Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien en maths Spé (prépa) (page 5) | The Maths Tailor
Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien, Spé (prépa) (page 5)
289 exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Adjoint d'un endomorphisme, Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales, Matrices orthogonales et isométries vectorielles, Réduction des isométries.
Soit M∈Mn(R). On dit que M vérifie la propriété (P) s'il existe une matrice orthogonale U~∈On+1(R) telle queU~=(M∗∗∗),c'est-à-dire M se prolonge en une matrice orthogonale de taille n+1.
Q1-(a) Si M est diagonale, déterminer la CNS sur les λi pour que M vérifie (P).
Q2-(b) Si M∈Sn(R), déterminer la CNS pour que M vérifie (P).
Soit (E,⟨⋅,⋅⟩) un espace euclidien de dimension n≥2 et (x1,…,xn) une famille de vecteurs de E. On note A (resp. B) la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des xi (resp. des yi) dans une base orthonormale de E, et M=tAA la matrice de Gram de la famille (x1,…,xn).
Q1-(a) Déterminer les coefficients de tAB en termes de produits scalaires.
Q2-(b) Montrer l'existence et l'unicité de la famille duale (y1,…,yn) vérifiant ⟨yi,xj⟩=δi,j. Exprimer la matrice de passage.
Dans un espace euclidien E, soit f∈L(E). Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième : (i) f est une isométrie vectorielle ; (ii) f2=−Id ; (iii) f(x) est orthogonal à x pour tout x.
On munit Mn(R) du produit scalaire canonique. On note An(R) l'ensemble des matrices antisymétriques et Sn+(R) l'ensemble des matrices symétriques à valeurs propres positives. Soit A∈Mn(R) telle que pour tout U∈On(R), tr(AU)≤trA.
Q1-Déterminer le supplémentaire orthogonal de An(R).
Q2-Soit B∈An(R). Montrer que pour tout x∈R, exp(xB)∈On(R).
Soit (E,∥⋅∥) un espace vectoriel normé. On dit que ∥⋅∥ est une norme euclidienne s'il existe un produit scalaire ⟨⋅,⋅⟩ sur E tel que ∥x∥2=⟨x,x⟩ pour tout x∈E. Montrer que ∥⋅∥ est euclidienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme : ∀(x,y)∈E2,∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2
Soit E un espace euclidien orienté de dimension n≥1. 1. Soient B et B′ deux bases orthonormées directes de E. Montrer que detB(B′)=1. 2. En déduire que detB=detB′. 3. Soient x1,…,xn−1n−1 vecteurs de E. Montrer que l'application x∈E↦detB(x1,…,xn−1,x) est une forme linéaire sur E. 4. En déduire qu'il existe un unique vecteur u∈E tel que ∀x∈E,detB(x1,…,xn−1,x)=⟨u,x⟩ On appelle u le produit vectoriel des vecteur x1,…,xn−1 et on note u=x1∧x2∧⋯∧xn−1 5. Montrer que l'application (x1,…,xn−1)∈En−1↦x1∧x2∧⋯∧xn−1 est une application n−1-linéaire alternée.
1. Soient n∈N et a∈R. Montrer que l'application ⟨⋅,⋅⟩ de Rn[X]2 dans R définie par ∀(P,Q)∈Rn[X]2,⟨P,Q⟩=k=0∑n(k!)2P(k)(a)Q(k)(a) est un produit scalaire sur Rn[X]. 2. Donner sans calcul une base orthonormale de Rn[X].
Soient E un espace euclidien de dimension n∈N∗ et e1,…,en des vecteurs de E tels que ∀x∈E,∥x∥2=k=1∑n⟨x∣ek⟩2 1. Montrer que ∀(x,y)∈E2,⟨x∣y⟩=i=1∑n⟨x∣ei⟩⟨y∣ei⟩ 2. En déduire que ∀x∈E,x=i=1∑n⟨x∣ei⟩ei 3. Etablir que (ek)1≤k≤n est une base orthonormée de E.
On définit une suite (Pn)n∈N de R[X] en posant P0=1, P1=X et pour tout entier naturel n : Pn+2=2XPn+1−Pn Dans les questions suivantes, n et k sont des entiers naturels.
Q1-Donner le degré et le terme dominant de Pn en fonction de n.
Q2-Justifier que pour tout réel θ : Pn(cosθ)=cos(nθ)
