converge. En déduire la limite de

(u_{n})

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155. $Produit \prod (1 + z^{2^{k}}) = 1/ (1 - z)$

Soit

z \in C

tel que

∣ z ∣ < 1

. Montrer que

n \to + \infty lim k = 0 \prod n (1 + z^{2^{k}}) = \frac{1}{1 - z}

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156. $Suite (n 2 n) n / 4^{n}$

Pour tout

n \in N

, on pose

a_{n} = (n 2 n)

u_{n} = \frac{a _{n} n}{4 ^{n}}

157. $Suite u_{n + 1} = (1 + u_{n}) / (n + u_{n}^{2})$

Soit

x > 0

. On définit une suite de réels

(u_{n})_{n \in N^{*}}

par

u_{1} = x

u_{n + 1} = \frac{1 + u _{n}}{n + u _{n}^{2}}

pour tout

n \geq 1

158. $Etude d'une suite récurrente$

Étudier les suites définies par

u_{0} \in R, \forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}^{2}} .

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159. $Suite u_{n + 1} = (u_{n}^{2} + 8) /6$

Étudier la suite définie par

u_{n + 1} = \frac{1}{6} (u_{n}^{2} + 8) .

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160. $Système dynamique e^{x} - 1$

Étudier le système dynamique

u_{n + 1} = f (u_{n})

défini par la fonction

f : R ⟶ R, x ⟼ e^{x} - 1.

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Exercices de Suites numériques, Sup (prépa) (page 5)

129.

130. $v_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots$

131. $Limite supérieure et inférieure$

132. $Suite convexe et convergence$

133. $Quelques divergences$

134. $La série harmonique$

135. $Partie frac. de$

136. $sin (n α) et cos (n α)$

137. $ENS Lyon$

138. $Suites adjacentes de type AGM$

139. $Suites u_{n} et v_{n}, p + q = 1$

140. $AGM : suites adjacentes$

141. $Moyennes$

142. $La constante d'Euler$

143. $Encadrement de \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k$

144. $Produit de Cauchy$

145. $\sum (n n + p)^{- 1} : somme$

146. $Convergence de \sum (k / n)^{n}$

147. $Constante γ d'Euler$

148. $Équivalent de \sum k!$

149. $Équivalent de \sum k$

150. $Calcul d'un produit infini$

151. $Produit \prod (x^{2^{k}} + 1)$

152. $Encadrement d'un produit$

153. $[\prod (k n)]^{1/ n^{3}}$

154. $Suite u_{n} = (2 n - 1)!! / (2 n)!!$

155. $Produit \prod (1 + z^{2^{k}}) = 1/ (1 - z)$

156. $Suite (n 2 n) n / 4^{n}$

157. $Suite u_{n + 1} = (1 + u_{n}) / (n + u_{n}^{2})$

158. $Etude d'une suite récurrente$

159. $Suite u_{n + 1} = (u_{n}^{2} + 8) /6$

160. $Système dynamique e^{x} - 1$

129.

130.vn​=u1​+u2​+⋯​​

131.Limite supérieure et inférieure

132.Suite convexe et convergence

133.Quelques divergences

134.La série harmonique

135.Partie frac. de n​

136.sin(nα) et cos(nα)

137.ENS Lyon

138.Suites adjacentes de type AGM

139.Suites un​ et vn​, p+q=1

140.AGM : suites adjacentes

141.Moyennes

142.La constante d'Euler

143.Encadrement de ∑k=n2n​1/k

144.Produit de Cauchy

145.∑(nn+p​)−1 : somme

146.Convergence de ∑(k/n)n

147.Constante γ d'Euler

148.Équivalent de ∑k!

149.Équivalent de ∑k​

150.Calcul d'un produit infini

151.Produit ∏(x2k+1)

152.Encadrement d'un produit

153.[∏(kn​)]1/n3

154.Suite un​=(2n−1)!!/(2n)!!

155.Produit ∏(1+z2k)=1/(1−z)

156.Suite (n2n​)n​/4n

157.Suite un+1​=(1+un​)/(n+un2​)

158.Etude d'une suite récurrente

159.Suite un+1​=(un2​+8)/6

160.Système dynamique ex−1

130. $v_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots$

131. $Limite supérieure et inférieure$

132. $Suite convexe et convergence$

133. $Quelques divergences$

134. $La série harmonique$

135. $Partie frac. de$

136. $sin (n α) et cos (n α)$

137. $ENS Lyon$

138. $Suites adjacentes de type AGM$

139. $Suites u_{n} et v_{n}, p + q = 1$

140. $AGM : suites adjacentes$

141. $Moyennes$

142. $La constante d'Euler$

143. $Encadrement de \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k$

144. $Produit de Cauchy$

145. $\sum (n n + p)^{- 1} : somme$

146. $Convergence de \sum (k / n)^{n}$

147. $Constante γ d'Euler$

148. $Équivalent de \sum k!$

149. $Équivalent de \sum k$

150. $Calcul d'un produit infini$

151. $Produit \prod (x^{2^{k}} + 1)$

152. $Encadrement d'un produit$

153. $[\prod (k n)]^{1/ n^{3}}$

154. $Suite u_{n} = (2 n - 1)!! / (2 n)!!$

155. $Produit \prod (1 + z^{2^{k}}) = 1/ (1 - z)$

156. $Suite (n 2 n) n / 4^{n}$

157. $Suite u_{n + 1} = (1 + u_{n}) / (n + u_{n}^{2})$

158. $Etude d'une suite récurrente$

159. $Suite u_{n + 1} = (u_{n}^{2} + 8) /6$

160. $Système dynamique e^{x} - 1$