Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien, Spé (prépa) (page 8)

1. Montrer que ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est un fermé de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
2. En déduire l'adhérence de ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Pour une matrice diagonale $D$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, on notera $D^{\alpha }$ la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les puissances $\alpha$èmes de ceux de $D$. Soit $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$.
1. Justifier que $A^{\top }A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.
2. On pose $r=\mathrm{rg}(A^{\top }A)$. Justifier qu'il existe une matrice $V\in O_n(\mathbb{R})$ et une matrice $D\in {\mathcal{M}}_r(\mathbb{R})$ diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs telles que $V^{\top }{A}^{\top }AV=\left(\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.
3. On pose $V=(V_1,V_2)$ avec $V_1\in {\mathcal{M}}_{n,r}(\mathbb{R})$ et $V_2\in {\mathcal{M}}_{n,n-r}(\mathbb{R})$. Montrer que $A{V}_2=0$.
4. On pose $U_1=A{V}_1{D}^{-1/2}$. Montrer qu'il existe $U_2\in {\mathcal{M}}_{m,r-m}(\mathbb{R})$ telle que $U=(U_1,U_2)\in O_m(\mathbb{R})$.
5. Vérifier que $A=U\Sigma V^{\top }$ avec $\Sigma =\left(\begin{array}{cc}{D}^{1/2}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ antisymétrique et semblable à une matrice réelle triangulaire supérieure.
1. Déterminer le spectre de $A$.
2. Montrer que $A^n=0$.
3. Montrer que $A^2=0$.
4. Montrer que $A=0$.

Soit $n\ge 2$, $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice avec des 1 sur la diagonale, sur la première colonne et sur la première ligne, puis des 0 partout ailleurs.
1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Cas $n=2$ : calculer les éléments propres de $A$.
3. Cas $n\ne 2$ :
a. Montrer que 1 est une valeur propre de $A$.
b. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ autre que 1, alors $(\lambda -1{)}^2=n-1$.
c. Expliciter les éléments propres de $A$.
d. Calculer le déterminant de $A$ en fonction de $n$.

1. Soit $(A,B)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}{)}^2$. On dit que $B$ est congruente à $A$ s'il existe $P\in G{L}_n(\mathbb{R})$ telle que $B=P^{\top }AP$. Montrer que la congruence est une relation d'équivalence sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
2. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. On appelle signature de $A$ le couple $(p,q)$ où $p$ est le nombre de valeurs propres strictement positives de $A$ (comptées avec multiplicité) et $q$ est le nombre de valeurs propres strictement négatives de $A$ (comptées avec multiplicité).
a. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ de signature $(p,q)$. Montrer que $A$ est congruente à $\left(\begin{array}{ccc}{I}_p& 0& 0\\ 0& -I_q& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.
b. En déduire que si $A$ et $B$ ont même signature, alors elles sont congruentes.
3. Soit $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ de signature $(p,q)$.
a. Démontrer qu'il existe trois sous-espaces vectoriels $E_{+}$, $E_{-}$ et $E_0$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ tels que
• $\forall X\in E_{+}\setminus \{0\},X^{\top }SX>0$;
• $\forall X\in E_{-}\setminus \{0\},X^{\top }SX<0$;
• $\forall X\in E_0,X^{\top }SX=0$;
• ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})=E_{+}\oplus E_{-}\oplus E_0$;
• $\dim E_{+}=p,\dim E_{-}=q$.
b. On suppose qu'il existe trois sous-espaces vectoriels $F$, $G$ et $H$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ tels que
• $\forall X\in F\setminus \{0\},X^{\top }SX>0$;
• $\forall X\in G\setminus \{0\},X^{\top }SX<0$;
• $\forall X\in H,X^{\top }SX=0$;
• ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})=F\oplus G\oplus H$.
Montrer que $\dim F=p$ et $\dim G=q$.
4. En déduire que deux matrices symétriques congruentes ont même signature.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\phi :(X,Y)\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R}{)}^2\mapsto X^{\top }AY$ est un produit scalaire si et seulement si $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

Soient $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $P\in G{L}_n(\mathbb{R})$ et $D\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ diagonale telles que $P^{\top }AP=I_n$ et $P^{\top }BP=D$.

1. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\exp (A)\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.
2. Soit $B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ telle que $B=\exp (A)$. Cette matrice $A$ est-elle unique?

Soit $(f_1,\dots ,f_n)$ une famille de vecteurs d'un espace préhilbertien $E$. On note $A=(⟨f_i,f_j⟩{)}_{1\le i,j\le n}$.
1. Montrer que $A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.
2. Montrer que $\det (A)=0$ si et seulement si la famille $(f_1,\dots ,f_n)$ est liée.

Montrer que les coefficients diagonaux d'une matrice symétrique positive sont positifs.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ muni de son produit scalaire canonique. On note ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques et ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques positives.
Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que :
$\forall U\in O_n(\mathbb{R}),\mathrm{tr}(AU)\le \mathrm{tr}(A)$
1. Déterminer le supplémentaire orthogonal de ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.
2. Soit $B\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$, montrer que $\forall x\in \mathbb{R},\exp (xB)\in O_n(\mathbb{R})$.
3. Montrer que $A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.
4. Étudier la réciproque.

On suppose que ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ sont munis de leurs normes 2 respectives. Montrer que $\Vert |A\Vert |=\sqrt{\max \mathrm{Sp}(A^{\top }A)}$.

Soit $(A,B)\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$. On note $C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $C_{i,j}=A_{i,j}{B}_{i,j}$ pour tout $(i,j)\in [[1,n{]]}^2$. Montrer que $C\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.

Soit $n\ge 1$ un entier naturel. On se donne des réels strictement positifs $x_1,\dots ,x_n$ et on pose $m=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{x}_j$. On note $S_n^{++}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices réelles symétriques définies positives d'ordre $n$.
1. Démontrer l'inégalité suivante : $\sum _{k=1}^n\ln (\frac{x_k}{m})\le \sum _{k=1}^n(\frac{x_k}{m}-1)$.
2. En déduire l'inégalité $(\prod _{k=1}^n{x}_k{)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k$.
3. Établir que l'inégalité précédente est une égalité si, et seulement si, $x_1=x_2=\cdots =x_n$.
4. Dans cette question, $B$ désigne une matrice de $S_n^{++}(\mathbb{R})$. Démontrer l'inégalité $(\det B{)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\mathrm{tr}(B)$ et établir que c'est une égalité si, et seulement si, $B\in \text{vect}(I_n)$.
On considère désormais une matrice $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}\in S_n^{++}(\mathbb{R})$.
5. Démontrer que pour tout $i\in [[1,n]]$, on a $a_{i,i}>0$.
6. On pose $D=\mathrm{diag}(\frac{1}{\sqrt{a_{1,1}}},\frac{1}{\sqrt{a_{2,2}}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{a_{n,n}}})$ et $B=DAD$. Montrer que $B\in S_n^{++}(\mathbb{R})$ et en déduire que $\det (A)\le a_{1,1}{a}_{2,2}\dots a_{n,n}$ avec égalité si, et seulement si, $A$ est diagonale.

On pose $Q_n=(X^2-1{)}^n=(X+1{)}^n(X-1{)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$.
1. Montrer que $\phi :(P,Q)\mapsto {\int }_{-1}^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$. On notera $\phi (P,Q)=⟨P,Q⟩$ par la suite.
2. Soit $n$ et $k$ deux entiers tels que $0\le k<n$. Montrer que $Q_n^{(k)}(-1)=Q_n^{(k)}(1)=0$.
3. On pose $P_n=Q_n^{(n)}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $(P_k{)}_{0\le k\le n}$ est une base orthogonale de ${\mathbb{R}}_n[X]$.
4. Soit $L:P\in {\mathbb{R}}_n[X]\mapsto (X^2-1)P^{\prime \prime }+2X{P}^{\prime }$. Montrer que $L$ est un endomorphisme auto-adjoint de ${\mathbb{R}}_n[X]$.
5. Montrer que pour tout $k\in [[0,n]]$, $P_k$ est un vecteur propre de $L$.

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $E={\mathbb{R}}_n[X]$. Pour tout $P\in E$, on pose $L(P)=P^{\prime \prime }-2X{P}^{\prime }$. Pour tous $P,Q\in E$, on note $⟨P,Q⟩={\int }_{-\infty }^{+\infty }P(t)Q(t)e^{-t^2}\mathrm{d}t$.
1. Vérifier que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Montrer que $L$ est diagonalisable. On précisera ses valeurs propres.
3. Montrer que $L$ est auto-adjoint pour $⟨\cdot ,\cdot ⟩$.
4. Montrer que l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de $E$ diagonalise $L$ i.e. est une base de vecteurs propres de $L$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\ge 2$. Une application $u:E\to E$ est dite antisymétrique si
$\forall (x,y)\in E^2,⟨x,u(y)⟩+⟨y,u(x)⟩=0$
On note $\mathcal{A}(E)$ l'ensemble des applications antisymétriques de $E$.
Remarque. Rien à voir avec les applications multilinéaires antisymétriques!
1. Soit $u\in \mathcal{A}(E)$. Montrer que $u$ est linéaire.
2. Soit $u:E\to E$. Démontrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
(i) $u$ est linéaire et $\forall x\in E,⟨u(x),x⟩=0$;
(ii) $u$ est antisymétrique;
(iii) $u$ est linéaire et sa matrice dans une base orthonormée est antisymétrique.
3. Montrer que $\mathcal{A}(E)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et déterminer sa dimension.
4. Soit $u\in \mathcal{A}(E)$. Montrer que $\text{Im }u$ est l'orthogonal de $\text{Ker }u$.
5. Montrer que si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ alors $F^{\perp }$ est également stable par $u$.

Montrer que le rang d'une matrice antisymétrique réelle est pair.

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des matrices $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^{\top }=A^2+A-I_n$.
On appelle $a$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$ canoniquement associé à $A$.
1. Décrire $a$ si $A$ est symétrique, avec $A\in \mathcal{E}$.
2. Décrire $a$ si on ne suppose plus $A$ symétrique, avec $A\in \mathcal{E}$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant :
$\forall x\in E,⟨u(x),x⟩=0$
1. Montrer que la matrice de $u$ dans une base orthonormale de $E$ est antisymétrique.
2. Montrer que $(\text{Ker }u{)}^{\perp }$ est stable par $u$.
3. Montrer qu'il existe une base orthonormale de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& N\end{array}\right)$ avec $N$ inversible.
4. Montrer que le rang de $u$ est pair.

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace eucliden $E$ vérifiant $u^{\ast }=-u$.
1. Montrer que $s=u^2$ est un endomorphisme auto-adjoint.
2. Soit $\lambda$ une éventuelle valeur propre non nulle de $s$. Montrer que $\lambda <0$.
3. Soit $x$ un vecteur propre de $s$ associé à la valeur propre $\lambda$. Montrer que $F=\text{vect}(x,u(x))$ est stable par $u$. On note $u_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $u$.
4. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $F$ dans laquelle la matrice de $u_F$ est de la forme $\left(\begin{array}{cc}0& -a\\ a& 0\end{array}\right)$ avec $a>0$.
5. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs de la forme $(0)$ ou $\left(\begin{array}{cc}0& -a\\ a& 0\end{array}\right)$ avec $a>0$.
6. Enoncer un résultat analogue pour les matrices antisymétriques.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
1. On suppose $A$ antisymétrique. Montrer que pour tout $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, $X^{\top }AX=0$.
2. On se propose de prouver la réciproque.
a. On suppose que pour tout $(X,Y)\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R}{)}^2$, $X^{\top }AY=-Y^{\top }AX$. Montrer que $A$ est antisymétrique.
b. En déduire le résultat souhaité.

Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique.
1. On suppose dans cette question que $n$ est impair. Montrer que $\det (A)=0$.
2. Soit $\lambda$ une éventuelle valeur propre réelle de $A$. Montrer que $\lambda =0$.
3. En déduire que $\det (A)\ge 0$.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M$ est antisymétrique si et seulement si pour toute matrice $P\in O_n(\mathbb{R})$, $P^{\top }MP$ est de diagonale nulle.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On travaille dans l'espace des matrices ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
1. Montrer que l'application $(A,B)\mapsto \mathrm{tr}(A^{\top }B)$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Que peut-on dire de la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
2. Montrer que pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on a $|\mathrm{tr}(A)|\le \sqrt{n}\Vert A\Vert$.
3. a. Quel est l'orthogonal de l'espace ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques?
b. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Exprimer la distance de $A$ à $S_n(\mathbb{R})$ en fonction des coefficients de $A$?
4. Soit $U\in O_n(\mathbb{R})$. Montrer que pour tout $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\Vert UA\Vert =\Vert AU\Vert =\Vert A\Vert$.
5. Montrer que pour $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u_1,\dots ,u_{n+1}$ des vecteurs non nuls de $E$ faisant un angle constant ${\alpha }_n$ (non nul) deux à deux. Que vaut ${\alpha }_n$?

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{rg}(A^{\top }A)=\mathrm{rg}(A{A}^{\top })=\mathrm{rg}A$.

1. Montrer qu'on définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ en posant $⟨P,Q⟩=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{b}_n$ pour $P=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{X}^n$ et $Q=\sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n{X}^n$.
2. On pose $F=\text{vect}(1+X^n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Montrer que $F$ est un hyperplan de $\mathbb{R}[X]$.
3. Montrer que $F^{\perp }=\{0\}$. Conclusion?

Montrer que $\Phi :{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ qui à une matrice associe sa plus grande valeur propre est une application convexe.

Soient $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et $B=\left(\begin{array}{cc}A& I_n\\ I_n& A\end{array}\right)$. Trouver les valeurs propres de $B$.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :

(i) $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et $\forall (\lambda ,\mu )\in \mathrm{Sp}(A{)}^2,\lambda +\mu \ne 0$ ;

(ii) $\forall B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}),\exists !M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}),AM+MA=B$.

Soit $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique dont les coefficients diagonaux sont nuls et $D$ une matrice diagonale.
Montrer que $S+D$ est semblable à $D$ si, et seulement si, $S$ est nulle.