Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien en maths Spé (prépa)

1. $Cesàro des puissances d'isométrie$

2. $Quand J + A est-elle inversible ?$

Soit

J

la matrice de

M_{n} (R)

dont tous les coefficients sont égaux à

1

.
Quelles sont les

A

O_{n} (R)

telles que

J + A

soit inversible ?

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3. $Transformation de Cayley$

(Transformation de Cayley)

Q1-Si

A

est une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres complexes de

A

Q2-Montrer que

φ

réalise une bijection de

A_{n} (R)

sur

{Ω \in O_{n} (R) ∣ - 1 \in / Sp (Ω)}

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4. $Extension en matrice orthogonale$

Soit

n \in N^{*}

. Si

M \in M_{n} (R)

, on dira que

M

a la propriété

(P)

si, et seulement si, il existe une matrice

U \in M_{n + 1} (R)

telle que

M

soit la sous-matrice de

U

obtenue en supprimant les dernières ligne et colonne de

U

et que

U

soit une matrice orthogonale.

Q1-Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les

λ_{i}

pour que

M

ait la propriété

(P)

Q2-Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que

M \in S_{n} (R)

ait la propriété

(P)

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5. $Décomposition QR et norme sur O_{n} (R)$

Soit

A \in M_{n} (R)

.
(a) Montrer qu'il existe une matrice

O

orthogonale et une matrice

T

triangulaire supérieure telles que

A = O T

.
(b) On pose

N_{1} (A) = 1 \leq i, j \leq n \sum ∣ a_{i, j} ∣

. Montrer que

N_{1}

admet un minimum

m_{n}

et un maximum

M_{n}

sur

O_{n} (R)

.
(c) Utilisation de Python. Écrire des fonctions

randO(n)

N1(A)

test(n)

.
(d) Déterminer la valeur de

m_{n}

. Pour quelles matrices, ce minimum est-il atteint ? Montrer qu'il y a un nombre fini de telles matrices.
(e) Montrer que

M_{n} \leq n n

et que

M_{3} < 33

Q1-Montrer qu'il existe une matrice

O

orthogonale et une matrice

T

triangulaire supérieure telles que

A = O T

Q2-Montrer que

N_{1}

admet un minimum

m_{n}

et un maximum

M_{n}

sur

O_{n} (R)

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6. $Stabilité de V et V^{⊥} par isométrie$

Soient

f \in O (E)

V

un sous-espace vectoriel de

E

. Montrer que :

V

est stable pour

f

si, et seulement si,

V^{⊥}

l'est.

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7. $Caractérisation des similitudes$

Soit

E

un espace euclidien. Quels sont les endomorphismes de

E

tels que pour tout sous-espace vectoriel

V

E

f (V^{⊥}) \subset (f (V))^{⊥} ?

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8. $Isométrie diagonalisable: symétrie$

Soit

f \in O (E)

diagonalisable. Montrer que

f

est une symétrie.

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9. $Conservation de l'orthogonalité$

Soient

E

un espace euclidien et

f

un endomorphisme de

E

conservant l'orthogonalité :

\forall x, y \in E, (x ∣ y) = 0 \Rightarrow (f (x) ∣ f (y)) = 0.

Q1-Calculer

(u + v ∣ u - v)

pour

u, v

vecteurs unitaires.

Q2-Établir qu'il existe

α \in R_{+}

vérifiant

\forall x \in E, ∥ f (x) ∥ = α ∥ x ∥

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10. $f^{2} = - Id et isométrie : la 3e propriété$

Dans un espace euclidien

E

, soit

f \in L (E)

. Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
(i)

f

est une isométrie vectorielle ;
(ii)

f^{2} = - Id

;
(iii)

f (x)

est orthogonal à

x

pour tout

x

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11. $Produit scalaire trace sur M_{n} (R)$

Soit

n \in N^{*}

. On note

M

l'espace vectoriel réel

M_{n} (R)

. On pose

φ : (A, B) \in M^{2} \mapsto tr (^{t} A B) .

Q1-Montrer que

φ

est un produit scalaire.

Q2-Donner une condition nécessaire et suffisante sur

Ω \in M

pour que

M \mapsto Ω M

soit

φ

-orthogonale.

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12. $Produit de symétries orthogonales$

Soit

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

un espace euclidien. Pour

φ \in O (E)

, on note

M (φ) = Im (φ - Id_{E})

F (φ) = Ker (φ - Id_{E})

. Si

u \in E ∖ {0}

s_{u}

désigne la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan

u^{⊥}

Q1-Soit

φ \in O (E)

. Montrer que

M (φ) \oplus^{⊥} F (φ) = E

Q2-Si

(u_{1}, \dots, u_{k})

est libre, montrer :

M (s_{u_{1}} \circ \dots \circ s_{u_{k}}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k})

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13. $Matrice de Gram et isométrie$

On note

(\cdot ∣ \cdot)

le produit scalaire canonique de

R^{n}

. Pour toute famille

u = (u_{1}, \dots, u_{p}) \in (R^{n})^{p}

on pose

M_{u} = ((u_{i} ∣ u_{j}))_{1 \leq i, j \leq p} .

Q1-Montrer que la famille

(u_{1}, \dots, u_{p})

est libre si, et seulement si,

M_{u}

est inversible.

Q2-On suppose qu'il existe

u = (u_{1}, \dots, u_{p})

v = (v_{1}, \dots, v_{p})

telles que

M_{u} = M_{v}

. Montrer qu'il existe

f \in O (R^{n})

telle que

f (u_{i}) = v_{i}

pour tout

i

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14. $Cesàro et projection orthogonale$

Soient

u

une isométrie de

E

euclidien et

v = u - Id_{E}

Q1-Montrer que

Ker v = (Im v)^{⊥}

Q2-Soit

u_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 u^{k}

. Montrer que

{u_{n} (x)}_{n \in N}

converge, pour tout vecteur

x

, vers le projeté orthogonal de

x

sur

Ker v

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15. $Moyenne de Cesàro vers le noyau de v$

Soit

u

un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien

E

de dimension

n

Q1-On pose

v = u - Id

. Montrer

Ker v = (Im v)^{⊥}

Q2-Soit

x \in E

. Justifier l'existence de

(x_{1}, y) \in Ker v \times E

tel que

x = x_{1} + v (y)

. Montrer

\frac{1}{N} k = 0 \sum N - 1 u^{k} (x) = x_{1} + \frac{1}{N} (u^{N} (y) - y)

Q3-On note

p

la projection orthogonale sur

Ker v

. Montrer

\forall x \in E, N \to + \infty lim p (x) - \frac{1}{N} k = 0 \sum N - 1 u^{k} (x) = 0

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16. $Matrices à même matrice de Gram$

p, q

sont deux entiers strictement positifs.

A, B

deux matrices de

M_{p, q} (R)

telles que

^{t} AA =^{t} B B

Q1-Comparer

Ker A

Ker B

Q2-Soit

f

(respectivement

g

) l'application linéaire de

R^{q}

dans

R^{p}

de matrice

A

(respectivement

B

) dans les bases canoniques de

R^{q}

R^{p}

. On munit

R^{p}

de sa structure euclidienne canonique. Montrer que

\forall x \in R^{q}, ⟨ f (x), f (y)⟩ = ⟨ g (x), g (y)⟩

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17. $Racine carrée symétrique positive$

Soit

E

un espace euclidien ; on note

O (E)

le groupe des endomorphismes orthogonaux de

E

et on définit l'ensemble

Γ = {u \in L (E) ∣ \forall x \in E, ∥ u (x) ∥ \leq ∥ x ∥} .

Q1-Montrer que

Γ

est une partie convexe de

L (E)

qui contient

O (E)

Q2-Soit

u \in Γ

tel qu'il existe

(f, g) \in Γ^{2}

vérifiant

f \neq = g

u = \frac{1}{2} (f + g)

. Montrer que

u \in / O (E)

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18. $Rotation associée à une matrice A$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien orienté. Étudier l'endomorphisme

f

E

dont la matrice dans une base orthonormale directe

(i, j, k)

est

A = \frac{1}{3} 212 2 - 2 - 1 12 - 2 .

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19. $Base adaptée et nature de f$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien orienté muni d'une base orthonormée directe

B = (i, j, k)

. Soit

f \in L (E)

dont la matrice dans la base

B

est

\frac{1}{2} 12 - 1 - 2 0 - 2 121 .

Q1-Former une base orthonormée directe

B^{'} = (u, v, w)

telle que

v, w \in P : x + z = 0

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20. $Nature de trois isométries$

E

désigne un espace vectoriel euclidien orienté muni d'une base orthonormée directe

B = (i, j, k)

. Déterminer la nature, et préciser les éléments caractéristique, de l'endomorphisme

f

E

dont la matrice dans

B

est donnée ci-après, pour chacune des matrices suivantes :

Q1-

A = \frac{1}{4} 31 - 6 136 6 - 6 2

Q2-

A = - \frac{1}{9} 7 - 4 4 481 4 - 1 - 8

Q3-

A = \frac{1}{9} - 8 41 474 14 - 8

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21. $Matrice circulante orthogonale$

Soient

(a, b) \in R^{2}

A = a b b b a b b b a .

Q1-Pour quels

a, b \in R

, a-t-on

A \in O (3)

Q2-Préciser alors la nature et les éléments caractéristiques de l'endomorphisme

f

R^{3}

dont la matrice dans la base canonique serait

A

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22. $Rotation et réflexion qui commutent$

Soit

f

une rotation d'axe

D

dirigé et orienté par un vecteur unitaire

u

et d'angle

θ \neq = 0 (mod 2 π)

. Soit

s

une réflexion de

E

montrer que

f

s

commutent si, et seulement si,

D

est orthogonale au plan de réflexion de

s

ou bien

D

est incluse dans ce plan et

f

est un retournement.

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23. $Rotations commutantes de l'espace$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Q1-Montrer que deux rotations de même axe ou deux retournements d'axes orthogonaux commutent. Soit

f

g

deux rotations de

E

, autres que

Id_{E}

, telles que

f \circ g = g \circ f

Q2-Soit

u

un vecteur unitaire appartenant à l'axe de la rotation

f

. Montrer que

g (u)

appartient à l'axe de la rotation

f

et en déduire que

g (u) = u

g (u) = - u

Q3-Dans le cas où

g (u) = u

, conclure que les rotations

f

g

ont même axe.

Q4-Dans le cas où

g (u) = - u

, justifier que les axes de

f

g

sont orthogonaux puis que

f

g

sont des retournements autour de ceux-ci.

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24. $Transformée d'une symétrie par g$

Soient

E

un espace vectoriel euclidien,

u \in E

non nul,

g \in O (E)

. On note

σ

la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan

u^{⊥}

. Décrire

g \circ σ \circ g^{- 1}

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25. $Rotation fixée par deux images$

E

désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 muni d'une base orthonormée directe

B = (i, j, k)

. Rechercher les rotations

R

E

telles que

R (i) = - j et R (i - j + k) = i - j + k .

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26. $Composée de deux rotations$

Soit

E

un espace euclidien orienté de dimension 3 muni d'une base orthonormée directe

B = (i, j, k)

. Soit

θ \in R

, déterminer les éléments caractéristiques de

Rot_{k, π /2} \circ Rot_{c o s θ i + s i n θ j, π} .

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27. $Valeurs propres de module 1$

Soit

Ω \in M_{n} (R)

une matrice orthogonale.

Soit

λ

une valeur propre complexe de

Ω

X \in M_{n, 1} (C)

vériant

Ω X = λ X .

En calculant de deux façons

^{t} Ω X \cdot Ω X

établir que

λ

est de module

1

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28. $Plan stable et rotation induite$

Soit

A \in O_{n} (R)

Q1-Montrer que si

λ

est une valeur propre complexe de

A

alors

∣ λ ∣ = 1

Q2-Soit

λ

une valeur propre complexe non réelle de

A

Z \in M_{n, 1} (C)

un vecteur propre associé.

On pose

X = Re (Z)

Y = Im (Z)

. Montrer que

Vect (X, Y)

est stable par

A

Q3-Montrer que les colonnes

X

Y

ont alors même norme et sont orthogonales.

Quelle est la nature de l'endomorphisme induit par la matrice

A

sur l'espace

Vect (X, Y)

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29. $Isométrie vérifiant (u - Id)^{2} = 0$

Déterminer les applications

u \in O (E)

vérifiant

(u - Id)^{2} = \tilde{0} .

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30. $Isométries qui sont symétriques$

Quels sont les automorphismes orthogonaux symétriques d'un espace vectoriel euclidien

E

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31. $Composée symétrique ssi commutation$

Soient

f

g

deux endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien

E

.

Montrer que

f \circ g

est symétrique si, et seulement si,

f \circ g = g \circ f

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32. $Valeurs propres de x + k (x ∣ a) a$

Soit

E

un espace euclidien de dimension

n \geq 2

a

un vecteur unitaire de

E

k

un réel avec

k \neq = - 1

Q1-Montrer que

f (x) = x + k (x ∣ a) a

définit un endomorphisme symétrique de

E

Q2-Montrer que

f

est un automorphisme.

Q3-Étudier les valeurs propres et les sous-espaces propres de

f

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33. $Projecteur orthogonal = symétrique$

Soit

p

une projection d'un espace vectoriel euclidien

E

.

Montrer que la projection

p

est orthogonale si, et seulement si,

p

est symétrique.

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34. $Endomorphisme intégral symétrique$

On pose

E = R_{n} [X]

muni du produit scalaire défini par

(P ∣ Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Q1-Montrer que la relation

u (P) (x) = \int_{0}^{1} (x + t)^{n} P (t) d t

définit un endomorphisme

u

de l'espace

E

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1.Cesàro des puissances d'isométrie

2.Quand J+A est-elle inversible ?

3.Transformation de Cayley

4.Extension en matrice orthogonale

5.Décomposition QR et norme sur On​(R)

6.Stabilité de V et V⊥ par isométrie

7.Caractérisation des similitudes

8.Isométrie diagonalisable: symétrie

9.Conservation de l'orthogonalité

10.f2=−Id et isométrie : la 3e propriété

11.Produit scalaire trace sur Mn​(R)

12.Produit de symétries orthogonales

13.Matrice de Gram et isométrie

14.Cesàro et projection orthogonale

15.Moyenne de Cesàro vers le noyau de v

16.Matrices à même matrice de Gram

17.Racine carrée symétrique positive

18.Rotation associée à une matrice A

19.Base adaptée et nature de f

20.Nature de trois isométries

21.Matrice circulante orthogonale

22.Rotation et réflexion qui commutent

23.Rotations commutantes de l'espace

24.Transformée d'une symétrie par g

25.Rotation fixée par deux images

26.Composée de deux rotations

27.Valeurs propres de module 1

28.Plan stable et rotation induite

29.Isométrie vérifiant (u−Id)2=0

30.Isométries qui sont symétriques

31.Composée symétrique ssi commutation

32.Valeurs propres de x+k(x∣a)a

33.Projecteur orthogonal = symétrique

34.Endomorphisme intégral symétrique

1. $Cesàro des puissances d'isométrie$

2. $Quand J + A est-elle inversible ?$

3. $Transformation de Cayley$

4. $Extension en matrice orthogonale$

5. $Décomposition QR et norme sur O_{n} (R)$

6. $Stabilité de V et V^{⊥} par isométrie$

7. $Caractérisation des similitudes$

8. $Isométrie diagonalisable: symétrie$

9. $Conservation de l'orthogonalité$

10. $f^{2} = - Id et isométrie : la 3e propriété$

11. $Produit scalaire trace sur M_{n} (R)$

12. $Produit de symétries orthogonales$

13. $Matrice de Gram et isométrie$

14. $Cesàro et projection orthogonale$

15. $Moyenne de Cesàro vers le noyau de v$

16. $Matrices à même matrice de Gram$

17. $Racine carrée symétrique positive$

18. $Rotation associée à une matrice A$

19. $Base adaptée et nature de f$

20. $Nature de trois isométries$

21. $Matrice circulante orthogonale$

22. $Rotation et réflexion qui commutent$

23. $Rotations commutantes de l'espace$

24. $Transformée d'une symétrie par g$

25. $Rotation fixée par deux images$

26. $Composée de deux rotations$

27. $Valeurs propres de module 1$

28. $Plan stable et rotation induite$

29. $Isométrie vérifiant (u - Id)^{2} = 0$

30. $Isométries qui sont symétriques$

31. $Composée symétrique ssi commutation$

32. $Valeurs propres de x + k (x ∣ a) a$

33. $Projecteur orthogonal = symétrique$

34. $Endomorphisme intégral symétrique$