Exercices de Suites numériques en maths Sup (prépa) (page 6)

162. $Système dynamique ln (1 + x)$

Étudier le système dynamique

u_{n + 1} = f (u_{n})

défini par

u_{0} \geq 0

et la fonction

f : R ⟶ R, x ⟼ ln (1 + x) .

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163. $Système dynamique tanh (x)$

Etudier le système dynamique

u_{n + 1} = f (u_{n})

défini par

u_{0} \in R

et la fonction

f : R ⟶ R, x ⟼ tanh (x) .

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164. $Suite u_{n + 1} = a^{2 n} u_{n} + a^{n^{2}}$

Soit

a \in R^{*}

. On étudie la suite

(u_{n})_{n \in N}

définie par :

u_{0} = 1 et \forall n \in N, u_{n + 1} = a^{2 n} u_{n} + a^{n^{2}} .

165. $Un classique décortiqué$

Soient

0 < α < 1

(u_{n})_{n \in N}

la suite définie par

0 < u_{0} < u_{1}

\forall n \geq 1

u_{n + 1} = u_{n} + α^{n} u_{n - 1} .

Q1-Prouver que

(u_{n})_{n \in N}

est croissante.

Q2-Montrer que

\forall n \geq 1

u_{n} \leq u_{1} k = 0 \prod n - 1 (1 + α^{k}) .

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166. $A prendre par le bon bout$

Soient

n \geq 0

f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n x ^{2}} .

On définit la suite

(x_{n})_{n \geq 1}

par

x_{1} > 0

\forall n \geq 1, x_{n + 1} = f_{n} (x_{n}) .

Q1-Montrer que

(x_{n})_{n \geq 1}

converge.

Q2-Montrer que

\forall n \geq 2

x_{n} \leq 1/ n

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167. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

On définit une suite

(u_{n})

par

u_{1} = 1

et la relation de récurrence

u_{n} = n + u_{n - 1}

pour tout entier

n \geq 2

168. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (III)$

Soit

(z_{n})_{n \in N}

une suite complexe telle que pour tout

n \in N

z_{n + 1} = \frac{z _{n} + ∣ z _{n} ∣}{2}

169. $z_{n} = e^{i l n n} diverge$

On pose

z_{n} = exp (i ln n)

pour

n \in N^{*}

. Montrer que

(z_{n})

diverge.

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170. $Suites extraites et convergence$

Soit

(u_{n})_{n \geq 0} \in R^{N}

telle que les suites

(u_{2 n})_{n \geq 0}, (u_{2 n + 1})_{n \geq 0} et (u_{3 n})_{n \geq 0}

convergent. Prouver que

(u_{n})_{n \geq 0}

converge.

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171. $Partie fractionnaire$

Pour

x \in R

, on note

{x} = x - ⌊ x ⌋

la partie fractionnaire de

x

. Montrer que la suite

({n})

n'admet pas de limite.

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172. $ENS Ulm/Lyon PC$

Soient

(a_{n})

(b_{n})

(c_{n})

trois suites réelles telles que

a_{n} + b_{n} + c_{n}

tend vers

0

e^{a_{n}} + e^{b_{n}} + e^{c_{n}}

tend vers

3

. Montrer que les suites

(a_{n})

(b_{n})

(c_{n})

convergent.

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173. $Suites et puissances impaires$

Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites de nombres réels et

p

q

deux entiers naturels impairs tels que

n \to + \infty lim u_{n} + v_{n} = 0 n \to + \infty lim u_{n}^{p} - v_{n}^{q} = 0

Montrer que

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim v_{n} = 0

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174. $Centrale PC 2016$

Soient

(x_{n})

(y_{n})

deux suites telles que

(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

\forall n \in N, {x_{n + 1} = 7 - y_{n} y_{n + 1} = 7 + x_{n}

Q1-Montrer que les suites

(x_{n})

(y_{n})

sont bien definies.

Q2-On suppose que les deux suites

(x_{n})

(y_{n})

convergent. Déterminer rigoureusement leur(s) limite(s) possible(s).

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175. $Suite définie implicitement$

Posons pour tout

n \geq 2

et tout

x \in R

P_{n} (x) = x^{n} - n x + 1.

Q1-Montrer que

P_{n}

possède une unique racine sur l'intervalle

[0, 1]

que l'on notera

u_{n}

Q2-Déterminer le signe de

P_{n} (u_{n + 1})

. En déduire que

(u_{n})_{n \geq 2}

est décroissante.

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176. $Une définition implicite$

Soit

n \in N

, montrer que la fonction définie sur

R

par

x ⟼ g_{n} (x) = x^{n} + x - 1

admet un unique zéro positif noté

a_{n}

. Etudier la convergence de la suite

(a_{n})_{n \in N}

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177. $Deux pour le prix d'une$

Montrer que, pour tout

n \geq 3

, l'équation

x - n ln (x) = 0

admet deux racines distinctes sur

] 0, + \infty [

notées

u_{n} < v_{n}

Q1-Etudier la monotonie des suites

(u_{n})_{n \geq 3}

(v_{n})_{n \geq 3}

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178. $Système dynamique$

Pour

n \in N^{*}

, on note

a_{n}

l'unique racine strictement positive de l'equation

x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x - 1 = 0

Q1-Montrer que pour

n \in N^{*}

, l'équation

x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x - 1 = 0

admet une unique solution strictement positive notée

a_{n}

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179. $Système dynamique (suite)$

Pour tout

n \in N

, on note

u_{n}

l'unique solution de

tan x = x

dans l'intervalle

] - π /2 + nπ, π /2 + nπ [

Q1-Montrer que pour

n \in N

, l'équation

tan x = x

admet une unique solution

u_{n}

dans l'intervalle

] - \frac{π}{2} + nπ, \frac{π}{2} + nπ [

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180. $ENSEA$

Pour tout

n \in N^{*}

, on note

x_{n}

l'unique solution de l'équation

cos x = n x

dans

[0, 1]

Q1-Montrer que pour tout

n \in N^{*}

, l'équation

cos x = n x

possède une unique solution

x_{n} \in [0, 1]

Q2-Déterminer la limite de

(x_{n})

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181. $Système dynamique (var.)$

Pour tout entier

n \geq 2

, l'equation

x = ln x + n

admet deux solutions

x_{n} < y_{n}

sur

R_{+}^{*}

. On etablit le comportement asymptotique de chacune.

Q1-Montrer que pour tout entier

n \geq 2

, l'equation

x = ln x + n

admet deux solutions sur

R_{+}^{*}

. On note

x_{n}

la plus petite et

y_{n}

la plus grande de ces deux solutions.

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182. $X — Suite u_{n + 1} = 1/ (u_{n} + a_{n} + 1)$

Soient

(a_{n})

une suite réelle positive, bornée et

(u_{n})

la suite récurrente définie par

u_{0} > 0

u_{n + 1} = \frac{1}{u _{n} + a _{n} + 1}

pour tout

n \in N

.
Montrer que la suite

(u_{n})

converge si, et seulement si, la suite

(a_{n})

converge.

183. $X — Limite de \sum (k / n)^{n}$

Étudier la limite quand

n \to + \infty

k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{n}

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Exercices de Suites numériques, Sup (prépa) (page 6)

161.

162. $Système dynamique ln (1 + x)$

163. $Système dynamique tanh (x)$

164. $Suite u_{n + 1} = a^{2 n} u_{n} + a^{n^{2}}$

165. $Un classique décortiqué$

166. $A prendre par le bon bout$

167. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

168. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (III)$

169. $z_{n} = e^{i l n n} diverge$

170. $Suites extraites et convergence$

171. $Partie fractionnaire$

172. $ENS Ulm/Lyon PC$

173. $Suites et puissances impaires$

174. $Centrale PC 2016$

175. $Suite définie implicitement$

176. $Une définition implicite$

177. $Deux pour le prix d'une$

178. $Système dynamique$

179. $Système dynamique (suite)$

180. $ENSEA$

181. $Système dynamique (var.)$

182. $X — Suite u_{n + 1} = 1/ (u_{n} + a_{n} + 1)$

183. $X — Limite de \sum (k / n)^{n}$

161.

162.Système dynamique ln(1+x)

163.Système dynamique tanh(x)

164.Suite un+1​=a2nun​+an2

165.Un classique décortiqué

166.A prendre par le bon bout

167.Suite un​=n+un−1​​

168.Suite zn+1​=(zn​+∣zn​∣)/2 (III)

169.zn​=eilnn diverge

170.Suites extraites et convergence

171.Partie fractionnaire {n​}

172.ENS Ulm/Lyon PC

173.Suites et puissances impaires

174.Centrale PC 2016

175.Suite définie implicitement

176.Une définition implicite

177.Deux pour le prix d'une

178.Système dynamique

179.Système dynamique (suite)

180.ENSEA

181.Système dynamique (var.)

182.X — Suite un+1​=1/(un​+an​+1)

183.X — Limite de ∑(k/n)n

162. $Système dynamique ln (1 + x)$

163. $Système dynamique tanh (x)$

164. $Suite u_{n + 1} = a^{2 n} u_{n} + a^{n^{2}}$

165. $Un classique décortiqué$

166. $A prendre par le bon bout$

167. $Suite u_{n} = n + u_{n - 1}$

168. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (III)$

169. $z_{n} = e^{i l n n} diverge$

170. $Suites extraites et convergence$

171. $Partie fractionnaire$

172. $ENS Ulm/Lyon PC$

173. $Suites et puissances impaires$

174. $Centrale PC 2016$

175. $Suite définie implicitement$

176. $Une définition implicite$

177. $Deux pour le prix d'une$

178. $Système dynamique$

179. $Système dynamique (suite)$

180. $ENSEA$

181. $Système dynamique (var.)$

182. $X — Suite u_{n + 1} = 1/ (u_{n} + a_{n} + 1)$

183. $X — Limite de \sum (k / n)^{n}$