Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien en maths Spé (prépa) (page 4)

136. $Valeur propre et vecteur positif$

centrale

Soit

M \in S_{n} (R)

une matrice symétrique réelle à coefficients positifs ou nuls.

Q1-Déterminer les valeurs propres de la matrice ayant

a

sur la diagonale et

b

partout ailleurs.

Q2-Montrer qu'une matrice

S \in S_{n} (R)

à valeurs propres positives n'a pas forcément tous ses coefficients positifs.

Q3-Montrer que

α = sup {⟨ X, M X ⟩ ∣ ∥ X ∥ = 1}

existe et est une valeur propre de

M

Q4-Montrer l'existence d'un vecteur propre à coordonnées positives ou nulles.

Q5-Que se passe-t-il sans l'hypothèse de symétrie ?

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Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien, Spé (prépa) (page 4)

103. $Produit scalaire sur C^{1} ([0, 1])$

104. $Convexité stricte de la boule unité$

105. $Polynômes denses via Weierstrass$

106. $Somme des normes via signes \pm 1$

107. $Adjoint de la primitive v$

108. $Orthogonal de F et de son adhérence$

109. $Invariance d'une somme quadratique$

110. $Borne via une espérance de norme$

111. $Évaluation en 0 non représentable$

112. $Preuve de l'absence de représentant$

113. $Racines et orthogonalité de Q_{n}$

114. $Récurrence à trois termes des P_{n}$

115. $Distance de 1 à l'hyperplan P (0) = 0$

116. $Norme des polynômes de Legendre$

117. $Vecteurs à angles obtus : liberté$

118. $Borne sur une famille obtusangle$

119. $Valeurs propres d'un endomorphisme f_{α}$

120. $Décomposition orthogonale V \oplus W$

121. $Approximation de t^{2} pour e^{- t} d t$

122. $Approximation quadratique de ln t (I)$

123. $Somme des carrés des coordonnées$

124. $Contraction de A implique celle de^{t} A$

125. $Décomposition ker (A - I) et Im (A - I)$

126. $Rang de^{t} AA égal au rang de A$

127. $Automorphisme symétrique x \mapsto x + k (x ∣ a) a$

128. $Racine d'ordre p symétrique$

129. $Isométrie et éléments propres de f_{a}$

130. $Diagonalisation orthogonale 3 \times 3$

131. $Diagonaliser une matrice circulante$

132. $Antisymétrique bijectif : dim paire$

133. $Dimension des antisymétriques de E$

134. $Composée de deux rotations de R^{3}$

135. $Moyenne de Cesàro d'une isométrie$

136. $Valeur propre et vecteur positif$

103.Produit scalaire sur C1([0,1])

104.Convexité stricte de la boule unité

105.Polynômes denses via Weierstrass

106.Somme des normes via signes ±1

107.Adjoint de la primitive v

108.Orthogonal de F et de son adhérence

109.Invariance d'une somme quadratique

110.Borne via une espérance de norme

111.Évaluation en 0 non représentable

112.Preuve de l'absence de représentant

113.Racines et orthogonalité de Qn​

114.Récurrence à trois termes des Pn​

115.Distance de 1 à l'hyperplan P(0)=0

116.Norme des polynômes de Legendre

117.Vecteurs à angles obtus : liberté

118.Borne sur une famille obtusangle

119.Valeurs propres d'un endomorphisme fα​

120.Décomposition orthogonale V⊕W

121.Approximation de t2 pour e−tdt

122.Approximation quadratique de lnt (I)

123.Somme des carrés des coordonnées

124.Contraction de A implique celle de tA

125.Décomposition ker(A−I) et Im(A−I)

126.Rang de tAA égal au rang de A

127.Automorphisme symétrique x↦x+k(x∣a)a

128.Racine d'ordre p symétrique

129.Isométrie et éléments propres de fa​

130.Diagonalisation orthogonale 3×3

131.Diagonaliser une matrice circulante

132.Antisymétrique bijectif : dim paire

133.Dimension des antisymétriques de E

134.Composée de deux rotations de R3

135.Moyenne de Cesàro d'une isométrie

136.Valeur propre et vecteur positif

103. $Produit scalaire sur C^{1} ([0, 1])$

104. $Convexité stricte de la boule unité$

105. $Polynômes denses via Weierstrass$

106. $Somme des normes via signes \pm 1$

107. $Adjoint de la primitive v$

108. $Orthogonal de F et de son adhérence$

109. $Invariance d'une somme quadratique$

110. $Borne via une espérance de norme$

111. $Évaluation en 0 non représentable$

112. $Preuve de l'absence de représentant$

113. $Racines et orthogonalité de Q_{n}$

114. $Récurrence à trois termes des P_{n}$

115. $Distance de 1 à l'hyperplan P (0) = 0$

116. $Norme des polynômes de Legendre$

117. $Vecteurs à angles obtus : liberté$

118. $Borne sur une famille obtusangle$

119. $Valeurs propres d'un endomorphisme f_{α}$

120. $Décomposition orthogonale V \oplus W$

121. $Approximation de t^{2} pour e^{- t} d t$

122. $Approximation quadratique de ln t (I)$

123. $Somme des carrés des coordonnées$

124. $Contraction de A implique celle de^{t} A$

125. $Décomposition ker (A - I) et Im (A - I)$

126. $Rang de^{t} AA égal au rang de A$

127. $Automorphisme symétrique x \mapsto x + k (x ∣ a) a$

128. $Racine d'ordre p symétrique$

129. $Isométrie et éléments propres de f_{a}$

130. $Diagonalisation orthogonale 3 \times 3$

131. $Diagonaliser une matrice circulante$

132. $Antisymétrique bijectif : dim paire$

133. $Dimension des antisymétriques de E$

134. $Composée de deux rotations de R^{3}$

135. $Moyenne de Cesàro d'une isométrie$

136. $Valeur propre et vecteur positif$