Exercices de Suites numériques en maths Sup (prépa) (page 3)

76. $Suite u_{n + 1} = (u_{n} + a / u_{n}) /2$

Soit

a > 0

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} > 0

\forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) .

(a) Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ .
(b) On pose pour tout $n \in N$ $v_{n} = \frac{u _{n} - a}{u _{n} + a} .$ Calculer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , puis $v_{n}$ en fonction de $v_{0}$ et $n$ .
(c) Montrer que, si $u_{0} > a$ , on a $∣ u_{n} - a ∣ \leq 2 u_{0} v_{0}^{2^{n}} .$ Ainsi, $u_{n}$ réalise une approximation de $a$ à la précision $2 u_{0} v_{0}^{2^{n}} n \to + \infty 0$ . On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de $a$ .

Q1-Étudier la convergence de la suite

(u_{n})

Q2-Calculer

v_{n + 1}

en fonction de

v_{n}

, puis

v_{n}

en fonction de

v_{0}

n

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Exercices de Suites numériques, Sup (prépa) (page 3)

65.

66. $Suite trigonométrique d'ordre 2$

67. $f (f (x)) = 6 x - f (x)$

68. $f (f (x)) + f (x) = 2 x$

69. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2}$

70. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 1$

71. $Suite u_{n + 1} = 1 + u_{n}$

72. $Suite u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1$

73. $Suite u_{n + 1} = 1/ (2 + u_{n})$

74. $Suite u_{n + 1} = 2 - u_{n}$

75. $Suite u_{n + 1} = u_{n} / (2 - u_{n}) (I)$

76. $Suite u_{n + 1} = (u_{n} + a / u_{n}) /2$

77. $Suite et ln x + x = 0$

78. $Suite géométrique-quadratique$

79. $Suite u_{n + 1} = \sum u_{k}$

80. $Suite de type Möbius itérée$

81. $Suite u_{n + 1} = 1 + u_{n}^{2} /4$

82. $Radicaux a + a + \dots$

83. $Suite u_{n + 1} = (u_{n}^{3} + 1) /3$

84. $Suite u_{n + 1} = (u^{3} + 3 a u) / (3 u^{2} + a)$

85. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

86. $Suite u_{n + 1} = 4 u_{n} - u_{n}^{2}$

87. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (II)$

88. $Moyenne AGM (version itérée)$

89. $Suites AGM trigonométriques$

90. $Radicaux emboîtés, convergence$

91. $Suite récurrente avec (a_{n}) bornée$

92. $Suite de Picard et point fixe$

93. $CCP — Suite de Picard sur [a, b]$

94. $CCP — Racines de x^{n} + x - 1 = 0$

95. $Centrale — sin (1/ t) p.m. sur [0, 1]$

96. $Centrale — Racines de x^{n} = x + 1$

65.

66.Suite trigonométrique d'ordre 2

67.f(f(x))=6x−f(x)

68.f(f(x))+f(x)=2x

69.Suite un+1​=un2​

70.Suite un+1​=un2​+1

71.Suite un+1​=1+un​​

72.Suite un+1​=eun​−1

73.Suite un+1​=1/(2+un​)

74.Suite un+1​=2−un​​

75.Suite un+1​=un​/(2−un​) (I)

76.Suite un+1​=(un​+a/un​)/2

77.Suite et lnx+x=0

78.Suite géométrique-quadratique

79.Suite un+1​=∑uk​​

80.Suite de type Möbius itérée

81.Suite un+1​=1+un2​/4

82.Radicaux a+a+⋯​​

83.Suite un+1​=(un3​+1)/3

84.Suite un+1​=(u3+3au)/(3u2+a)

85.Suite un+1​=un​−un2​

86.Suite un+1​=4un​−un2​

87.Suite zn+1​=(zn​+∣zn​∣)/2 (II)

88.Moyenne AGM (version itérée)

89.Suites AGM trigonométriques

90.Radicaux emboîtés, convergence

91.Suite récurrente avec (an​) bornée

92.Suite de Picard et point fixe

93.CCP — Suite de Picard sur [a,b]

94.CCP — Racines de xn+x−1=0

95.Centrale — sin(1/t) p.m. sur [0,1]

96.Centrale — Racines de xn=x+1

66. $Suite trigonométrique d'ordre 2$

67. $f (f (x)) = 6 x - f (x)$

68. $f (f (x)) + f (x) = 2 x$

69. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2}$

70. $Suite u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 1$

71. $Suite u_{n + 1} = 1 + u_{n}$

72. $Suite u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1$

73. $Suite u_{n + 1} = 1/ (2 + u_{n})$

74. $Suite u_{n + 1} = 2 - u_{n}$

75. $Suite u_{n + 1} = u_{n} / (2 - u_{n}) (I)$

76. $Suite u_{n + 1} = (u_{n} + a / u_{n}) /2$

77. $Suite et ln x + x = 0$

78. $Suite géométrique-quadratique$

79. $Suite u_{n + 1} = \sum u_{k}$

80. $Suite de type Möbius itérée$

81. $Suite u_{n + 1} = 1 + u_{n}^{2} /4$

82. $Radicaux a + a + \dots$

83. $Suite u_{n + 1} = (u_{n}^{3} + 1) /3$

84. $Suite u_{n + 1} = (u^{3} + 3 a u) / (3 u^{2} + a)$

85. $Suite u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2}$

86. $Suite u_{n + 1} = 4 u_{n} - u_{n}^{2}$

87. $Suite z_{n + 1} = (z_{n} + ∣ z_{n} ∣) /2 (II)$

88. $Moyenne AGM (version itérée)$

89. $Suites AGM trigonométriques$

90. $Radicaux emboîtés, convergence$

91. $Suite récurrente avec (a_{n}) bornée$

92. $Suite de Picard et point fixe$

93. $CCP — Suite de Picard sur [a, b]$

94. $CCP — Racines de x^{n} + x - 1 = 0$

95. $Centrale — sin (1/ t) p.m. sur [0, 1]$

96. $Centrale — Racines de x^{n} = x + 1$